新工具，新面貌

丁兴春

平面向量融数形于一体，具有几何形式与代数形式的双重身份。构造向量来解决代数、三角中的一些问题，不但方法新颖，运算简洁，而且也是启迪我们思维的一种有效的方法。下面我们通过举例说明平面向量这个工具在代数中的一些应用。

一、求值

例1 已知3sinθ+4cosθ=5，求tanθ的值。

解析 本题的一般解法是将3sinθ+4cosθ=5与sin²θ+cos²θ=1联立建立方程组，解出sinθ，cosθ，再求tanθ。这里我们利用向量来解决该问题。

构造向量a=（3，4），b=（sinθ，cosθ），贝a·b=5，且|a|=5，|b|=1，

又由a·b=|a||b|cos，得cos=1，即a，b同向平行，于是有4sinθ=3cosθ，

从而可得tanθ=3/4。

例2 已知0<α<β<γ<2π，且cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，求β-α的值。

解析 构造向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），c=（cosγ，sinγ），贝a，b，c有共同的起点O（坐标原点），它们的终点A，B，C均在以O为圆心的单位圆上，且A，B，c三点按逆时针方向排列。依题意得a+b+c=0，因此点O为△ABC的重心，又知点O为△ABC的外心，从而可知△ABC为等边三角形，于是β-α-γ-β=2π/3。

二、求函数的最值

利用向量方法往往可以解决一些带根式的函数最值问题。

如图1可知，欲使得最大，则a的终点应为（2，0），故当x=0时，f（x）取到最小值为6。

没有而去构造，构造而去应用，解题另辟蹊径，面貌焕然一新。这是解题的智慧，这是数学的魅力，这是创造的价值。

当然不是所有的代数与三角问题都可以通过构造向量的方法解决，当一个代数问题中蕴含了一些与向量相关的量，比如常见的数量积、模长等，这个时候不妨考虑构造恰当的向量来解决问题，这是利用向量工具来解决代数与三角问题的关键。