生长构架：复习课的理念创新

☉江苏省南京市宁海中学分校　卜以楼

生长构架：复习课的理念创新

☉江苏省南京市宁海中学分校卜以楼

生长型构架下的数学复习课，一改惯用的“框图+例题+练习”的单一做法，而是根据所要复习的知识内容和学生已有的认知经验，坚持系统论理论，践行“生长数学”的教学主张，运用结构化的思维方法，架设生长型路径，开展探究性活动，形成求异思维的一种自我建构的、有着新授课特质的复习方法.这种复习课，学生将根据教师搭建的立体式、生长型构架中的“梯子”，重新认识所要复习的知识，并通过知识的生长过程，让学生拾级而上，看清数学本质，达到一定的认知高度，形成“一览众山小”的体验，切实提高问题解决的能力，进而提升数学素养.下面就生长型复习课的教育情怀、教学原则及设计策略谈几点认识.

一、生长型复习课的教育情怀

生长型复习课的情怀源于生命，立意基于生长，本质体现发展.为此，生长型复习课的价值就在于尊重生命，放飞思维，收获素养.

1.让复习课讲述新故事

广州的苏德杰老师认为，让学生喜欢数学课，就要向故事学过程.故事吸引孩子们，是因为它有发生发展的全过程.其中有顺境，也不乏逆境，情节跌宕起伏.回到数学，就要展现思维的全过程，包括行得通和行不通的想法和做法.我们知道，新授课常常是围绕一个探究内容，展开“问题情境—模型解释—拓展应用”这个思维主线，讲述由未知到已知的思维故事［1］，其中问题情境可算是思维故事的发生，模型解释就是思维故事的高潮，拓展应用相当于思维故事的结束.在这个思维故事中，主题鲜明、经过清晰、高潮壮观、结局美好，所以能给学生以一种扣人心弦、振奋人心的思维向往.而复习课的内容，对于绝大部分学生来说，内容是已知的，方法是熟悉的，操作是重复的，不再具备神秘性，所以会产生审美疲劳.如果教师再一味地机械重复新授课的内容，其复习效果可想而知.

解决上述问题，用生长型构架来进行复习课的教学就是一个不错的选择.例如，进行“幂的运算”［2］复习时，可以紧紧围绕“什么是幂”“研究幂的运算就是要研究幂的哪些运算”“如何来研究这些运算”“研究这些运算会给我们数学学习带来什么样的新视野”等主题进行探究，讲述数学思维故事.

2.让复习课助力新思维

对于复习课，如果我们仍然用新授课呈现知识的那个视角将复习内容再重新呈现一遍，那么对于喜欢求异创新的学生及对这部分知识方法掌握得比较好的学生，就缺少吸引力和新鲜感，这样也势必会影响复习效果和质量.即使是对还没有完全掌握这部分知识的学生来说，之所以这部分知识没有完全掌握，固然有学生自身的原因，但是也有当时教师运用的教学方法不适合这部分学生的缘故.为此，要重新审视新授课时的教学方法，分析新授这一知识时的教学要素，整合这部分教学内容的学习资源，重新选择探究这些知识的视角，那么用生长型构架进行复习课的设计理念便应运而生.

这个新理念，就是面对同一学习内容，设计出异于新授课营造的思维场景，构勒出复习这一内容的新思维氛围，助力学生思维活动的展开，以培养学生思维的新颖性、灵活性和主动性.例如，在中考复习阶段中，勾股定理的证明就可以让学生经历以下三个思维方法感悟数学内在的一致性、和谐性和朴素性.具体地讲，第一种方法是构造有效图形，借助于“算两次”的思想，证实勾股定理.这种方法，事实上就是新授课时证明方法的本质.第二种方法，可借助于直角三角形中的射影定理来证明之（证明过程略）.第三种方法，可运用圆的相关知识来证明勾股定理.即如果Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC、∠ABC、∠ABC所对的边分别为a、b、c，那么不难得到，Rt△ABC的内切圆半径则有

即a2+b2=c2.

