曲线组合梁畸变效应的弹性地基梁有限元解法

刘玉玲，张彦玲，张德莹

(石家庄铁道大学土木工程学院， 河北石家庄050043)



曲线组合梁畸变效应的弹性地基梁有限元解法

刘玉玲，张彦玲，张德莹

(石家庄铁道大学土木工程学院， 河北石家庄050043)

摘要：为了对曲线组合梁的畸变效应进行研究，针对钢—混凝土曲线组合梁，首先采用M/r法将曲线转化为直梁，然后基于能量变分原理，并考虑钢梁与混凝土板的材料差异，推导了畸变荷载作用下组合梁的畸变控制微分方程。以哈大线某曲线组合梁为计算模型，根据弹性地基梁比拟法，分别采用初参数法和Midas有限元模型对跨中截面的畸变角和畸变双力矩进行了计算。结果表明，在弹性地基梁原理基础上，初参数法和有限元法均可很好地模拟曲线组合梁的畸变效应。

关键词：曲线组合梁；畸变效应；弹性地基梁比拟法；初参数法；有限元法

0引言

钢—混凝土曲线组合梁由于梁体本身曲率的影响，即使在仅承受竖向荷载的作用下也会产生弯、剪、扭耦合作用。由于混凝土翼板下方的钢梁板厚较薄，截面会产生明显的畸变效应。

对设有横隔板的箱梁，畸变效应的分析方法包括解析法、数值法和弹性地基梁比拟法等[1]。解析法一般采用广义坐标法[2-4]，其概念明确，但不能考虑截面的具体形状尺寸；数值法有有限元法和有限板条法等，其计算费用较高[5-8]；弹性地基梁比拟法计算简便，且有助于设计人员更明确地了解箱形梁的结构性能[9-10]，其使用较为广泛。

目前采用弹性地基梁比拟法分析箱梁畸变效应，以直线梁和单一材料梁居多，对钢—混凝土曲线组合梁的研究较少。为此，本文以钢—混凝土曲线组合箱梁为研究对象，采用M/r法将曲梁转化为等效直梁，以畸变角为基本未知量，考虑钢梁与混凝土板的材料差异，采用能量变分法推导常截面曲线组合箱梁的畸变控制微分方程，并基于弹性地基梁比拟法，分别采用初参数法和有限元法对曲线组合箱梁的畸变效应进行了计算，旨在为曲线组合梁畸变效应的分析提供一种方便可行的计算方法。

1基于M/r法的模型简化

本文研究跨中集中荷载作用下简支曲线组合梁的畸变效应，曲梁平面及截面见图1所示，两侧简支端均设置抗扭支座。沿梁轴方向设置若干横隔板，横隔板上方设上翼缘，与钢梁腹板上方的上翼缘同样焊接圆柱头栓钉，以便待混凝土结硬后与混凝土板结合成为组合截面。

(a) 平面

(b) Ⅰ-Ⅰ截面

图1曲线组合梁模型

Fig.1Model of the curved composite beam

跨中集中荷载作用下简支超静定曲梁的弯矩和扭矩可采用结构力学的方法直接获得，但不便于分析横隔板对曲梁畸变效应产生的影响。1970年，Tung 等[11]给出了一种对曲梁进行扭转分析的实用简便的近似方法——M/r法，具体步骤如下。

图2　M/r法等效直梁Fig.2　Equivalent straight beam

①将曲梁按中心线弧长展开为直梁，支承条件与原来的曲梁相同，计算此直梁在竖向荷载作用下的弯矩M。

②将梁的弯矩值除以曲线半径r，得到M/r值。

③把两个抗扭支座间的弧长l作为计算扭矩时的跨径，并假定直梁为简支支承，把M/r值作为此直梁上的分布扭矩，求出直梁的扭矩，则直梁的扭矩即为曲梁的扭矩。

根据M/r法，将图1所示的曲梁展开为直梁(图2)后，跨中集中荷载Q作用下的弯矩M(z)为：

(1)

式中，z为沿梁轴向的纵坐标；l为曲梁的跨度。

M/r法中施加于直梁上的分布扭矩m(z)为：

(2)

2组合箱梁畸变控制微分方程的推导

根据符拉索夫理论[12-13]，假定组合箱梁截面上只有1个变形自由度，即以图1中角点1的畸变角γ1为基本未知量，其他各角的畸变角用γ1的函数来表示。图1中顶板为混凝土，腹板及底板为钢梁。

