数列求和的基本思想方法浅谈

宁夏石嘴山市光明中学 卜耀锋

数列求和的基本思想方法浅谈

宁夏石嘴山市光明中学 卜耀锋

高中数学数列方法

数列知识是数学必修五所学内容，是高中数学的重点知识之一，也是高考必考内容之一.数列作为特殊的函数，数列知识一直是高考必考的知识点，以等差数列和等比数列知识为基础，通常考查数列求和等问题，对学生的要求较高.通过研究教材中数列的知识，结合高考中对数列知识的考查来看，对数列的考查既注重知识又兼顾方法.本文结合近些年的高考试题和教材的相关内容，通过对数列求和方法的总结研究，归纳出数列的几种常见求和方法.

一、基本法（公式法）

教育部考试中心编写的考试大纲以及考试大纲的说明中明确指出，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.说明对于数列的求和重点在于等差数列和等比数列的求和公式及其求和的思想方法.等差数列的前n项和Sn=等比数列的前n项和Sn=na1（q=1）

二、倒序相加法

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an…（1），Sn=an+ an-1+an-2+…+a2+a1…（2）.

将（1）、（2）两式相加得2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1），这种方法称之为倒序相加求和法，其特点就是一个数列的首尾等距的项之和相等.数列求和，需要对和式化简，比如在等差数列求和化简中，结合和式Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an的结构特点，充分运用了等差数列的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，对和式Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an进行化简.

三、错位相减法

1.等比数列求和公式.

在等比数列｛an｝中，首项为a1，公比为q，

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1（3），

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn（4），

将（3）、（4）两式相减得（1-q）Sn=a1-a1qn=a1（1-qn），当q=1时，Sn=na1，当q≠ 1时

2.错位相减法求和.

错位相减法通常适合一个由等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和，即cn=anbn，其中｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，且｛bn｝不是常数数列（即公比q≠1）.在求和时，由前n项和Sn定义写出Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn，然后构造第二个和式qSn=a1b1q+a2b2q+a3b3q+…+an-1bn-1q+anbnq.两式相减，化简合并得到Sn.例如2010年新课标Ⅱ卷解答题第17题设数列｛an｝满足a1=2，an+1-an=3·22n-1，（Ⅱ）令bn=nan，求数列的前n项和Sn.考查错位相减法求和法的应用.

四、裂项相消法

裂项相消求和法实际上就是分组求和法的综合应用，即通过把数列｛an｝的通项an代数变形，整体拆分成两项或者三项差的形式，通过合并化简，求和的方法.通常情况下数列｛an｝是分式的形式，分母是等差数列连续（多间隔）k项的乘积，分子是常数的数列.常见的形式为

例如201 1年新课标Ⅱ卷解答题第17题等比数列｛an｝的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6.（Ⅱ）设bn=log3a1+ log3a2+…+log3an，求数列的前n项和.考查裂项求和法的应用.

数列求和，要从通项公式入手，首先确定通项公式，其次通过对通项公式变形或分析通项公式结构特征，选择恰当的求和方法.对于非等差数列和等比数列的求和，第一种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差数列或者是等比数列，这一思想方法往往通过对通项的分解或错位相减来完成；第二种思路：不能转化为等差数列和等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和.