例说初中数学教学难点的突破——从李祎《另眼看难点》说起

☉江苏省海安县李堡镇初级中学 居红兰

例说初中数学教学难点的突破
——从李祎《另眼看难点》说起

☉江苏省海安县李堡镇初级中学 居红兰

近读李祎教授在《数学通报》2016年第7期上《另眼看难点》一文（详见1），多有共鸣，比如李教授在数学教学难点及其教育价值的认识上，认为其具有双重性的特征，即消极性和积极性，既要注意到教学难点在教学过程中的消极作用，又要注意到难点在深化知识、发展知识和提高能力方面的积极意义.同时强调要通过精心设计发挥教学难点磨炼意志品质，激发探索兴趣，培养创新精神.并在文章后半段以案例说事，例举了高中数学“函数的奇偶性”的教学设计让学生经历数学教学难点，文章很有启发性，笔者结合多年来的初中数学教学经历，也对初中数学教学难点的突破有所思考，本文结合一些教学案例整理成文，提供研讨.

一、明辨教学难点，需在深刻理解数学上下功夫

熟悉中学数学教学研究动态的同行应该都知道，近五年来，人民教育出版社中学数学室编审章建跃博士提出的“三个理解”（理解数学、理解教学、理解学生）席卷神州大地，引发热议，影响不容小视.突出表现在面向初中数学的教学刊物上大量的以“三个理解”为关键词的案例文章，其中关于理解数学的论述更是排在第一位的.在笔者看来，所谓理解数学，其实就是要明辨教学重点与难点，包括辨别学段特点，单元、章节或课时的重点与难点.

比如，在七年级学生刚进入初中之后，有理数学习时的重点与难点是运算，而学好运算的难点是确定符号，确定符号主要是各种不同运算的运算法则来规定的，但是随着运算类别的增多、括号的层次的增加，一些适应不好的学生往往陷入混乱，难以顾及顺序，使得运算能力下降.这里如果我们能明辨学生在初学七年级有理数运算的难点是符号确定时，就会在相关的教学环节增设一些确定符号的训练活动，使学生在运算前认真观察，明辨运算类型，然后引导学生确定符号之后再转化为“算术数”（小学阶段的数）进行运算.

又如，八年级等腰三角形第1课时证明“等边对等角”，难点并不是应用这种性质解题或推理，也不是用多种方法（包括不同的添加辅助线的方法）证明该定理，而是引导学生明辨“等边对等角”的题设与结论，并能在此基础上画出草图，写出已知、求证，即将文字命题转化为图形、符号语言进行证明.

再如，九年级学习圆周角定理时，难点是圆周角定理的证明，该定理的证明关键还不是画好图形再分类证明，应该是学生如何想到要分不同的情况来证明，这将涉及学生对图形不同位置关系的全面思考，再分类画图后从不同角度来证明.

二、预设教学活动，通过追问互动化解教学难点

如上所述，在理解数学的基础上，辨析教学重点与难点之后，就需要对教学难点进行充分预设，通过有针对性的教学活动化解教学难点.李教授在文1中指出“概念教学的难点是对概念的深刻理解，定理教学的难点是对定理结论的发现，解题教学的难点是对解题思路的探寻.”

比如，在七年级数轴这一概念的学习，较低层次的是让学生会在数轴上确定数、对应某数的位置，稍高的层次是会利用数轴比较数的大小，发挥数轴的工具作用，而真正的难点或较高层次的数轴理解则是需要学生通过数学发展他们对数形结合思想的理解，进一步感受初中数学与小学数学的重要不同就是数形之间的对应.于是在数轴教学时，为了突破这一难点，就可以从常量的数轴练习逐渐过渡到变量的数a与数轴上位置的变化，发展学生数形结合的思想、对应的思想等.

又如，八年级函数的教学，首先需要定位函数的难点是多个层次或角度的对应意识.较低层次的对应是自变量取一个值，相应的函数值唯一对应，即“单值对应”；第二层次的对应是函数解析式与函数图像的对应；第三层次的对应是结合函数图像研究函数增减性；第四层次的对应则是函数在自变量某一区间的变化趋势与函数值的跟进变化或对应.