2.1组合梁畸变荷载的分解

通过M/r法分析，将曲梁展成直梁后，扭矩效应可转化为作用在直梁上的水平反对称荷载，并可继续分解成刚性周边不变形的纯扭转荷载和自相平衡的畸变荷载。由于钢梁短上翼缘对组合箱梁畸变的影响较小，可以忽略不计，在下面的畸变控制微分方程的推导中不考虑钢梁短上翼缘对畸变效应的影响。图3为扭转荷载的分解(图中箱型截面的上翼缘是指混凝土板)。

(a) 总荷载(b) 刚性扭转荷载(c) 畸变荷载

图3扭转荷载分解图

Fig.3Decomposition of the total torque loads

2.2组合箱梁畸变应变能的推导

组合箱梁畸变应变能包括三部分：横截面框架畸变应变能U1、畸变翘曲应变能U2和荷载势能U3。文献[14]中对于单一材料单室箱梁(混凝土或钢梁)的畸变应变能进行了推导，但组合梁截面是由混凝土和钢材两种材料组成，不能直接应用其结果。因此，本文以文献[14]的推导为基础，对组合箱梁的畸变应变能进行推导。

2.2.1横截面框架畸变应变能U1

在对组合箱梁横截面框架畸变应变能的推导中，考虑混凝土板和钢梁两种材料弹性模量的不同，但不考虑二者之间的滑移。

取沿跨径方向单位长度dz=1的一段组合箱梁进行分析，并设角点1处的畸变角为γ1(z)，此时梁板发生的水平位移为γ1h。由于组合箱梁结构对称，外部影响因素反对称，因此，水平位移作用下框架中引起的横向弯矩为反对称，如图4(b)所示。

根据对称原理，取半个框架，支承条件如图4(c)所示。首先设外部水平荷载P=1，则根据超静定力法方程δ11X1+Δ1P=0可求得A点的多余约束反力X1为：

(3)

当X1=2X与P同时作用在半个框架上时，弯矩图如图4(f)所示，由内力图自乘可求得A点的水平位移δh为：

(4)

(a) 横向框架变形(b) 横向弯矩c) 半个框架计算图

(d) 单位约束力下的弯矩(e) 外荷载弯矩(f) 半个框架总弯矩

图4组合梁横向框架与横向弯矩图

Fig.4The transverse frame and transverse bending moment of the composite box beam

在单位荷载P=1作用时，产生的水平位移为δh，那么当水平位移为γ1h时，作用的力为P4=γ1h/δh，则由图4(f)及横向弯矩的反对称性可得：

(5)

(6)

其中，K1=-bXh/δh，K2=-(bX-h)h/δh。

横向框架畸变应变能U1为：

(7)

(8)

2.2.2畸变翘曲应变能U2

当组合箱梁发生畸变时，箱壁各板在自身平面内发生翘曲，产生翘曲应变能。组合箱梁产生的翘曲应变如图5(a)所示；在各板平面内产生弯矩，如图5(b)所示；各板在自身平面内的畸变变位如图5(c)所示。

(a) 畸变翘曲应变

(b) 畸变翘曲弯矩

(c) 畸变引起的变位

如图5(a)所示，令β=ε4/ε1，由于畸变引起的翘曲弯矩之和为零，即M1+M2+M3+M4=0，可得

(9)

式中，d为两边悬臂长度之和；ε4为角点4处的翘曲应变；ε1为角点1处的翘曲应变。

在角点处，混凝土顶板与腹板以及钢梁腹板与钢梁底板均存在翘曲应力。根据图5，畸变翘曲弯矩可由畸变翘曲应力得到。需要注意的是，在角点4处虽然混凝土与钢梁的应变相同，但由于两者的弹性模量不同，所以应力也不同。M3、M1、M4、M2的关系式如式(10)～(12)，即：

(10)

(11)

(12)

设组合箱梁各板块沿周向的变位为ν1，ν2，ν3，ν4，将这些位移看作是组合箱梁翘曲时自身平面内的挠度，根据初等梁的弯曲理论，可得：

(13)

将畸变角γ1用x，y方向的位移表示，如图5(c)所示，则：

(14)

