冗余驱动液压振动台内力耦合动态抑制策略*

高长虹　丛大成　杨志东　曲智勇

(哈尔滨工业大学 机电工程学院, 黑龙江 哈尔滨150001)



冗余驱动液压振动台内力耦合动态抑制策略*

高长虹丛大成杨志东†曲智勇

(哈尔滨工业大学 机电工程学院, 黑龙江 哈尔滨150001)

摘要：冗余振动台通常采用零位线性化方法进行自由度控制和内力耦合抑制.当系统运动范围较大时,这种近似方法会使得系统产生较大的运动误差,内力抑制效果变差.针对此问题,文中以具有两个冗余自由度和较大运动范围的冗余驱动液压振动台为研究对象,建立系统运动学和动力学模型,分析系统的内力空间构成,提出了一种基于内力空间基底实时求解的内力耦合动态抑制策略,通过实时获取冗余自由度空间上的力并对其进行动态抑制来达到减小内力的目的.仿真结果表明:所提出的内力抑制策略能有效地降低冗余振动台耦合内力.

关键词：液压振动台;冗余驱动;零位线性化;内力耦合;运动控制

振动台是进行振动环境模拟试验的重要设备,已广泛应用于航空、航天、船舶、汽车、建筑等领域[1- 4].为了使系统拥有较大的出力,振动台通常采用液压冗余驱动并联形式.由于系统使用液压缸的数目大于控制的自由度数目,各液压缸在运动过程中会因为各自的动态特性不一致或安装误差等原因造成较大的内力耦合现象[5-7].这种内力对外不做功,但减小了系统的净出力,严重时会造成机构的破坏,导致系统无法正常工作.因此,对冗余振动台内力耦合抑制策略的研究具有重要的意义.

韩俊伟[8]提出了压力镇定控制技术,根据液压缸压力同步控制思想,将各液压缸压力差别作为反馈量修正伺服阀驱动信号,以实现系统内力的抑制.Underwood等[9]提出了八自由度控制策略,在原有6个自由度的基础上引入两个扭曲自由度,通过抑制这两个自由度的运动输出来降低系统的内力.Plummer[10]以几个实际工程中的应用实例为背景,详细介绍了一类具有运动范围小、可采集作动器的位移和力信号、液压驱动且为冗余并联形式机构的运动控制策略,提出了工作自由度空间采用基于零位线性化的自由度控制及冗余自由度空间采用力控制的策略来实现机构的运动控制及内力抑制.

然而,以上研究均以振动台在小范围(运动范围远小于台体尺寸[10])内运动为前提,采用零位线性化方法[8-10]对冗余振动台进行自由度控制及内力耦合抑制.当系统在较大范围内运动时,工作自由度空间与液压缸铰点空间的运动转换关系以及由各液压缸内力构成的内力空间形态均会随平台位姿的变化而呈现较大的变化.此时采用基于零位线性化方法的控制策略会给系统带来较大的运动误差,内力抑制效果也会变差.为此,文中通过建立系统运动学和动力学模型,分析了内力空间组成及基底的求解方法,获得了液压缸铰点空间与冗余自由度空间力的实时转换关系,以实现内力耦合的动态抑制.

1冗余振动台系统简述

图1为冗余振动台结构及俯视图.该振动台由8套液压驱动系统、上平台和基础等组成.每条液压缸与上平台及基础间通过球铰连接.水平方向4套液压缸上、下铰点中心的连线与平台相应侧边均成45°.该系统冗余自由度为2,台面尺寸为1 m×1 m,要求运动范围为:水平双向位移±0.28 m,垂向位移±0.18 m.当水平单向位移达到满幅值时,垂向液压缸摆动角度接近10°,如果使用零位线性化方法对平台进行位姿控制,则会带来较大的运动误差.

