浅论东西方数学文化形成的差异——基于《九章算术》与《几何原本》的比较

闫成海

(西安文理学院 信息工程学院，西安　710065)



[教育教学研究]

浅论东西方数学文化形成的差异
——基于《九章算术》与《几何原本》的比较

闫成海

(西安文理学院 信息工程学院，西安710065)

《九章算术》与《几何原本》是东西方数学史上的巨著，反映着不同的数学文化背景。将从东西方文化形成的角度解读，差异主要体现在：在文化中的层次不同，《几何原本》代表的是精神层次，《九章算术》代表的是技术层次；在社会文化中的追求不同，《几何原本》追求真理，《九章算术》追求实用；在社会文化中导致的结果不同，《几何原本》导致了数学理性的产生，《九章算术》导致了实用性的产生。

九章算术；几何原本；文化差异；比较

《九章算术》与《几何原本》是数学史上两大巨著，代表着古代东西方数学发展的最高水平，是现代数学思想的源泉。两书的思考和比较研究对于了解数学历史和发展有着重要的促进作用，因此两书的比较也就从未停止过。邓宗琦对两书从成书的背景、内容、数学方法等方面做出了比较。[1]张维忠从文化角度对《几何原本》进行了思考。[2]70-73王晓亚提出了数学教育视野下的比较。[3]22-26黄秦安从文化差异进行了比较。[4]这些比较已经从开始的数学比较走向了数学文化观的比较，对于我们现代数学教育有着积极的作用。

本文将从东西方数学文化形成的差异进行比较：

一、《几何原本》与《九章算术》在文化中的层次不同

数学是人类社会生产实践活动的产物。M·克莱因认为数学在西方的文明史中扮演着非常重要的作用，反映着时代的特征，“一个时代的特征在很大程度上与该时代的数学密切相关”，[5]9-20从某种程度上来说，人类的发展史就是一部人类的数学史。

1.《几何原本》在西方社会文化中处于精神层次

古巴比伦和古埃及留给人类丰厚的数学遗产。这些数学遗产主要是集中在简单的代数与几何知识，在实践中有着丰富的运用。古巴比伦和古埃及的数学本质上是经验的总结。希腊数学虽然来自于巴比伦和埃及，但是古希腊的哲人们并不满足于此，由于“希腊人是天才的哲学家，他们热爱理性，爱好精神活动，这就使得他们与其他民族有着重大的区别”。[6]27

希腊人抽象出数学的概念，运用了演绎的手段，开始了一段数学新的历程。在古希腊时期，哲学、数学、艺术是很难分开的。就像毕达哥拉斯学派坚称的“万物皆可数”以及柏拉图“不懂几何者勿入”，这些都是宗教、数学、哲学很难分开的一个侧面。也就是说，从古希腊的雅典时期，数学在社会文化层面就有着神秘的宗教和哲学味道。数学是哲学，哲学是数学，这就使得古希腊的数学在充满着神秘、宗教和哲学氛围中处于文化的系统中一种精神层次。“古希腊人最大限度决定着今天文明本质的贡献，则是他们的数学。”[6]27

2.《九章算术》在东方社会文化系统中处于技术层次

“在数学的发展过程中，如果数学失去了神秘的巫术，宗教的解释作用，那么数学在文化系统中就只能处于技术的子系统，很难对文化系统的精神子系统发生影响。”[7]《九章算术》是一个问题集，显然每道题都给出了答案，但是大部分的题目并没有具体的计算过程，但是可以套用具体的解题步骤得出答案。解题步骤使用了算筹。算筹在中国数学中也仅仅是作为一种运算工具，而宗教的神秘性被周易所取代，东方的数学与宗教的神秘性是分开的。

《九章算术》在社会文化系统中所处的地位。一方面，与自身发展不足有关，缺少演绎逻辑体系，另一方面，与传统社会的价值取向有关，中国古代数学有明显的重实用思想的倾向，“中国的古代数学处于技艺层面,遵守匠人技艺的用进废退的原则”。[5]9-20