将式(14)求导，并将式(13)代入，整理后可得：

(15)

将角点1处的正应变ε1乘以钢材弹性模量，可得角点1处的正应力为：

(16)

翘曲应变能U2为：

(17)

(18)

2.2.3荷载势能U3

荷载势能U3为：

(19)

2.2.4常截面组合箱梁畸变总势能U及控制微分方程

在不考虑剪切变形引起的应变能时，在畸变荷载作用下，组合箱梁的总势能U由横截面框架畸变应变能U1、畸变翘曲应变能U2和荷载势能U3三部分组成，即：

(20)

根据欧拉—拉格朗日(Euler-Lagrange)条件式，可得常截面组合箱梁畸变控制微分方程为：

(21)

式中，Ω由式(18)得到，K3由式(8)得到。

畸变双力矩BA则可定义为：

BA=-2Ωγ″1。

(22)

3弹性地基梁比拟法求解曲线组合箱梁的畸变效应

由式(22)得到的组合箱梁畸变控制微分方程与弹性地基梁挠曲控制微分方程EIby(4)+Ky=q在形式上完全相似，其中，弹性地基梁抗弯刚度EIb与组合箱梁畸变翘曲惯矩2Ω相对应；弹性地基梁模数K与组合箱梁的畸变框架刚度2K3相对应；弹性地基梁均布荷载集度q与组合箱梁受到的畸变水平分力M/2r相对应；弹性地基梁的挠度y与组合箱梁畸变角γ1相对应；弹性地基梁的弯矩M与组合箱梁受到的畸变双力矩BA相对应。因此，求解组合箱梁的畸变角γ1与畸变双力矩BA可以转化为求解弹性地基梁的挠度y与弯矩M的问题。组合箱梁的横隔板可简化为简支支承[15]。

3.1弹性地基梁有限元模型的建立

3.1.1定义弹性地基梁的材料及截面

(23)

3.1.2弹性地基梁模数的模拟

组合箱梁畸变控制微分方程中的畸变框架刚度2K3相当于弹性地基梁地基模数K，因此，畸变框架刚度2K3可模拟为弹性地基梁仅在竖向受压的分布弹性支承，横隔板用铰支承来代替。在有限元模型中，将分布弹性支承简化为单元节点处仅在竖向受压的集中弹性支承Kij，其计算式[15]为：

(24)

式(24)中，ΔSi-1、ΔSi为相邻两单元的长度；2K3为组合箱梁畸变框架刚度。

3.2模型验证及算例分析

以哈大客运专线某简支曲线组合梁为例进行计算。该组合梁计算跨度l=24 m，曲线半径r=120 m，截面为图1所示的单箱单室截面。钢梁采用Q345qE钢，上翼缘宽度bt=600 mm，厚度tt=30 mm；腹板高度hw=2 340 mm，厚度tw=16 mm；下翼缘宽度bb=3 000 mm，厚度tb=30 mm。桥面板采用C50混凝土，宽度bc=6 500 mm，厚度hc=400 mm。具有两个端横隔板，跨中作用一集中荷载Q=50 kN，求跨中的畸变角和双力矩。

图6　作用在等效直梁上的水平畸变荷载分量Fig.6　Horizontal distortional load appliedon the equivalent straight beam

首先根据M/r法将曲梁展成直梁，根据式(2)和图3可得，作用在直梁上的水平畸变荷载分量为三角形荷载，其与弹性地基梁上的分布荷载集度q相对应，如图6所示。

3.2.1初参数法计算

直接求解图6所示的三角形畸变荷载作用下组合梁的跨中畸变角和双力矩比较困难，可首先求出跨中截面畸变角和畸变双力矩的影响线，然后将图6中的荷载与影响线函数积分，即可得到跨中的畸变角和畸变双力矩。

由式(21)两边同时除以2Ω可得：

(25)

(26)

(27)

由组合梁参数，按式(18)和式(8)分别得到2Ω=3.811×107kN·m4，2K3=6.080×102kN·m4，λ=0.0447 m-1。将式(27)代入边界条件γl/2=0(yl/2=0)，Bl/2=0(Ml/2=0)，可得γ0=7.173×10-6rad，B0=5.749 kN·m2。

将γ0，B0代入式(27)可得：

(28)