图1　冗余振动台结构及俯视图Fig.1　Configuration and top view of redundant shaking table

2运动学分析

如图1(b)所示,ai和bi分别表示第i条液压缸的上铰点和下铰点.为了更清楚地描述振动台的运动,分别选取两个坐标系:惯性参考坐标系Ob-xbybzb和体坐标系Op-xpypzp.其中体坐标系与平台固连,其坐标原点Op位于平台上表面中心,并随平台一起运动.惯性坐标系与基础固连,并始终保持静止.当平台处于中位时,惯性坐标系与体坐标系完全重合.

(1)

式中,R为体坐标系到惯性坐标系的旋转变换矩阵,

(2)

cψ=cosψ,sψ=sinψ,其余依此类推.

根据空间矢量关系求得第i条液压缸长度矢量

(3)

对式(3)求导,可得到第i个上铰点的运动速度

(4)

第i条液压缸的速度vi即为上铰点速度vai在液压缸矢量方向上的投影,根据式(4)可得

(5)

式中,lni为第i条液压缸的单位方向矢量,

(6)

(7)

(8)

雅可比矩阵J(q)表示广义速度与液压缸速度之间的映射关系,是关于平台位姿q的函数.由于振动台运动范围较大,故文中采用运动学反解方法,根据平台实际位姿实时求解J(q)的值,再根据式(7)将位姿误差控制信号精确转换成液压缸速度指令信号驱动液压缸运动.

在实际应用中振动台位姿的测量较为困难,一般通过采集液压缸位移信号进行位姿的正解换算.文中运动学正解采用Newton-Raphson迭代算法[11]求解,利用液压缸的实际测量位移迭代计算出平台的当前姿态.该算法的迭代序列可以表示为

qj+1=qj+J-1(qj)(lm-lj)

(9)

式中,j为迭代次数,j≥1,lm为液压缸长度的实际测量值,qj为上一次迭代得到的平台位姿,lj为上一次迭代位姿下求解得到的液压缸长度.

由于冗余振动台J(q)的维数为8×6,并非方阵,由式(9)可知,迭代过程需求取矩阵J(q)的逆,在实际运算中使用J(q)的伪逆J+(q)来代替式(9)中的J-1(q),即

J+(q)=(JTJ)-1JT

(10)

J+(q)为最小二乘解,它表现了平台广义速度与液压缸速度在最小二乘意义上的最佳匹配对应关系.

3内力空间描述及基底的推导

3.1　动力学分析

液压缸工作时其两腔受压缩液体产生的液压弹簧刚度会随着活塞位置的变化而变化.当平台大范围运动时,液压缸较长的行程导致其液压弹簧刚度的变化范围较大[12],影响了系统刚度和各自由度频宽,在液压系统建模时需要考虑.此外,文中还考虑了由负载力引起的流量非线性、液压缸泄露等因素.

首先建立节流窗口对称且匹配的伺服阀以及对称液压缸的数学模型.第i个伺服阀阀芯位移xvi与控制电压ui之间的传递函数用二阶环节表示,即

(11)

式中,ωvi、ζvi、kai、kvi分别为第i个伺服阀的固有频率、阻尼比、放大器增益及阀芯位移与电流信号之间的比例系数,s为拉氏变换参变量.

第i个伺服阀两端阀口的进出流量Q1i、Q2i的流量方程为[13]

(12)

(13)

式中,wi、p1i、 p2i分别为第i个伺服阀节流窗口的面积梯度及第i条液压缸两腔的压力,cd为流量系数,ρ为液压油密度,ps、 pr分别为供油压力与回油压力.

第i条液压缸两腔的流量连续性方程分别为

(14)

(15)

式中,Ai、vi、cici、ceci、V1i、V2i分别为第i条液压缸的有效作用面积、速度、内泄漏系数、外泄漏系数及两腔的各自容积,βe为油液体积弹性模量.

设液压缸在中位时两腔的初始容积相等,则

V1i=V0i+Aidi

(16)

V2i=V0i-Aidi

(17)

式中,V0i为第i条液压缸在初始中位时的初始容积,di为第i条液压缸的位移.