以《九章算术》为代表的东方数学就只能处在文化系统的子系统技术层面，还无法上升到文化系统中的精神层面,使得《九章算术》成为在生产实际中遇到各种问题的一个参考工具，它对于上层建筑几乎没有任何影响，只能服务于上层建筑。

3.《几何原本》与《九章算术》文化层次的差异

《几何原本》严密的演绎体系，成为在社会文化系统中的精神财富，深深地影响着西方人的思维习惯。《九章算术》以归纳为主，是一种技术层面的，是经验的总结，来自于实践又应用于实践，缺少社会神秘性、宗教性的紧密结合，也缺乏演绎体系，在技术层次孤独的发展，丧失了数学在社会进步历程中的精神作用，剩下的也就是它的实用性。

二、《几何原本》与《九章算术》在社会文化中的追求不同

《几何原本》与《九章算术》在社会文化系统中所处的地位和层次不同，这就决定了它们在追求上有所区别。

1.《几何原本》追求真理，追求美的本质

哲学的意义在于追求真理、追求美的本质。古希腊人是天生的哲学家，热衷讨论生与死、生命不朽、精神的本质、善恶之分等问题。希腊人为了定义直线，线由点构成。那点又是什么？他们说“点是没有部分的”。按照逻辑体系就应该打破沙锅问到底，那部分又是什么呢？如果我们这样无休止地问下去，永远都不会有结果，所以希腊人聪明地解决了这个问题。讨论问题的一个起点，这个起点就是基础，这个基础大家一看就明白，无需过多解释。《几何原本》就是在建立在23条定义、5条公设5条公理之上的。所有的问题就是以此为基础从这些展开。

每一步的证明都是基于一定公理、公设和定义，利用了无懈可击的前提，从而得出了无懈可击的结论。《几何原本》的思维习惯是建立在演绎基础上，这样做的就可以体现一种求真的科学态度。“吾爱吾师，吾更爱真理。” 几何就是最好的追求真理的蓝本，讨论几何就如同讨论真理，《几何原本》是追求真理、追求美的化身。

2.《九章算术》追求实用，应用于社会

技术是技能，是工具，服务于社会，追求实用。《九章算术》顾名思义就是九种计算技术的总结，是一本问题集，全书包含了九类问题，涵盖了246个问题，以工具书的方式呈现给人们。对每一个问题首先提出问题；其次，答曰就是给出了答案；最后，给出了解决方法就是术曰。《九章算术》追求的就是如何更好地服务社会。

《几何原本》作为演绎体系的范本，在思维上影响着西方世界，《九章算术》是一种术，术的流传方式就显得很特别。因为在重实用的民族文化中，实用的内容就以实用的方式流传，很难以一种智慧、理性创造的方式流传，这是《九章算术》在传播方式上与《几何原本》的一个根本区别。《九章算术》作为中国古代的数学教材， “自然注重数学知识的应用，以实际研究对象并以服务于实际为目的。数学结论是在实践中通过观察、实验、分析、归纳的结果，这就很难超越直观经验和具体运算而发展演绎推理。”[3]22-26中国古代的数学来自于生活而又服务于生活，是经验的总结，在获取知识方面缺乏推理工具，也只把数学作为一种工具，视为术，一种技能，也就成了少数人谋生的手段和技能。

3.导致文化上追求的差异

古希腊数学是追求真理、追求美，通过几何的方式来追求美，欧几里得几何是静态的，就使得文化中的美是一种静态的美。古希腊人的生活受到这种影响，古希腊庙宇的宁静也是欧氏几何静态的一种反应。他们的雕刻图形也是静态、冷漠的，给人以心安理得的安逸，就如同等边三角形唤起的情感。

《九章算术》是中国文化下的产物，在文化中起着积极的作用。中国古代的数学家是一个特殊的群体。筹算只能从技艺工匠层面吸收实用人才,中国历史中宋元数学的大发展恰是朝代更替才使部分士大夫仕途中断,投向数学以求自身价值之实现(如秦九韶、李冶)。由此,才形成了独特的宋元数学。[8]

