核心概念“面积”的前测研究*

□范新林 朱国平

核心概念“面积”的前测研究*

□范新林 朱国平

面积是小学数学“图形与几何”领域重要的概念。那么，学生在学习面积之前对它有何了解，学生的认知起点又在哪里？带着这些问题，设计了本次前测。测试内容有平面与曲面的认知度、一维与二维的区别联系、学生对面积的印象等方面，通过测试城乡120名学生，做了数据分析，并提出了相应的教学建议。

面积 核心概念 前测 图形与几何

一、面积的认识

物体表面是一个二维的图形，直观地感觉它所占有的区域具有一定的大小。对一个二维图形的表面进行度量之后，用一个“数”标记它的大小，称这个数为该图形的面积。这里的“面”指有长有宽而没有厚度的一种“行迹”，而这种行迹并不一定必须是“平面”的，如球面。当然，这种用“大小”“度量”“物体”“表面”等普通名词，都是一种直观的描述。严格的面积定义以及面积公理的发展（测度公理）基本想法是：既然图形是一个集合，而相应的图形的面积是一个数，所以，面积是定义在“集合族”之上的一个函数。

小学数学教材将有关几何图形的面积的经验性知识，进行数学描述。如：（1）“物体的表面或封闭（平面）图形的大小，就是它们的面积”（人教版实验稿、北师大版等教材）；（2）“黑板表面的大小是黑板的面积”（苏教版教材等）、“课桌表面的大小，就是课桌面的面积”（人教版修订稿教材等）。不难发现，后一种描述方式比之前者，抽象概括的成分更少，“黑板”“课桌”这些实际物体的表面比之“物体的表面”更具体、直观。总之，现行教材使用直观描述的方式，便于学生领悟面积的实际意义。

二、学生已有经验的分析

现行教材都把面积这一内容放在三年级下册。从“形”的角度分析：在之前的学习中，学生简单认识了立体图形和平面图形，知道了长方形和正方形的一些简单特征（边的长短、四个内角是直角）；从“长度”的角度分析：学生已经知道了长度的概念，学习了常用的长度单位（厘米、米、分米等），在三年级上册还学习了周长的概念及计算图形周长的方法。这些知识的储备和相关的数学活动经验为学习面积做好了准备。那么，学生在学习面积之前，对它有哪些认识呢？

（一）生活中关于面积经验的积累

面积作为一种生活现象每天都遇到，并非难得一见。学生的成长过程中遇到具有面积意义的活动很多，学生感受了面积，但不知道这就是面积。下列生活场景具有面积的意义，学生能大概知晓面积是有大小的。

现象1：搬新家了，新家比老家大很多，从父母那里听说了新家的面积是多少平方米。

现象2：课桌上可以摆很多东西，书本、铅笔盒、练习本等，学生在整理课桌时，会把书本放底下，把面积较小的练习本放在书本的上面。

现象3：下雪了，儿子和爸爸一起在雪地上走，爸爸留下的脚印大，儿子留下的脚印小。

上述现象都有面积的雏形，学生在成长过程中能经常遇到或发生与面积有关的事件，学生在不知不觉中积累了有关面积的直观感知。

（二）幼儿园学习过程中积累的面积经验

幼儿在幼儿园的学习生活中，也有可能接触到有关面积的概念。湖州市蓝天幼儿园的卞娟娟老师提供了这样一个案例。

活动名称：脸有多大

活动1：每个小朋友手上有一张正方形的“脸”，比比谁的“脸”大呢？

方法：目测、重叠比较等；结果：是一样大。

活动2：用三角形来帮帮忙，看看“脸”有多大？怎么量呢？

方法：将三角形拼在正方形“脸”上，不能留下空隙，要拼满。结果：每张“脸”用了8个三角形，“脸”有8个三角形大。

活动3：长方形“脸”、三角形“脸”等也想出来和正方形“脸”比比，看看谁大谁小。

重点：怎样才能用三角形这个测量工具把这些不同形状的“脸”拼满；鼓励幼儿用剪刀剪，使一个图形变形，再用与另一个图形重叠的方法来比出“脸”的大小。

幼儿园都是综合性课程，教材有自主选择的余地，我们调查了城乡诸多幼儿园的老师，发现幼儿园老师会在中班、大班教学中将面积的概念渗透在游戏中。

（三）小学学习过程中积累的面积经验

幼儿进入小学后，在小学数学学习过程中接触有关面积概念的机会就更多了。如在一年级认识平面图形这一单元中，学生对于“面是有大小的”有了一定的感性认识，以人教版修订稿教材为例，教材编排了以下习题：

