深刻理解数学是教师培训的当务之急——由一次网络研讨说起

☉江苏省徐州市第三十四中学孙莉

深刻理解数学是教师培训的当务之急
——由一次网络研讨说起

☉江苏省徐州市第三十四中学孙莉

当前各级教师培训活动、观摩活动确实很多，然而教师真正乐于参与的热情并不是组织方所期待的那样.一方面有来自教学（主要是应试训练方面）的工作压力，另一方面与各级培训的内容也不无关系.特别是，近年来兴起的所谓观摩名师课堂、参观“热闹的”教学模式、网络研修等培训活动，确实效率低下，说得严重一点，浪费金钱（不少外出培训要交会务费、车旅费、食宿费）、徒耗时间（在网上研修绝大多数老师都是为了拼出一点继续教育学分，把电脑开着挂时间，基本都是在做其他事情）.而笔者以为关于深刻理解数学的培训却鲜有开展，想起近期某千人的QQ群中一个年轻老师的问题，更觉理解数学的培训十分关键.本文就从这段研讨对话说起，对理解数学的培训提出一些初步思考，期待引发共鸣.

一、由一次网络研讨说起

以下是在某千人的QQ群里的一段网络研讨实录.

师1：请教：角的对称轴只有一条，对吗？

师2：对，角平分线所在的直线！

师1：如果是平角呢？

师3：你的提问，需要辨析等腰三角形与等边三角形、矩形与正方形，属于特殊与一般的辨识不清.

师2：咱说的是一般情况.

师1：这是一道判断题，多数学生都是考虑一般的情况，但也有极个别学生认为这是错题.

师3：好问题.咱们可顺势引导学生辨析数学中的特殊与一般，这是个很深的思想方法学问，往上走，属于哲学范畴.

师1：也就是说：在判断题中，应该告诉学生这是一个错误的命题吗？

师3：引导学生辨析这是一般情况的判断，不需要考虑特殊化.

师1：懂了.

二、对该网络研讨的评析

从该网络研讨可见，“师1”对数学的理解显然还没有达到一定的高度，甚至可以说还存在错误的认识.这就是指，他并没有辨明数学对象中的特殊与一般的关系，故而面对一道角的对称轴问题时，受到个别没有辨清特殊与一般的学生的左右，自己也犯糊涂了，又不知如何向这些少数学生解释清楚，就出现了“两小儿辩日”的尴尬处境，于是在群里发问，好在群里有老师进行了纠错，并例举了矩形与正方形、等腰三角形与等边三角形来辅助理解，应该说达到了较好的明辨效果.

事实上，关于特殊与一般的话题，一直就是数学中的重点和难点，中学数学在教材组织、内容研究时，明线是数学知识或研究对象，却又蕴含着“特殊与一般”的暗线.在代数中，通常是从特殊到一般的推进顺序，如幂的运算法则，教材上都是先出现一组简单的同底数的幂的运算，然后逐渐推广、一般化，引导学生归纳出幂的运算性质，并进一步组织学生证明，乘法公式、韦达定理的教学也都可以这样来组织教学.这种从特殊到一般的推理，能有效发展学生归纳、类比的能力，让学生感受到推理的思维力量.而在几何教学与研究中，教材上却是从一般到特殊的组织顺序，比如三角形的学习，先学习三角形的定义，接着是三角形相关的三条重要线段（中线、角平分线、高线）、三角形的内角和，然后在轴对称图形一章中安排学习等腰三角形（含等边三角形），再到直角三角形与勾股定理，还有矩形中总结出直角三角形斜边上中线的性质，到九年级的锐角三角形函数、圆中的三角形外接圆，圆周角定理及推理中揭示出来的直径所对的圆周角为直角等.这一系列的演进过程，一根暗线就是“从一般出发，然后不断问题特殊化，研究很多特殊图形”.这也就是史宁中教授强调的演绎推理，即从一般到特殊的推理.而教材上之所以将关于三角形的学习安排在七、八、九三个年级，一方面与相关三角形知识需要其

他几何图形及性质的支持，另一方面也是期待以暗线“联系”“串联”.这也就是史宁中教授关于数学教育，特别是基础教育阶段数学教育提出的两点告诫：至少要明晰两件事情，一件事情是，不能单纯让学生记住一些概念，掌握一些解题的技巧，要形成和发展数学素养，特别是逻辑推理素养；另一件事情是，学生逻辑推理素养的形成和发展，在本质上，不是靠教师“教”出来的，而是靠学生“悟”出来的［1］.

