l-群的同构定理

秦勇

(常州工学院理学院,江苏 常州 213002)



l-群的同构定理

秦勇

(常州工学院理学院,江苏 常州 213002)

摘要：利用l-群的同态基本定理，证明l-群的同构定理，把群的同构定理推广到l-群中.

关键词：l-群；同态；同构；l-理想

0引言

在基础代数中，由群的同态基本定理，证明了群的同构定理[1].Anderson M等[2]给出了l-群的同态基本定理，笔者利用l-群的同态基本定理证明l-群的同构定理，从而在l-群中推广了群的同构定理.

设G是群(这里群运算用加法表示，但未必满足交换律)，≤是G的一个偏序，∀a,b,g∈G，若a≤b，则a+g≤b+g，g+a≤g+b，若G又是格，即∀a,b∈G，在G中a与b有一个最小的上界a∨b和一个最大的下界a∧b，则G称为格序群或l-群[2].设L是一个格，M是L的一个非空子集，若∀a,b∈M，有a∨b,a∧b∈M，则M称为L的子格[3].若H是l-群G的子群，且又是G的子格，则H称为G的l-子群.设K是l-群G的一个非空子集，∀a,b∈K,∀g∈G，若a

命题1[3]设G为l-群，∀a,b,c∈G，有

a∨b+c=(a+c)∨(b+c),a∧b+c=(a+c)∧(a+c)∧(b+c).

命题2[2]设h1,h2,…,hn∈G+,若0≤g≤h1+h2+…+hn，则∃g1,g2…,gn∈G，使g=g1+g2+…+gn，0≤gi≤hi，i=1,2,…,n.其中G+={g∈G|g≥0}.

命题3设G，H，K都是l-群，若φ:G→H，ψ:H→K都是l-同态，则ψφ:G→K是l-同态.

设G是l-群，N是G的l-理想，则N的陪集构成一个商群G/N={N+g|g∈G}，∀N+g,N+h∈G/N，定义：N+g≤N+h⟺∃k∈N，使g≤k+h；(N+g)∨(N+h)=N+g∨h，(N+g)∧(N+h)=N+g∧h.则G/N构成一个l-群.

定理4[2](同态基本定理)设G与H都是l-群，φ:G→H是l-同态，则(1)φ的核kerφ是G的一个l-理想；(2)若N是G的l-理想，则G/N是一个l-群，且自然映射ν:G→G/N是一个l-同态；(3)G/kerφ与H是l-同构.

1引理

命题1.1设K是l-群G的凸集，∀a,b∈K，∀g∈G，若a≤g≤b，则g∈K.

命题1.1的证明∀a,b∈K，∀g∈G，若g=a或g=b，因为a,b∈K，所以g∈K.若g≠a，g≠b，因为a≤g≤b，所以a

命题1.2设K是l-群G的子群，∀k∈K，∀g∈G，若由0

命题1.2的证明 ∀a,b∈K，∀g∈G，若a

命题1.3 设G为l-群，K和H都是G的子格，且K⊆H，则K是H的子格.

命题1.3的证明∀a,b∈K，因为K是G的子格，所以a∨b,a∧b∈K.又K⊆H，H是G的子格，所以K和H中的格运算∨和∧是一致的，因此K是H的子格.

命题1.4 设G为l-群，g∈G，若g>0，则|g|=g.

命题1.4的证明因为g>0，所以-g<0，从而g∨0=g，(-g)∨0=0，于是

|g|=g++g-=g∨0+(-g)∨0=g+0=g.

命题1.5设G为l-群，则∀a,b∈G,有

0∨(a+b)≤0∨a+0∨b,0∧(a+b)≥0∧a+0∧b.

命题1.5的证明因∀a,b∈G，有0≤0∨a,0≤0∨b,a≤0∨a,b≤0∨b，所以0≤0∨a+0∨b，a+b≤0∨a+0∨b，故0∨a+0∨b是0与a+b的一个上界，因此0∨(a+b)≤0∨a+0∨b.同理0∧(a+b)≥0∧a+0∧b.

命题1.6设H是l-群G的子群，若∀a∈H，有0∨a,0∧a∈H，则H是G的子格.

命题1.6的证明若∀a∈H，有0∨a,0∧a∈H，则∀b∈H，因为G是l-群，由命题1.1，得a∨b=(0+a)∨(b-a+a)=0∨(b-a)+a，因为H是G的子群，所以b-a∈H，由已知，得0∨(b-a)∈H，故a∨b∈H.同理a∧b∈H.因此H是G的子格.

引理1.7设G为l-群，H是G的凸l-子群，K是G的l-理想，H+K={h+k|h∈H,k∈K}，则H+K是G的l-子群.

引理1.7的证明因为H是G的凸l-子群，K是G的l-理想,所以H是G的子群,K是G的正规子群,从而H+K是G的子群.∀g∈G,h+k∈H+K，其中h∈H,k∈K,若0

引理1.8设G为l-群，若K是G的l-理想，H是G的l-子群，且K⊆H，则K是H的l-理想.

引理1.8的证明因为K是G的l-理想，所以K是G的正规子群，又K⊆H，H是G的子群，所以K是H的正规子群.因为K和H都是G的l-子群，所以K和H都是G的子格，又K⊆H，由命题1.3，得K是H的子格.∀k∈K，∀h∈H，若0

引理1.9设G为l-群,若K和H都是G的l-理想,且K⊆H,则H/K是G/K的l-理想.