习题1：拼一拼，两个同样的三角形可以拼成一个平行四边形。

习题2：选择七巧板中的几块拼三角形、长方形等。

习题3：剪一剪，将一个正方形剪成两个相同的长方形、三角形。

习题4：将一张长方形纸剪成大小相等的两块。

学生通过本单元的学习，初步体会平面图形是有形状区分的，并通过“拼”“剪”两类操作活动，学生感受到面是有大小的，面是可分割、可拼组的。

再如，在三上“长方形和正方形”这一单元中，教材编排了以下习题：

习题1：在点子图中画四边形、长方形和正方形。

习题2：在方格纸中画长方形和正方形，画规定长度的长方形和正方形。

习题3：用长方形纸剪一个最大的正方形。

习题4:用两副三角板拼长方形和正方形。

习题5:把正方形纸折成相同的两部分。

不难发现，三上习题中有关“拼”“剪”的操作活动依然延续，并增加了“画”的操作活动。在习题题干上出现了“大小”“相同”“最大”等词语，其实已经蕴含了面积的意义。如此，相关教学内容为学习面积积累了比较丰富的经验。

三、前测的意图及习题

从上述的分析来看，学生对于面积这个概念已经有了比较丰富的生活经验和数学经验。但是就每个个体而言，对面积的感知是否如上所说，他们当中存在着怎样的差异呢？为了更好地帮助学生学习并建构面积的概念及内涵。我们试图通过前测了解学生以下几个方面的现实起点，从而为教学提供有利的资源和借鉴。

1.学生对于“平面”与“曲面”的认知度有多少？

2.学生能否辨识“线段”与“平面图形”的区别与联系？

3.画在方格纸中的两个长方形，学生能否根据方格的数量比较它们的大小？

4.用一根绳子围成不同的平面图形，它们的面积是否相同？学生对于周长与面积的区别有多少了解？

5.学生在学习前是否听说过“面积”？能否用自己的话说一说什么是面积？

基于这样的意图，又为了便于操作，我们设计了如下的前测题。

测试对象：三年级下学期学生，在学习面积之前。

四、测试要求和数据统计

（一）测试的对象

三年级学生120人，在学习面积之前测试。

（二）测试的方法

统一采用面试。先做好测试题课件（包括录音），逐一对学生进行面试，有条件的可以录像，但不要对学生产生影响。

（三）数据统计

每个测试题需要统计的数据：

测试题1：对于桌面和球面的区别是从什么属性进行描述的，比率是多少？

测试题2：从什么角度区分线段和长方形，比率是多少？

测试题3：用什么方法比较两个长方形的面积，方法合理、比较正确的比率是多少？

测试题4：一条绳子会围成什么图形，每种图形的人数是多少？能否比较两个图形的大小，比率是多少？

测试题5：知道面积这个词的学生比率是多少？能合理描述什么是面积，比率是多少？

测试题目 测试意图 测试形式1.出示物体：口试（1）桌面与球面有什么不一样？（2）像桌面一样的面还在哪里看到过？检测学生对曲面与平面的直观理解2.它们有什么不一样吗？ 检测学生对一维与二维感性认识的程度口试3.下面哪个图形大，大多少？检测学生对图形大小的原始辨别力口试4.给学生两条一样长的绳子，让学生分别围成两个不同的图形。提问：围成的那两个图形大小一样吗？检测学生对图形大小的理解与周长关系的原有认识口试5.你听说过面积这个词吗？用自己的话说一说什么是面积检测学生对面积一词的知晓率和理解度口试