三、《几何原本》与《九章算术》在社会文化中导致的结果不同

方向引导目标的形成，层次决定着走向。《几何原本》与《九章算术》在文化层次上的差异和追求方向的不同，自然也就导致了两种不同的结果。

1.数学理性的产生

在古希腊思想体系中已经很难把理性因素与美学因素、道德因素分开。欧氏几何已经深深地影响到古希腊人的学习、生活以及行为方式，它们已是一个整体。“我们把那种孕育于古希腊文明、并伴随着近代自然科学的形成和逐步发展逐步定型和不断得到加强的西方理性精神成为数学理性。”[9]。

数学理性起源于古希腊，形成于西方文艺复兴时期，由近代的西方行为理性而来。也就是说，在本质上是受到古希腊数学中三段论的影响，来源于欧氏范畴，换句话说，主要就是“接受已知，就要接受结果”。数学理性是西方数学文化的一种主要力量，在西方文化中扮演着重要角色，对于西方的行为也起着某种潜在的影响。

数学发展史上的三次危机促进了数学发展，虽然数学危机的形成主要是西方人演绎体系下的数学的解释出现问题，但是从另一个侧面更促成了和培养了这种数学理性，让人们更加懂得了“接受已知，就要接受结论”。规则一旦形成，谁打破都会带来灾难。

从古希腊时代以来，几百代人通过学习欧几里得几何学，掌握了如何进行推理的方法。欧几里得几何学的重要性，远远超出了自身的数学特征，已经发展为一门艺术，更是一种精神，一种理性的精神。

2.实用性的产生

《九章算术》注重实用，导致注重结果。导向上数学理性“接受已知，就要接受结论”。数学实用性，只管结果，不管已知，或者说，接受已知，而不接受结果。按照这种思维，在我们这个社会产生的大部分问题都可以用这个来解释。我们社会没有形成一种理性文明，重要的就在于我们缺乏这种理性文明。

一个学科上升为理性的层面，既在于这个学科本身因素，也又在于这个民族文化对这个学科的定位。《九章算术》作为我们文化的技术层次，无法上升到精神层面，但是作为文化系统的子系统技术工具深深地影响着我们的民族文化。

以《九章算术》为代表的中国传统数学,大部分以“管理数学”的形式出现,目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标，缺乏理性探讨作用。

文化影响着数学发展，数学在社会中的作用又影响着文化的发展。19世纪前的中国数学教育观，主要受《九章算术》的影响，认为数学是来源于生产生活,服务于社会生产发展，具有浓厚的实用和功利色彩。中国传统数学教育是一种实用性教育，再加上民族文化的潜移默化,使得中国古代的文化增添的浓厚的实用性色彩和实用主义。

四、《几何原本》与《九章算术》在社会文化中的差异，最终走向殊途同归

《几何原本》和《九章算术》代表了两种数学文化，在各自的领地独自发展和壮大，深深地影响着各自的数学文化，在东西方文化形成和发展过程中起着非常重要的作用。世界已经越来越小，文化的交流和碰撞已不不可避免，作为欧氏范畴的几何文化和九章实用性文化交流和碰撞就不可避免。

1.《九章算术》实用性的缺陷

《几何原本》自引入我国以来，给数学教育引入了一股清风，影响着数学的发展。我国一直作为一种数学知识来学习，注重《几何原本》的实用性，却忽视它的文化性。它的引入依然把它作为一种数学工具看待，这种状况至今也未有本质上的变化。直到数学文化的引入，人们才在思想上有所认识。

数学的思想文化观念并没有成为民族深层次文化心理中的积淀物，还难以成为流淌在民族文化血液中的东西。西方数学发展过程中产生了三次危机，让他们有很深的体会，规则一旦破坏，造成的影响是巨大的。

