微课程背景下“梯度概念”课堂教学的创新设计

董昌州　张玉平

【摘 要】梯度概念是高等数学教学中的难点之一，本文通过对梯度概念课程进行全新的优化设计，借助微课程视频让学生达到理解概念实质，掌握概念应用，以此提高教学效果的目的。

【关键词】梯度；方向导数；高等数学

梯度概念是高等数学下册中的一个较难理解的概念，学生学习起来往往感到一头雾水。事实上梯度在解决实际问题时应用是非常广泛的，在进行本次课的课堂设计时可以结合实际问题引入，将复杂，枯燥的纯数学问题简单化，生活化，让学生在轻松愉悦的氛围中学到知识。

1 实际问题引入

现如今，毒品在全世界日趋泛滥，它直接危害着人们的身心健康以及社会发展，因此禁毒缉毒变得尤为重要，当前贩运毒品的方式趋于多样化，隐蔽化，而利用警犬来搜索毒品已经成为公安机关破获毒品案件的一种重要手段，现在某处藏有毒品，一条警犬执行任务，搜索毒品，提问：警犬会沿着一条怎样的路径来进行搜索才能最快的找到毒品呢？

观看视频短片，引发学生积极思考，热烈讨论。在学生讨论几分钟后，加以分析：由于毒品会在大气中散发一种特有的气味，警犬肯定是哪的气味越浓就往哪走，而所谓的“气味越浓的方向”用数学的语言该如何描述呢？这时学生的思考便有了方向，接着继续引导：如果已知气味浓度这一函数满足的关系式，那么气味越浓的方向，实际上也就是气味浓度这一函数变化最快的方向，什么能刻画函数的变化率呢？到此应该有一部分学生可以回答出来了：方向导数反映的是函数的变化率。因此要找函数变化最快的方向实际上也就是要找函数在一点处沿哪个方向的方向导数取得最值。由此层层递进，步步引导，得到本节课我们要解决的核心问题，即函数在一点处沿哪个方向的方向导数取得最值。而为了解决这个问题，就必须从方向导数的计算公式入手：

从这个关系式中不难发现，当θ=0时，也就是el方向与这个向量G的方向相同时，方向导数取得最大值，最大值就等于向量G的模，因此我们看到确实存在这样一个向量，它的方向是方向导数取得最大值的方向，而它的大小为方向导数的最大值，这个向量就是本节课的核心概念—梯度。

2 梯度的概念

[1]假设一个二元函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P（x，y）∈D，都可定出一个向量fx（x，y）+fy（x，y），称此向量为函数z=f（x，y）在点P（x，y）的梯度。为了理解梯度这个概念，从以下两方面加以分析。

2.1 方向导数和梯度的关系

通过表格一目了然，梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向是一致的，它的模等于方向导数的最大值。这也就回答了我们刚才提出的问题，函数在一点处到底沿着哪个方向的方向导数可以取得最值呢？此时学生会异口同声：函数在已知点处梯度的方向或反方向就是方向导数取得最大值或最小值的方向。

为了更好的理解梯度这个向量，下面从几何的角度加以解释。

2.2 几何解释

预备知识：[1]等值线：一个二元函数z=f（x，y）表示一个曲面，这曲面被平面z=c（c为常数）所截得的曲线L的方程为z=f（x，y）

z=c，这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L*，它在xOy平面直角坐标系中的方程为f（x，y）=c。对于曲线L*上的一切点，已给函数的函数值都是c，所以我们称平面曲线L*为函数z=f（x，y）的等值线。

下面通过等值线来认识梯度这个向量。

对等值线f（x，y）=c两边分别对x求导，由隐函数的求导法则，可得fx+fy=0，由此得到：k法=，即点p处的一个法向量为（fx（x，y），fy（x，y））=gradf（x，y），单位化即得gradf= 。

这个关系式就非常清晰的描述了方向导数，梯度，等值线这三者的关系，并且可以帮助我们从另一个角度来理解梯度这个向量的方向和大小，函数在一点的梯度方向与等值线在这一点的一个法线方向相同，它从数值较低的等值线指向数值较高的等值线，梯度的模就是沿着法线方向的方向导数。

现在有了以上这些理论为基础，我们就可以借助于梯度来解决警犬搜索毒品的路线这一问题了。

3 梯度的应用

问题重述：地面上某处藏有毒品，以该处为坐标原点建立直角坐标系，已知毒品在大气中散发着特有的气味，设气味浓度在地表xOy平面上的分布为f（x，y）=e- （x2+2y2），一条警犬在点（x0，y0）（x0≠0）处嗅到气味后，沿着气味最浓的方向搜索，求警犬搜索的路线。

问题分析：设搜索路线为y=y（x），首先警犬在每一点都要沿着切线的方向行走，切向量可以用（dx，dy）来表示，而另一方面，警犬它要沿着气味最浓的方向搜索，因此运动曲线上每一点都是朝梯度方向的，也就是说在任一点（x，y）处的切向量与气味浓度这个函数在该点的梯度方向保持一致，所以这两个向量应该是平行的，下面通过建立数学模型求解。

最终我们解得搜索路线是一条抛物线，所以警犬沿着这条抛物线行走将最快的搜索到毒品。虽然警犬并不懂得梯度，但是它会凭着嗅觉的反馈信号，沿着这样的路线来搜索。

实际上梯度理论应用非常广泛，在气象学中，军事地形学中[2]，建筑学中等等，都渗透着梯度理论，课后让学生去查阅资料，找到梯度在其他方面的应用，拓宽学生的知识面。

4 结束语

利用提出问题，借助视频图片，建立数学模型，解决问题这样的教学模式，将晦涩难懂的数学概念与生活息息相关的实例联系起来，从而大大激发学生的学习兴趣，调动学生探究问题的积极性，使学生领悟数学的应用价值，达到潜移默化的培养学生应用数学的能力，使枯燥乏味的数学课堂教学变得生动活泼起来。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（下）[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]朱健民，李建平.高等数学（下）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[责任编辑：王楠]