五、测试结果分析和教学建议

（一）测试结果

我们选择了城区中心小学和乡镇小学3所共120名三年级学生进行了前测，其结果如下：

测试题一：

（1）桌面与球面有什么不一样？

（2）像桌面一样的面还在哪里看到过？

会举例的学生有107人，占被测人数的百分比是89.2%；不会举例的学生13人，占被测人数的百分比是10.8%。

描述的属性桌面 球 人数 百分比外形 不是圆的、是方的 圆的 10 8.3%外形 平的、扁平的圆的 51 42.5%外形 长方形 圆的 34 28.3%外形 平面的 立体的、球面 3 2.5%外形 平的 不平的、弯的、凸出的 8 6.7%角 有角 光滑无角 2 1.7%大小、长短 大的、长的 小的、短的 2 1.7%触觉 光滑的 圆 2 1.7%运动 能滑动、不能滚动 可滚动 6 5.0%边缘 线是直的 线是圆的 1 0.8%不知道 1 0.8%

举例的学生主要答案有：

凳子、书柜、电视机、墙、书、门、椅子、窗户、报纸、硬币、地板、瓷砖、木板、讲台、餐巾纸、电脑屏幕。

测试题二：

线段（图）和长方形（图）有什么不同？

描述的属性 线段 长方形 人数 百分比外形 细、窄、薄、扁粗、宽、厚、高 71 59.2%大小小 大 7 5.8%线与面 一条线、线段长方形、图形、一个面29 24.2%位置 倒下来的、横的 竖着的、正的 3 2.5%边 一条条的、一条边 一张张的、四条边 2 1.7%体 不是立体的立体的 2 1.7%线 直的 由很多条线组成 1 0.8%位置 只能画 可立起来摆放 1 0.8%颜色 淡的 浓的 2 1.7%不知道 2 1.7%

测试题三：

下面哪个图形大，大多少？

比较方法 比较结论 正确性人数 百分比数格子 图形1大 正确 46 38.3%数格子 图形2大、一样大 错误 4 3.3%移动格子、拉动 一样大 错误 3 2.5%比较长、行 图形2大 错误 14 29.2%比较宽、高、列 图形1大 片面 21比较长和宽、并抵消 一样大 错误 1 0.8%胖与瘦 图形1大 片面 8 6.7%感觉、猜的 一样大 错误 21 17.5%感觉、猜的 图形1大 正确 1 0.8%不知道 1 0.8%

测试题四：

给学生两条一样长的绳子，让学生分别围成两个不同的图形，提问：围成的那两个图形大小一样吗？

围成的形状 比较结论 人数 百分比不规则图形（13人）、爱心（10人）、圆（93人）、椭圆（23人）、半圆（3人）、三角形（37人）、长方形（16人）、正方形（45人）一样大 44 36.7%不一样大 76 63.3%

测试题五：

听说过面积这个词吗？用自己的话说一说什么是面积？

百分比不知道 无 22 18.3%知道，不能说是否知道面积对面积的描述 人数无48 40.0%说知道，其实不知道就是长度、物品的大小、整体有多大、一个东西有多大8 6.7%知道，能说（1）表示图形有多大；（2）表示图形、物体的大小；（3）平面图形的大小；（4）指大小；（5）多少平方；（6）一个地方的大小；（7）面积代表你有多大；（8）桌子面的大小；（9）一个物体的面的大小；（10）表面谁大；（11）表面的大小；（12）国旗有大有小42 35.0%

（二）测试结果分析

第一，桌面与球面的区别，有85%的学生是从面的外形作区分的。在描述桌面时，学生用到了“平的”“平面的”“长方形”“方的”等词汇，对于长方形“形”的特征有了基本的感知。描述球面时，用到了“圆”，对于圆和球的区别还是模糊不清的。

第二，在线段与长方形的辨析中，学生对于一维和二维的认知度还是比较低的，能区分线和平面属性的学生只占到被测学生总数的24.2%。学生在描述线段时用到了“细、窄、薄、扁”等词汇，描述长方形时用到了“粗、宽、厚、高”等词汇，占被测学生总数的59.2%，学生不知道线是没有宽度的。

