排列组合与概率问题在高考中的运用研究

刘 丹

（吉林省乾安县第七中学 吉林乾安 131400）

排列组合与概率问题在高考中的运用研究

刘 丹

（吉林省乾安县第七中学 吉林乾安 131400）

排列组合以极概率问题近年来在高考中时常出现，对于高中学习来说，这类数学问题如果能在平时多加练习并认真掌握其要领，可以在高考中应付自如，从而在考试中得心应手。基于此，本文分析了高考中的几种数学类型题目，并认真给予解答，以便能给高中学生在学习排列组合与概率问题等方面提供借鉴。

相互独立事件 组合数计算 互斥事件 高考研究 排列 组合 概率

排列组合与概率问题在高考以及生活各种考试中常有出现，对于高中学生尤其是文科学生来说觉得是非常难对付的。对此，本文在此方面通过几个这方面的例题进行了相应的分析研究。

例1.甲、乙两人进行射击比赛，每次射击是相互独立事件规则如下：如果某人一次击中，则继续射击；如果一次击不中，就由对方接替射击。已知甲、乙二人每次击中的概率均为，如果两人一共射击3次，且第一次由甲开始射击。求：（1）甲恰好击中2次的概率；（2）甲恰好击中1次的概率。

通过排列组合方面的分析我们发现，学生对于概率问题的考查常限于（1）相互独立事件同时发生的概率和条件概率问题的考查；（2）互斥事件有一个发生的概率问题。在分析是独立事件还是互斥事件时，一般看事件的发生是分步进行的还是分类进行的。分步进行的考虑独立事件的问题，分类讨论的考虑互斥事件的问题时，要注意分类的原则要清晰。

例2.一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的4个黑球和3个红球，某人一次从中摸出2个球。则（1）如果摸到的球中含有红球就中奖，那么此人摸球一次中奖的概率是多少？（2）如果摸到的2个球都是红球，那么就中大奖。在有放回地3次摸球中，此人恰好有两次中大奖的概率是多少？

解析；（1）设从口袋中摸出的2个球中含有红球的事件为A，则：所以此人中奖概率是

（2）设从口袋中摸出的2个球都是红球为事件B，则P（B）=C32/由于有放回地3次摸球，每次是否摸到两个红球之间没有影响，所以3次摸球恰好有2次中大奖相当于3次独立重复实验，根据n次独立重复试验中事件恰好好生在k次的概率公式得到：所以，此人恰好2次中大奖的概率是。

通过上例试题我们发现，此类问题解答的关键是处理n次独立重复的实验中，事件A恰好有k次发生的概率问题。对于这类问题我们应当注意以下几点；一是判断事件是不是将一个试验重复做n次，二是要找清楚在一次试验中事件A发生的概率，三是找到题中事件A恰好发生多少次。然后利用n次独立重复试验事件A恰好有k次发生的概率公式计算即可。这类问题的难点在于有些问题不是直接说明n次独立重复试验，比如说种1000粒种子的发芽问题，1升水中细菌的个数问题等等，突破这个难点的关键是要从个体出发考虑问题，即考虑1粒种子的情况，1个细菌的情况等等。

例3.有12名划船运动员，其中有3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从12名运动员中选出6人平均分在左、右两舷参加划船比赛，问有多少种不同的划法？

解析：设集合A＝只会划左舷的3个人；集合B＝只会划右舷的4个人，集合C＝既会划左舷又会划右舷的5 个人。则可根据题意进行先分类，划左舷的3 个人中，有以下几种情况（1）A中有3 人；（2）A中有2人，C中有1人；（3）A中有1 人，C中有2 人；（4）C中有3 人。

在第（1）种情况中，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B∪C中选3人，即有C93种选法。因为是分步问题，所以有种选法；在第（2）种情况中，划左舷的人在A中已选定2人，有种选法，在C中选1人，有种选法，划右舷的在B∪C中剩下的8个人中选3人，有种选法。因为是分步问题，所以有种选法；类似地，在第3种情况中有种选法；在第4种情况中有种选法。

答：一共有2174种不同的选法。

由例3中我们可以看出，排列中，必须相邻的问题用捆绑法；必须不邻的问题用插空法；将方法总数分成方法数相等的几类取符合条件的某些类的问题，用乘系数的方法。所有方法贯穿一个意识即特殊元素优先考虑的意识。在组合中，平均分堆问题要除以堆数的全排列；相同元素的分配问题采用隔板法等等。

例4.已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球。现从甲、乙两个盒内各任意取2个球。求：（1）取出的4个球中均为红球的概率；（2）取出的4个球中恰好有1个红球的概率。

解析：（1）设从甲盒中取出2个球均为红球的事件为A，从乙盒中取出的2 个球均为红球的事件为B。由于A，B事件相互独立，且P因此，取出的4个球均为红球的概率是

（2）设从甲盒中取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒中取出的2个球均为黑球的事件为C。从甲盒中取出的2个球均为黑球；从乙盒中取出的2个球，1个是红球，1个是黑球的事件为D。由于事件C、D为互斥事件，且有：

所以取出的4个球中恰好有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）

从例4中我们可以看出，排列组合以及概率中，将取球的问题从甲乙两个盒子结合起来，问题进行一次转化就可以了。

刘丹（1983年-），女，汉族，吉林乾安人，现任职于吉林省乾安县第七中学，研究方向：高中数学。