聊定理 道联系 赏应用

何晓勤

向量共线定理和平面向量基本定理作为平面向量中的两大重要定理，在解题中有着广泛的应用，那它们在内容和表达形式上有着怎样的区别与联系呢？聊一聊两个定理的理解

老师：向量共线定理的内容是什么？

小明：对于向量a（a≠0）和b，如果有一个实数λ，使b=λa（a≠0），那么b与a（a≠0）是共线向量；反之，b与a（a≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b=λa。

老师：该定理有何作用？

小强：该定理的前半部分给出了判断两个向量共线的方法，而后半部分揭示了两个共线向量之间的关系。

老师：该定理中a≠0能否去掉，为什么？

小李：不能去掉。因为当b=a=0时，虽然b与a是共线向量，且实数λ存在，但λ可以是任意实数；当b≠0而a=0时，虽然有b与a共线，却不存在实数λ使得b=λa。

老师：小李同学解释得非常好，也就是说向量共线定理不包含向量a=0时的共线问题，应用时要特别注意。向量共线定理研究的是两个共线向量之间的关系，倘若两个向量不共线，用其中一个向量无法表示另一个向量，这就产生了平面向量基本定理，大家说说看。

小张：若非零向量e₁，e₂是两个不共线向量，那么对于这个平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ₁和λ₂，使得a=λ₁e₁+λ₂e₂。其中不共线的向量叫做这一平面内所有向量的一组基底。

老师：平面向量基本定理告诉我们平面内的任意一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式，且分解的形式是唯一的。我们该如何理解平面向量的基底？

小王：平面向量的基底不唯一，但作为基底的两个向量一定是不共线的，显然零向量不能作为基底。但是一旦基底选定，则该平面内的任意一个向量的分解形式是唯一的。

老师：如何理解向量分解的唯一性？

小宋：也就是说，设e₁，e₂是平面向量的一组基底，若a=λ₁e₁+λ₂e₂且a=μ₁e₁+μ₂e₂，则λ₁=μ₁，λ₂=μ₂。

老师：小宋同学解释得很到位！在理解了两个定理之后，我们比较一下，向量共线定理和平面向量的基本定理有什么联系和区别？

道一道两个定理的联系

小丽：由向量共线定理可知，任意一个向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示，且这种表示形式是唯一的；而平面向量的基本定理是向量共线定理的推广。这两个定理都可以看成在一定范围内的向量分解的“唯一性”定理。

小刚：它们的表示形式不同，向量共线定理是指与a共线的向量都可以表示为λa的形式；平面向量基本定理是指利用两个不共线向量e₁，e₂与实数λ₁，λ₂的积的和表示平面内的任意向量。

小萌：特别地，在平面向量基本定理中，若λ₁=0或λ₂=0时，就变成了向量共线定理，因此也可说，向量共线定理是一维的平面向量基本定理。

老师：上面几位同学说得非常好！从向量共线定理到平面向量的基本定理，是向量的分解从一维到二维的延伸。数学因应用而美丽，接下来就让我们领略这两个定理应用的魅力吧！

赏一赏 两个定理的应用

评注

基底主要具备两个特征：一是不共线；二是不唯一。然而基底一旦确定，则该平面内的任意一个向量的分解方式也就唯一的确定了。