第三，在测试两个长方形的大小比较时，有44.2%的学生想到了用数格子的方法进行比较，比较正确的占被测学生总数的38.3%，这些学生对于长方形的面积会从整体去思考，并借助方格完成比较；有29.2%的学生只比较了长或宽，这些学生已经意识到长方形的大小与长和宽有关，虽片面，仍具有合理性。我们关注到有25%的学生没有从长和宽考虑，依靠直觉判断，两个图形的面积分别是35和32，回答一样大的占17.5%，虽然错误，直觉还是比较准的。

第四，在绳子围成图形比较大小的测试中，测试结果出乎我们的预料。只有36.7%的学生认为两个图形是一样大的，理由也几乎相同，即因为绳子一样长，这些学生是从周长的角度去思考图形的大小，他们认为周长相等即大小相等，而跟图形的形状无关，虽片面，仍具有一定的合理性；此外，围成圆（椭圆）的学生特别多，原因是圆比较容易围，在围成圆后，第二个图形有长方形、正方形、三角形等，他们往往认为圆比较大（占此类比较的66.4%），学生对于大小的直觉还是比较准确的。

第五，在对于“面积”这个词的知晓度上，有81.7%的学生从不同场合听说过，这也符合测试前我们的预测。我们还惊奇地发现，有35%的学生能从“物体表面”“平面图形”“图形的大小”“平方”等词汇描述面积的概念，这已经非常接近教材对面积的描述。

第六，城区学校和乡镇学校学生之间没有明显的差异；男生和女生的差异比较明显，最典型的例子是对于面积这个概念能合理描述的42人中，男生有31人，占73.8%，男生在空间图形领域的认知度发展高于女生。

（三）教学建议

根据前测数据分析，我们对面积一课的教学提出如下几条建议：

1.充分利用学生的生活经验，发展空间观念。

学生的空间知识来自丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。让学生在“教室里”“校园内”“家中”等熟悉的情境中学习有关“面积”的内容，不仅可以激发学习的兴趣，而且有利于更好地认识空间，发展空间观念。

2.加强动手操作活动，丰富学生对面积的表象。

教材对面积的描述为“课桌表面的大小，就是课桌面的面积”等借助实物表面描述的方式。这里其实提到两个事情，一是哪里有面积，二是面积是有大小的。教学中可以让学生找物体的表面，并摸一摸表面，感受表面的大小；用小面积度量大面积的方法（如用书本测量桌面）积累测量面积的经验，并能用语言描述测量的结果（如桌面的大小大约是4本数学书封面的大小）。加强动手操作活动的目的是让学生通过手、口、眼、耳多种感官的协同活动，特别是通过动手操作，在做中学，有利于丰富学生的感性认识，有效地提高知识摄取的效果。

3.加强直观教学，丰富学生的直接经验。

从比较书的封面的大小和比较平面封闭图形的大小入手，由直接比较到间接比较，这里的“比较”一是观察比较，二是重叠比较。一般来说，当物体表面或平面图形大小差异明显时，可以采用观察比较；当大小相差不大难以观察得出结论，而物体又便于叠合时，则可以采用重叠的方法比较大小。此外，还有间接比较的方法，即用某种统一的图形作为标准，在被比较的平面部分内进行拼摆，数一数，各有几个这样的图形。学生通过多种比较活动，在获得多种感性认识的基础上，抽象出面积的概念。在引入面积概念的描述后，让学生用“面积”说一说上面的比较结果。在空间与图形的教学中，提供直观往往是认识的起点，学习的开端。用好直观手段，加强直观教学，对于掌握空间与图形的知识具有重要意义。

4.辨析一维长度与二维面积，区分面积与周长。

周长和面积两个测量的量中，周长是学生最难感知的，也是学生最难理解的。因为周长和面积同处于一个平面内，平时我们在观察图形时首先关注的一定是面积，所以学生对周长的感知会差一些，在解决周长和面积的问题时也易发生混淆。

教学时，可以在方格纸中设计周长相等面积不等的图形及周长不等面积相等的图形让学生辨析。

（浙江省湖州市湖师附小教育集团 313000）

浙江省哲学社会科学重点课题：小学生数学学习前概念诊断与教学干预研究（13NDJC007Z）