引理1.9证明因为K和H都是G的l-理想，所以H是G的l-子群，又K⊆H，由引理1.8，得K是H的l-理想，由定理4(2)，可知H/K和G/K都是l-群.因为H是G的子群，所以H/K⊆G/K，且H/K也是G/K的子群，∀K+a,K+b∈H/K,a,b∈H,因为H是G的子格，所以a∨b,a∧b∈H，于是

(K+a)∨(K+b)=K+a∨b∈H/K，(K+a)∧(K+b)=K+a∧b∈H/K，

所以H/K是G/K的子格，从而H/K是G/K的l-子群.因为H是G的正规子群，所以H/K也是G/K的正规子群.∀K+h∈H/K，∀K+g∈G/K，其中h∈H，g∈G.若K+0

2同构定理

定理2.1设G和G′都是l-群，f是G到G′的l-同态，N′是G′的l-理想，N=f-1(N′)={a∈G|f(a)∈N′}，则N是G的l-理想，并且G/N与G′/N′是l-同构.

定理2.1的证明 因为N′是G′的l-理想，得G′/N′是l-群，自然映射ν:G′→G′/N′是l-同态，又f:G→G′是l-同态，由命题1.4，得νf:G→G′/N′是l-同态，且ker(νf)={a∈G|(νf)(a)=N′}={a∈G|ν(f(a))=N′}={a∈G|N′+f(a)=N′}={a∈G|f(a)∈N′}=N，由同态基本定理，N是G的l-理想，并且G/N与G′/N′是l-同构.

定理2.2设G是l-群，H是G的凸l-子群，K是G的l-理想，则H∩K是H的l-理想，且H/H∩K与(H+K)/K是l-同构.

定理2.2的证明因为H是G的凸l-子群,K是G的l-理想,由引理1.7,得H+K是G的l-子群.因为K⊆H+K,由引理1.8,得K是H+K的l-理想,由定理4(2),(H+K)/K={h+K|h∈H}={K+h|h∈H}是l-群.作映射φ:H→(H+K)/K,∀h∈H,φ(h)=K+h,则φ是H到(H+K)/K的满射,又∀a,b∈H,有

φ(a+b)=K+(a+b)=(K+a)+(K+b)=φ(a)+φ(b),

φ(a∨b)=K+(a∨b)=(K+a)∨(K+b)=φ(a)∨φ(b),

φ(a∧b)=K+(a∧b)=(K+a)∧(K+b)=φ(a)∧φ(b),

则φ是H到(H+K)/K的l-同态，且

kerφ={h∈H|φ(h)=K}={h∈H|K+h=K}={h∈H|h∈K}=H∩K，

由同态基本定理，H∩K是H的l-理想，且H/H∩K与(H+K)/K是l-同构.

定理2.3设G是l-群,K和H都是G的l-理想,且K⊆H,则(G/K)/(H/K)与G/H是l-同构.

定理2.3的证明因为K和H都是G的l-理想，且K⊆H，则由引理1.9，得H/K是G/K的l-理想，由定理4(2),可知(G/K)/(H/K)是l-群,作映射φ:G/K→G/H,∀K+a∈G,φ(K+a)=H+a,其中a∈G,则φ是G/K到G/H的满射，又∀K+a，K+b∈G/K，有

φ((K+a)+(K+b))=φ(K+(a+b))=H+(a+b)=(H+a)+(H+b)=φ(K+a)+φ(K+b)，

φ((K+a)∨(K+b))=φ(K+(a∨b))=H+(a∨b)=(H+a)∨(H+b)=φ(K+a)∨φ(K+b)，

φ((K+a)∧(K+b))=φ(K+(a∧b))=H+(a∧b)=(H+a)∧(H+b)=φ(K+a)∧φ(K+b)，

所以φ是G/K到G/H的l-同态，且

kerφ={K+a∈G/K|a∈G,φ(K+a)=H}={K+a∈G/K|a∈G,H+a=H}=

{K+a∈G/K|a∈G,a∈H}={K+a∈H/K|a∈H}=H/K，

由同态基本定理，得(G/K)/(H/K)与G/H是l-同构.

3参考文献

[1] Jacobson N.Basic Algebra I[M].W H Freeman and Company,1974：63-64.

[2] Anderson M,Feil T.Lattice-ordered groups an introduction[M].D Reidel Publishing Company,1988：1-14.

[3] 黃天民,徐扬,赵海良,等.格、序引论及其应用[M].成都：西南交通大学出版社,1998：36-42,165-175.

(责任编辑赵燕)

Isomorphic theorem of lattice-ordered groups

QIN Yong

(School of Science,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002,China)

Abstract:We proved three isomorphic theorems for lattice-ordered groups by using homomorphic fundamental theorem of l-group.It generalized isomorphic theorems of group in lattice-ordered groups.

Key words:l-group；homomorphism；isomorphism；l-ideal

中图分类号:O152.8

文献标志码:A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2016.03.003

文章编号:1000-2375(2016)03-0187-03

作者简介:秦勇(1958-)，男，副教授，E-mail：jsczqy@163.com

收稿日期:2015-04-30