第i条液压缸的输出力fi可表示为

fi=Ai(p1i-p2i)-Bcivi

(18)

式中,Bci为第i条液压缸的粘性阻尼系数.

将8条液压缸的出力写成矢量f形式,则

(19)

由于振动台活塞杆及缸筒的质量相对于平台及负载不可忽略,故在进行动力学分析时需要建立完整的多刚体模型[14].由于篇幅有限,文中只给出最终简化的动力学方程:

(20)

JT(q)f=F

(21)

3.2　内力空间描述

式(21)为非齐次线性方程组,由于未知变量多于方程数,故该方程组是欠定方程组.该非齐次方程组的通解[15]形式为

(22)

用S表示内力空间,令B=I-(JT)+JT为内力空间矩阵,则S与f存在如下的映射关系:

Bf=S

(23)

内力空间内的任意元素s∈R8×1应满足:

JTs=0

(24)

内力空间S的维数与B的秩相等，即dimS=rank(B)=2,则可将内力空间S表示为

S=span(e1,e2)

(25)

式中:span(.)为向量的线性组合;e1和e2为B的两个线性无关的列向量,可以看作S的一组基底.

3.3　内力空间基底的推导

根据矩阵分解理论,内力空间矩阵B∈R8×8可分解为两个矩阵乘积的形式[15]:

B=D

(26)

由广义逆矩阵的性质JT(JT)+JT=JT可得

(27)

由幂等矩阵的定义可知,B为幂等矩阵[15],则可将式(26)中矩阵D设为的广义逆矩阵,令

B=+

(28)

根据虚功原理,液压缸驱动力所做的元功等于刚体自由度空间力与冗余自由度空间力所做的元功之和,即

(29)

定义J∈R8×6为刚体自由度速度到液压缸速度的转换矩阵,J+∈R6×8为液压缸速度到刚体自由度速度的转换矩阵,H∈R8×2为冗余自由度速度到液压缸速度的转换矩阵,H+∈R2×8为液压缸速度到冗余自由度速度的转换矩阵,HT∈R6×8为液压缸力到冗余自由度力的转换矩阵,根据式(29)得到

(30)

将式(30)两边转置并左乘以HT,可得

HT(J+)TF+HT(H+)TFr=Fr

(31)

一般来说,F≠0,则可得到

(32)

将式(30)两边转置并左乘以JT,可得

(33)

进一步可得

(34)

(35)

Fr=TfE+TfI

(36)

根据广义逆矩阵性质(JT)+=(J+)T[14],并将式(32)代入式(36)可得

(37)

图2内力空间基底的求解过程
Fig.2Solution process of the basis of internal force space

根据以上结论,可以得到液压缸出力与刚体自由度空间力、冗余自由度空间力的关系分别为

JTf=JTfE+JTfI=JTfE=F

(38)

(39)

4内力耦合动态抑制策略

图3　冗余振动台控制策略Fig.3　Control scheme of redundant shaking table

系统的整体控制策略如图3所示,主要包括基于运动学分析的自由度位姿闭环控制和基于内力空间基底实时求解的内力耦合动态抑制.

自由度位姿闭环控制主要用于实现振动台的运动要求.根据式(9)解算得到平台的反馈位姿并与给定位姿进行比较,经过比例+积分+滞后(PIL)控制器形成自由度误差控制量,再由式(7)将其转化到液压缸铰点空间作为伺服阀的驱动信号.

内力耦合动态抑制主要用于降低系统在运动过程中产生的内力.根据图2实时求解出的内力空间基底矩阵,用其转置矩阵T将液压缸出力转换成冗余自由度空间的反馈力,液压缸出力转换成冗余自由度空间的反馈力Frf与给定的零力命令进行比较,经过比例+积分(PI)控制器形成力误差控制量,再由矩阵转化成各伺服阀的输入信号.