再如，九年级锐角三角函数教学的难点在于这种类型的函数与之前所学的三种初等函数相比，形式上差别太大，学生难以建立函数概念，且由于知识局限，初中阶段并不展开对这种函数的图像与性质的全面分析，所以学生对锐角三角函数也是一种函数显得很不适应，根据笔者教学经验，不少高层次学生也只是熟悉一些特殊角度的三角函数值，而对于同角三角函数的关系的深入理解却较少.这些教学难点的突破也常常是很多初任教师放手不管，理解很功利：中考也不考，留到高中再学吧.笔者以为，对于这类教学难点，教师为了完善学生的知识体系，还是应该通过恰当的问题设计，比如，从特例出发，不断一般化，从而提示锐角三角函数的图像与性质，哪怕只是看到图像的一部分或局部，也是为学生将来进入高中全面研究三角函数有所准备的.

三、研发一题一课，在热身练习后渐次生成拓展

如李教授在文1中所指出的“解题教学的难点是对解题思路的探寻”.而当前各类习题课、复习课中老师们都会引用一些综合题、较难题，但对这些题的解决都显得仓促，教师牵引成份太大，有重要价值的教学难点没有能让学生来思考和突破思路.近一年来，《中学数学》（初中版）刊载了大量的关于中考综合题“一题一课”的课例文章，就给我们提供了很丰富的解题研究视角，值得关注和实践跟进.

笔者近年来在毕业年级任教的经历表明，如果只是对一道中考综合题就题讲题，就算是把思路给学生说清楚，也达不到多大的效果，常常是只有几个学生真正听懂，而且这几个学生本来就会；而不懂的学生还是没听懂.所以笔者也坚持将一道综合题通过认真构思，提供一些引例、高度相关的简单题例，通过对这些简单题例的变式改编、拓展生长，过渡到综合难题上，并通过恰当的追问、点拨，引导学生自我发现解题思路，在解决问题的同时给他们一种自主发现的愉悦、快感及自信.

事实上，不少优秀的中考综合题本身就是很好的渐次生长，比如下面这道考题：

考题（2010年江苏南通，第28题）已知抛物线y= ax2+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点.

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；

（3）设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积.

赏析：该题在第（2）问用一个特殊值要求学生证明点A到原点和到直线y=-2的距离相等，实现直线l与⊙A的位置关系是相切的证明.但这里隐含着抛物线上任意一点到原点（该抛物线的焦点）和直线y=-2（该抛物线的准线）的深层结构.所以不少学生在最后一问就难以找到转化的思路，一种典型的错解是把问题思考成轴对称性质“光线反射模型”或“将军饮马”模式，造成思路方向出错.而在解题教学时，需要在第（2）问增加铺垫，挖掘信息，使得学生在第（2）问上做足准备工作，为最后一问的一条重要辅助线PH垂直于直线y=-2交抛物线于点P而服务.这样增加铺垫的教学设计也是“设法帮助学生自己去攻克难点，让学生在经历难点的过程中，获得能力提升和智慧发展，从而使教学难点的价值最大化”.

四、开展听课检测，重视讲评难点之后的效果反馈

《中学数学》（初中版）近一年来还有很多课例文章推荐所谓的“听课检测”，这本不是什么新鲜的提法，笔者记得上个世纪末，刚参加工作时教学常规环节中就有要注意“当堂检测”“即时反馈”的要求，然而随着课改的一套新理念、新模式的强势干预，使得本来是一种夯实双基的有效手段退居幕后，如今不少一线教师又重新认识到当堂检测的重要性，并积极践行.笔者对听课检测也十分赞同，并在自己的教学实践中一直施行，因为缺少听课检测，往往看不到真实的教学效果，特别是对综合题的难点突破，学生是否真正理解、思路能否真正贯通，往往需要通过检测来反馈.这里特别要注意的是听课检测题的编拟，既不能用原题直接检测，又不能用一些所谓的其他地区的中考题、无相关性的变式题来考查，而应该基于所讲评的综合题，在不破坏问题深层结构的前提下经过简单的改编后用来检测，这样才能有效反馈学生是否真正掌握.

五、结束语

教学难点是一个教学研究中一个永恒的话题，受到文1的影响，本文有感而发，结合自己的教学实践，阐释一些个性化感想，既不一定准确，也不一定正确，敬请大家批评，更欢迎有好的课例或试题设计，带给我们突破难点的“直观表达”.

1.李祎.另眼看难点［J］.数学通报，2016（7）.

2.孙莉.思路生成贵在自然，一题一课追求简约——一道考题的思路突破与习题课设计［J］.中学数学（下），2016（9）.

3.吴忠妙.一道考题的思路、难点与教学设计［J］.中学数学（下），2016（9）.

4.杨卫东.客从何处来：一道几何把关题的命制历程［J］.中学数学（下），2016（8）.H