根据互等定理，式(28)即为组合梁跨中截面畸变角和畸变双力矩的影响线函数。将畸变荷载函数与之积分，即可得到三角形畸变荷载作用下跨中截面的畸变角γA和畸变双力矩BA分别为：

3.2.2有限元解法

以上为理论分析所得的跨中截面畸变角和畸变双力矩。下面采用Midas/civil软件建立弹性地基比拟梁的有限元模型，求解弹性地基梁在图6所示的荷载下(相当于集中荷载Q=50 kN作用在曲梁跨中时的畸变荷载)跨中截面的畸变角和畸变双力矩。

①跨中截面畸变角和畸变双力矩影响线

首先使弹性地基梁模型承受跨中单位集中荷载(即单位畸变荷载)，有限元模型见图7，计算后得到沿跨度方向弹性地基梁各截面的挠度和弯矩，其数值对应实际组合梁各截面的畸变角和畸变双力矩，见图8和图9。根据互等定理，图8和图9即为跨中截面畸变角和畸变双力矩的影响线图形，图中同时示出了采用初参数法得到的结果。

由图8和图9可知，采用初参数法得到的理论结果与Midas有限元计算结果非常吻合，说明所建立Midas/civil模型是正确的。

图7　单位畸变荷载下的有限元模型

图8跨中畸变角影响线对比图

Fig.8The influence line of the mid-span

distortional angel

图9跨中畸变双力矩影响线对比图

Fig.9The influence line of the mid-span

distortional bimoment

② 三角形畸变荷载下跨中截面的畸变角和畸变双力矩

仍采用①中的有限元模型，将跨中集中荷载改变为图6所示的三角形分布荷载，见图10。计算后得到弹性地基梁跨中截面的挠度，实际组合梁跨中截面的畸变角γA=8.790×10-6rad，比理论计算值大2.04%；弹性地基梁跨中截面弯矩即实际组合梁跨中截面畸变双力矩BA=56.886 kN·m2，比理论计算值小0.01%，结果吻合良好，再次证明了有限元计算方法的正确性。

图10　三角形荷载作用下的有限元模型

4结论

在M/r法基础上，将钢—混凝土曲线组合梁转化为等效直梁，得到由梁轴曲率引起的扭转荷载，并由荷载分解法分离出畸变荷载，施加在等效直线组合梁上，根据弹性地基梁比拟法，采用初参数法和Midas有限元模型计算得到的组合箱梁跨中截面的畸变角和畸变双力矩结果吻合良好，说明在M/r法基础上，初参数法和弹性地基梁有限元法都可以很好地计算曲线组合梁的畸变效应。弹性地基梁有限元法则可更方便地用于进一步的参数分析。

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(责任编辑唐汉民裴润梅)

Finite element solution for curved composite beams with distortional effect based on elastic foundation beam method

LIU Yu-ling, ZHANG Yan-ling, ZHANG De-ying

(School of Civil Engineering,Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043,China)

Abstract:In order to analyze the distortion effect of curved composite beams, a curved steel-concrete composite beam was simulated as an equivalent straight one by theM/rmethod. Based on the energy-variational principle, and considering material difference between the concrete slab and steel girder, the distortional governing differential equation for the composite beam was deduced. A curved composite beam in Harbin-Dalian railway was selected as a computational example. Based on the elastic foundation beam analogy method, the distortional angle and bi-moment were obtained by the initial parameter method and the finite element method, respectively. The results indicate that, based on the elastic foundation beam analogy method, and simulating the curved composite beam to an equivalent straight one by theM/rmethod, both the initial parameter method and the finite element method can satisfyingly deduce the distortion effect of the curved composed beam.

Key words:curve composite beam; distortion effect; elastic foundation beam analogy method；initial parameter method; finite element method

中图分类号：TU391

文献标识码：A

文章编号：1001-7445(2016)01-0203-09

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0203

通讯作者：张彦玲(1973—)，女，河北吴桥人，石家庄铁道大学教授，博士；E-mail: 06mzhang@163.com。

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51108281)；河北省自然科学基金资助项目(E2014210038)；河北省高等学校科学技术研究项目(ZD2014025)

收稿日期：2015-11-15；

修订日期：2015-12-28

引文格式：刘玉玲，张彦玲，张德莹.曲线组合梁畸变效应的弹性地基梁有限元解法[J].广西大学学报(自然科学版)，2016，41(1)：203-211.