冗余振动台为静不定系统,在实际工作中会有内力的存在.自由度位姿闭环控制实现系统按期望位姿指令运动,内力耦合动态抑制用来降低运动中产生的内力,这两部分产生的控制量共同作用形成最终的伺服阀驱动指令u驱动相应的各液压缸运动.通过运用运动学正、反解及基于内力空间基底实时求解的内力抑制,保证了系统在完成指定运动的同时降低了因内力部分造成的能量损耗,从而使系统更好地工作.

5仿真分析

文中使用ADAMS动力学分析软件建立冗余振动台的机械模型,其中振动台平台假设为纯刚体,此时相对于柔性平台系统所受内力较大,为较不利情况,使用Matlab/Simulink数学建模软件根据式(7)-(18)建立液压系统非线性模型和控制部分模型.运动学正解精度和实时性是文中提出的控制策略能否实现的关键.在NI PXI-8196控制器中运行正解算法,测得算法的平均解算耗时为0.05 ms,最大线位移和角位移误差分别为10-8m和10-10°.

为了验证文中提出的内力耦合动态抑制策略,仿真中将水平向4套液压驱动系统设置不同的增益,并给1号和4号伺服阀引入0.2%的伺服阀额定电流作为伺服阀零漂来模拟液压驱动系统特性的不一致.仿真参数如下：平台和负载质量分别为300、200 kg,伺服阀固有频率为754 rad/s,供油压力为28 MPa,油液体积弹性模量为700 MPa,液压缸有效工作面积为0.001 3 m2,水平、垂向液压缸缸筒行程分别为258、190 mm.分时段给定振动台x、y和ψ方向的阶跃信号时各自由度的时间响应及由式(39)得到的两个冗余自由度的受力情况如图4所示.由图可以看出:在未加内力耦合抑制策略时,冗余自由度的受力在阶跃发生时最大接近4 kN;在使用内力耦合抑制策略后,冗余自由度的受力降低到0.5 kN以内,系统内力耦合现象得到明显的改善.

系统在x方向给定幅值为0.2 m、频率为2 Hz的正弦信号时,由式(37)得出的各水平液压缸内力及出力情况见图5.在未加内力耦合抑制策略时,各液压缸最大内力为3 kN,各液压缸最大出力为17 kN.在加入内力耦合抑制策略后,各液压缸内力降低到0.5 kN以内,各液压缸最大出力降低到14.0 kN,且各液压缸出力趋于一致,该内力耦合抑制策略显著降低了系统的内力,增大了系统的净出力.

图4　振动台的时间响应及冗余自由度受力Fig.4　Time responses and force of redundant degrees of freedom of shaking table

6结论

为了解决冗余振动台在大范围运动下的内力耦合抑制问题,文中提出了基于内力空间基底实时求解的内力耦合动态抑制策略.自由度位姿闭环控制是保证系统精确运动的前提.在此基础上,通过对内力空间基底的求解、实时转换得到冗余自由度的力并对其进行抑制,从而降低系统的内力.仿真结果表明,该策略能很好地实现内力耦合的动态抑制.

图5　未加入与加入内力抑制时水平液压缸的内力及总出力Fig.5　Internal forces and total forces of hydraulic cylinders without or with internal force suppression1— 1号缸　2— 2号缸　3— 3号缸　4— 4号缸

然而,为了进一步抑制内力而过大地调节控制增益会导致冗余自由度力闭环不稳定,造成系统发散.其主要原因是当系统运动范围较大时,液压弹簧刚度及内力空间基底均会随平台的运动而呈现较大的变化,严重影响冗余自由度力的闭环频宽及稳定性.故冗余自由度力的闭环增益可根据振动台实际运动要求保守取值以保证系统稳定,或者采用更好的控制策略来实现系统内力抑制增益的自适应调节及鲁棒性,这将是今后研究的重点.

参考文献:

[1]SEVERN R T.The development of shaking tables:a historical note [J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2011,40(2):195-213.

[2]CREWE A J,SEVERN R T.The European collaborative programme on evaluating the performance of shaking table[J].Philosophical Transactions of the Royal Society of London A,2001,359(1786):1671-1696.

