数学教学中学生发展思维的探索和挖潜——谈抽象函数的有关性质周期性

（甘肃省天水市武山县鸳鸯初级中学，甘肃 武山 741315）

函数是中学数学的重点内容，而抽象函数因其解析式的不具体而成为函数内容的难点之一，但因其又能很好地考查学生对函数概念的理解与抽象思维能力，因而在进几年的高考和各类竞赛中经常出现抽象函数方面的题目，本文就抽象函数的周期存在条件作一点探讨，从而得出一种简捷的求抽象函数周期的方法，以期能在这方面给大家一点启示。

定义：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一值时，都有f(x+T)=f(x)成立，那么函数f(x)是周期函数，并且周期为T。

定理1.对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数a，使得当x取定义域内的每一值时，都有下列条件之一成立时，那么f(x)是周期函数，并且周期为 2a，即：

条件 1：f(x+a)=-f(x)

条件 2：f(x+a)=f(x-a)

条件 3：f(a+x)=f(a-x)且 f(x)是偶函数

条件 4

证明：①由条件1及已知，对函数f(x)定义域内的任意x都有f(x+a)=-f(x)

所以f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x)即f(x+2a)=f(x)

所以函数f(x)的一个周期为2a

②由条件2及已知，对函数f(x)定上域内的任意x都有f(x+a)=f(x-a)

所以f[(x+a)+a]=f[(x+a)-a]=f(x)即f(x+2a)=f(x)

所以函数f(x)的一个周期为2a

③由条件3及已知，对函数f(x)定义域内的任意x都有f(a+x)=f(a-x)，且f(x)是偶数

所以f[a+(x+a)]=f[a-(x+a)]=f(-x)=f(x)

即f(x+2a)=f(x)所以函数f(x)的一个周期为2a

④由4可知，对f(x)定义域内的任意x都有

所以

即f(x+2a)=f(x)所以函数f(x)的一个周期为2a

定理2.对于函数f(x)，若存在一个非零常数a，使得当x取定义域内的每一值时都有下列条件之一成立时，函数f(x)是周期函数，并且周期为4a。即：

条件 5：f(x+a)=-f(x-a)

条件 6：f(a+x)=-f(a-x)且 f(x)为偶函数

证明：⑤由条件5及已知

因为f(x+a)=-f(x-a)

所以f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f[(x+a)-a]=-f(x)

所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-f[(x+2a)=f(x)

所以函数f(x)的一个周期为4a

⑥由条件6及已知

因为f(a+x)=-f(a-x)且f(x)为偶函数

所以f(2a+x)=f[a+(a+x)]=-f[a-(a+x)]=-f(-x)=-f(x)

所以f(4a+x)=f[2a+(2a+x)]=-f(2a+x)=f(x)

所以函数f(x)的一个周期为4a

推论1.对于函数f(x)，若存在两个非零常数a，b(a≠b)使得当x取定义域内的每一个值时，都有下列条件之一成立时，那么函数f(x)是以2(a-b)为周期的函数，即：

条件 7：f(a+x)=f(a-x)且 f(b+x)=f(b-x)

条件 8：f(a+x)=-f(a-x)且 f(b+x)=-f(b-x)

简证：⑦由条件7及已知

f[x+(a-b)]=f[a+(x-b)]=f[a-(x-b)]=f[b+(a-x)]=f[b-(a-x)]=f[x-(a-b)]

由定理1的条件2知，f(x)是以2(a-b)为周期的函数

⑧由条件8及已知

f[x+(a-b)=f[a+(x-b)]=-f[a-(x-b)]=-f[b+(a-x)=f[b-(a-x)]=f[x-(a-b)]

由定理1条件2知，f(x)是以2(a-b)为周期的函数

推论2对于函数f(x)，若存在两个非零常数a，b(b≠a)使得当x取定义域内的每一值时，都有下列条件之一成立时，则f(x)是以4(a-b)为周期的函数，即：

条件 9.f(a+x)=f(a-x)且 f(b+x)=-f(b-x)

条件 10.f(x+a)=f(x-a)且 f(x+b)=-f(x-b)

间证：⑨由条件9及已知

f[x+(a-b)]=f[a+(x-b)=f[a-(x-b)]=f[b-(x-a)] f[b+(x-a)]=-f[x-(a-b)]

由定理2条件5知，f(x)是以4(a-b)为周期的函数

⑩由条件10及已知

f[x+(a-b)]=f[(x+a)-b]=-f[(x+a)+b]=-f[(x+b)-a]=-f[(x+b)-a]=-f[x-(a-b)]

由定理2条件5知，f(x)是以4(a-b)为周期的函数。

例1.设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3)=-f(x)求f(2016)

解：由定理1的条件1知函数f(x)的周期

为T=2×3=6所以有f(6k+x)=f(x)(k为非零整数)

又f(x)为R上的奇函数 所以f(0)=0

所以f(2016)=f(6×336)=f(0)=0

例2.设f(x)是实数集R为定义域的函数且满足：

f(x+10)=f(10-x) f(20-x)=－f(20+x)

则f(x)是（） （1992年全国高考中联赛题）

A.偶函数又是周期函数 B.偶函数不是周期函数

C.奇函数又是周期函数 D.奇函数不是周期函数

解：由推论2条件9可知，函数f(x)的周期为

T=4×(20-10)=40

又f(20-x)=-f(20+x)

所以f(-x)=f[20-(x+20)]=-f[20+(x+20)]=-f(40+x)=-f(x)

即：f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数 故选（C）

例3：设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意

都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且 f(1)=a＞0

(1)、求

(2)、证明f(x)是周期函数（2001年全国高考题）解（1）（略）

（2）依题设y=f(x)关于直线x=1对称

由定义的条件3可知：f(1+x)=f(1-x)

用x-1代x得：f(x)=f[1-(x-1)]

故 f(x)=f(1+1-x)即f(x)=f(2-x)， x∈R

由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x) x∈R

∴f(-x)=f(2-x) x∈R

将上式中的-x以x代替得 f(x)=f(x+2)x∈R

这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期。