三、关于“深刻理解数学”的进一步思考

1.开展教材培训与研究是各级教研活动不可放松的研讨主题

当前的教研活动有不少都是所谓的教学观摩，或名师课堂，或教学模式展示，听课之后常常多是溢美赞誉，碍于情面，即使有截然不同的观点，也不会明确提出所谓的商榷意见，这样的“你好、他好、大家好”的研讨氛围，使得年轻教师、初任教师常常迷失方向、不辨美丑.再有上个世纪在各级教研活动中的重视研讨教材的传统做法因为各级教研体系的“破坏”而直接受损，我们看到很多“超大学校”（平行班级在10个班以上的学校目前在城区学校中不在少数）的教研活动中，特别是集体备课时，常常是研讨所谓的“导学案”上的选题，即选入导学单的习题是否来得来及在课堂上处理，是否贴近本地区中考的特点，而对于教材的研讨基本缺失，这不能不说是一种遗憾.

2.“离开教材、紧抱教辅”的教学取向值得警惕

如上所述，“超大学校”集体备课时只是针对入选“导学案”的习题是否典型，是否符合本地区中考题的风格，而对这些题是否与本课时教材内容匹配，本课时教学上的重点、难点辨析，都缺少深入的思考和研讨.再有，这些入选“导学案”的试题多是各级教辅资料上的习题，或是直接从相关习题网站上下载的（目前很多网站有所谓的在线自动组卷功能），可见这种“离开教材、紧抱教辅”的研讨、备课形式，已成为离开教材搞教学的一种典型应试模式.

想起一类典型的错题，就是关于所谓抛物线形状相同的错题，摘取一例.

错题：一个抛物线与二次函数y=x2的图像形状和顶点相同，但开口方向不同.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如果该抛物线与一次函数y=kx-2相交于A、B两点，已知A点的纵坐标为-1，求△OAB的面积.

商榷：这里关于抛物线形状相同的描述说明命题老师对“所有抛物线都是相似”缺少认识，而是把抛物线形状相同等价于二次项系数的绝对值相等（值得指出的是，在相关搜索网站上，以“抛物线形状相同”为关键词搜索时，竟然有大量回复为“a1、a2相等或互为相反数”的结果），北航李尚志教授在相关群里也曾明确指出这类错题原因：把全等图形说成形状相同，这不错，但不能反过来要求形状相同的都是全等图形.命题人的意思实际上是全等，还不如直接说它们全等.但中学教材只定义过多边形的全等，没有定义过曲线围成的图形的全等，尤其是抛物线这种无限延伸图形的全等.

知易行难，笔者将上面的错题打磨如下.

打磨题：在同一平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2与抛物线y=x2关于x轴对称.

（1）求a的值；

（2）若抛物线y=ax2与直线y=kx-2相交于A、B两点，当A点的横坐标为-1时，求△OAB的面积.

3.各级命题应切实回归教材，发挥研究教材的导向功能

在当下应试教学的现实背景下，再谈另一个更为现实的引领，这就是几乎所有学校都坚守的“月考”制度.月考通常是以学校为单位的命题，由于所谓保密、命题成本的原因，命题者往往直接奉行拿来主义，简单复习，造成质量偏低，大量教辅资料上的习题原题出现在月考卷中是司空见惯的.而及至期中、期末，往往命题范围稍大些，然而基本上也是命题的“重灾区”，影响面也甚广，常常见到期中、期末之后，网上传播着各地的试卷，鲜有优秀试题，特别是很难看到引导回归教材、导向教学的优秀试题.想来在课改号角再次吹响，核心素养之风劲括大江南北之时，如果各级命题、评价的试题得不到根本上的改善，不能基于理解数学的高度，引导回归教材、回归“好的数学题目”（章建跃博士语，指那些表述简洁好懂，思考后简约而深刻的题目），那么所谓的课改预期又会大打折扣.

1.史宁中.试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理［J］.数学教育学报，2016，25（4）.

2.苏强.教师课程哲学观的生成及其实践功能［J］.课程·教材·教法，2011（2）.

3.涂荣豹，杨骞，王光明，编著.中国数学教学研究30年［M］.北京：科学出版社，2011.

4.成尚荣.教学改革绝不能止于“有效教学”——“有效教学”的批判性思考［J］.人民教育，2010（23）.Z