[3]TAGAWA Y,KAJIWARA K.Controller development for the e-defense shaking table [J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers I:Journal of System and Control Engineering,2007,221(2):171-181.

[4]CERESA P,BREZZI F,CALVI G M,et al.Analytical modeling of a large-scale dynamic testing facility [J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2012,41(2):255-277.

[5]CLARK A J.Dynamic characteristics of large multiple DOF shaking table [C]∥Proceedings of the 10th World Conference on Earthquake Engineering.Rotterdam：Balkema,1992:2823-2828.

[6]何景峰,李保平,佟志忠,等.液压驱动冗余振动台自由度控制及内力协调 [J].振动与冲击,2011,30(3):74-78.

HE Jing-feng,LI Bao-ping,TONG Zhi-zhong,et al.DOF control and inner force balancing of hydraulically redundant actuated shaking table [J].Journal of Vibration and Shock,2011,30(3):74-78.

[7]WEI Wei,YANG Zhi-dong,HAN Jun-wei,et al.Internal force decoupling control of hyper-redundant shaking table based on stiffness matrix [C]∥Proceedings of the 2014 International Conference on Applied Mechanics and Materials.Switzerland:Trans Tech Publications,2014,681：115-120.

[8]韩俊伟.三向六自由度大型地震模拟振动台的研制[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,1996.

[9]UNDERWOOD M A,KELLER T.Applying coordinate transformations to multi-DOF shaker control [J].Sound and Vibration,2006,40(1):22-27.

[10]PLUMMER A R.A general coordinate transformation framework for multi-axis motion control with applications in the testing industry [J].Control Engineering Practice,2010,18(6)：598- 607.

[11]MERLET J P.Parallel robots [M].2nd ed.Dordrecht：Springer,2006:135-140.

[12]SHORTREED J S,SEIBLE F,BENZONI G.Simulation issues with a real-time,full-scale seismic testing system [J]. Journal of Earthquake Engineering,2002,6(1):185-201.

[13]MERRITT H E.Hydraulic control systems [M].New York：John Wiley & Sons,1967:89-95.

[14]KOEKEBAKKE S H.Model based control of a flight simulator motion system [D].Netherlands:Delft University of Technology,2001.

[15]吴昌悫,魏洪增.矩阵理论与方法 [M].北京:电子工业出版社,2006:249-279.

Internal Force-Coupling Dynamic Suppression Strategy for

Redundantly-Actuated Hydraulic Shaking Table

GAOChang-hongCONGDa-chengYANGZhi-dongQUZhi-yong

(School of Mechatronic Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, Heilongjiang, China)

Abstract:When the motion range of redundant shaking table is large, adopting the linearization near the zero position to control the degrees of freedom (DOF) and suppress internal force coupling can result in large motion errors and poor internal force suppressing performance. In order to solve this problem, a kinematics model and a kinetic model are constructed for a redundantly-actuated hydraulic shaking table of two redundant DOFs and large motion range, and the internal force space structure of the shaking table is analyzed. Then, an internal force-coupling dynamic suppression strategy is proposed on the basis of the real-time solution of internal force space basis. In this strategy, the internal force of the shaking table is reduced by real-time acquiring and dynamically suppressing the force of redundant DOF space. Simulation results show that the proposed strategy can reduce the internal force of redundant shaking table effectively.

Key words:hydraulic shaking table; redundant actuation; linearization near the zero position; internal force coupling; motion control

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2016.01.014

中图分类号：TP242.2

作者简介：高长虹(1987-),男,博士生,主要从事并联冗余驱动系统的控制研究.E-mail:my.cool.cn@163.com†通信作者： 杨志东(1980-),男,博士,讲师,主要从事并联冗余驱动机构分析设计与控制研究.E-mail:yangzhidong@hit.edu.cn

*基金项目：国家自然科学基金资助项目(51205077,51475116)

收稿日期：2014-12-05

文章编号：1000-565X(2016)01- 0093- 07

Foundation items： Supported by the National Natural Science Foundation of China(51205077,51475116)