2.《几何原本》数学理性的缺陷

任何事物从哲学角度都是一分为二，既有积极一面又有消极一面。西方这种数学理性它的最大特点就是体现演绎，注重逻辑体系，但是存在这一个致命的缺点就是没有人，忽视了人的因素。欧氏几何范式下的科学使得人们仅从物质的成就来理解科学，却不去思考生命的价值，思考科学的意义。这就造成了科学文化与人文化之间的分裂与对抗。数学理性使得科学丧失了人性，注重了理性。

数学的发展过程中，逻辑无法创新，还需要直觉。数学的发展之路就应该是数学直觉与数学理性的相结合。依靠数学直觉的想象功能产生新的猜想，对于新的猜想又依靠数学的严密推理使之公理化、逻辑化。哥德巴赫猜想，就是依靠观察数的特点，通过归纳猜想得出来的。

3.从实用性向数学文化的过渡

实用、宗教、哲学和美学共同促进了数学的发展，我们不能厚此薄彼。就是在西方文化中我们也难以断定是哪一个因素起决定性的作用。以《九章算术》为主的东方数学恰恰是忽视了数学的哲学、宗教和美学的因素，独自依靠着数学的实用性推动着数学的发展，这样在中国人的心目中，数学的实用性就根深蒂固。 “自然科学并非人类认识世界的唯一工具，科学文化与人类文化以及方法论上科学规范与人文规范的融合才是推动社会文化进步的必由之路。”[2]70-73现代文明中这两者应该是相互相容、相互促进、共同发展。

幸运的是，我们已经开始对数学的认识发生改变。高中数学课程标准指出,数学是人类文化的重要组成部分。同时，高校通识教育数学文化课也正如火如荼地开展起来，向学生开展数学文化的渗透和教育，担负其传递数学文化与发展文化的重任。

我们的文明之旅，从某种程度上来说就是理性之旅。

[1]邓宗琦.《九章算术》与《几何原本》的比较研究[J].华东师范大学学报(自然科学版),1996，(2):263-269.

[2]张维忠.对《几何原本》的文化思考[J].北京科技大学学报(社科版),2002，(1).

[3]王晓亚,张守波,等.数学教育视野下《九章算术》与《几何原本》的比较研究[J]. 渤海大学学报(自然科学版),2011，(1).

[4]黄秦安.从文化的视角看西方数学与中国古代数学的差异与融合[J].湖南教育：数学教师,2009，(11):18-22.

[5]张祖贵. 论莫里斯·克莱因的数学哲学思想[J]. 自然辩证法通讯,1989,(6).

[6][德]M·克莱因.西方文化中的数学[M].张祖贵译.上海:复旦大学出版社, 2005.

[7]王宪昌,等.数学文化概论[M].北京:科学出版社,2010:65.

[8]徐乃楠,王宪昌.数学文化热与数学文化史研究[J].自然辩证法通讯,2009,(3):14-17.

[9]郑毓信.数学文化学[M].成都:四川教育出版社, 2000:17.

[责任编辑石晓博]

Sino-Western Differences of Mathematical Culture—A Comparative Study between The Nine Chapters on the Mathematical Arts and Euclid’s Elements

YAN Cheng-hai

(SchoolofInformationEngineering,Xi’anUniversity,Xi’an710065,China)

The two great works of The Nine Chapters on the Mathematical Arts and Euclid’s Elements in mathematical history have respectively Orient and Occident cultural implications of mathematics. A comparative study between the two works indicates that The Nine Chapters on the Mathematical Arts focuses on technique and practicability while Euclid’s Elements stresses spirit as well as the pursuit of truth and reason.

The Nine Chapters on the Mathematical Arts; Euclid’s Elements; cultural difference; comparison

2015-12-17

西安文理学院教学改革项目：提升课堂效果的途径(JG2015B022)阶段性成果。

闫成海(1978—),男，陕西乾县人，西安文理学院信息工程学院讲师，主要从事数学文化、教育统计研究。

G64

A

1008-777X(2016)02-0101-04