3.让复习课显现新结构

结构化是能力化的前提之一，数学在某种程度上说就是一种结构化的思想，可以这样认为，数学是结构、结构还是结构.

学生平时学习的知识，都是些零散的知识.学习过程中，有相当一部分学生对平时的零散知识掌握得还是不错的，但是一需要将平时知识综合起来，就显得捉襟见肘、应接不暇了.究其原因，可能是平时教学中忽视结构化教学，削弱了学生对知识的结构化能力.因此，适时地对知识进行结构化要成为一种教学常态，而生长型构架便是结构化知识的一种有效方法.生长型构架下的复习课，从学科系统、学科结构、知识网络的角度，重新设计知识发生发展的过程，将这部分核心知识聚集到核心知识链中，让学生看清知识的本来面貌，虽是学生已学过的知识，但是剖析的角度不同，研究的方法不同，学习的方式不同，活动的层次不同，必然能引发学生的学习兴趣，必然让学生对复习的内容产生新鲜感.

结构化知识有多种方法，课本的编排体系本身就是一种结构化，一般情况下新授课已经将这种结构化的资源基本用完.为了让学生再次生长，就有必要选择新的教学载体来传承复习内容的新结构.例如，复习相似三角形这部分知识时，可以不再选择相似三角形的“概念—判定—性质—应用”这一基本的认识视角，而是选择相似形的系列“变式图形”［3］的生长路径，用这一新视角来认识研究相似三角形及相似形，这样的视角对所有学生认识相似形都有帮助和提升，可以让学生在这次复习中又一次成长.

二、生长型复习课的设计原则

生长型复习课是一种特殊意义下的教学行为，所以它的设计理应遵循一般教学设计的原则，但还要兼顾下面四个设计原则.

1.要设计好生长空间

同生命生长空间一样，探究活动也需要一定的思维生长空间.这个过程的形成，教师要根据复习内容、学生实际、数学体系结构，合理、有效、有度地整体构架，形成一节复习课的基本立意，这个基本立意就成了复习课中学生思维的生长空间.这里的合理是指设计的思维过程要遵循学生的认知规律，让学生思维具有产生必然的倾向；有效是指学生终身发展所要具备的思维品质和必备能力；有度就是要根据情况，设计思维空间的大小.空间太大，过于空泛，不接地气，学生得不到实惠，反而架空了学生的思维；空间太小，思维发散力、穿透力不强，变成了机械重复，又回到一些复习课的老路上去了.因此，设计好生长空间是生长型复习课的根本.

2.要规划好生长节点

我们在整体把握了生长空间后，就要关注学生思维发展的一个个节点，也就是思维的转折点、变化点、发展点.这些关键点就像甘蔗一样，它会留下一串串生长节.从这个意义上说，形成生长节的过程，是一个“痛并快乐着”的过程.越过那些成长节点、思维点时总是痛，但那种痛感很快被随之而来的成长、升腾的喜悦淹没了，这就是数学思维的力量，也是生长的魅力.

具体到生长型复习课，一是要定位“生长的起点、终点”［4］.起点是学生思维的出发点，它是由学生现有的基础和经验决定的，终点是思维的落脚点，它是由生长目标、发展方向决定的.定位好这两个问题，就解决了从什么地方起步及到什么地方去的问题.二是要明晰生长的主要节点.由起点向终点前行，可能有多种方法或多种路径，但一定有不可逾越的那么几个节点，这些节点就是思维过程中的生长节.教师在设计复习课时，要对这些生长节做到心中有数、心中有责.这些生长节是学生思维提升的标志，也是学生经验迁移的基础，因此，规划好生长节点是生长型复习课的保证，教学中教师要定位好、设计好、把握好.

3.要把握好活动生成

上面两点主要从“教”的角度来分析设计原则，而在实施过程中，一定要关注学生思维的生成，保护好学生的真实思维.当学生的思维与教学预设有偏差时，教师要充分分析学生思维的合理性，保护好学生思维的真实性，在此基础上与学生一起理性地分析、拨正思维的方向和层次，让学生学会思维.当学生的思维与教学预设相近时，要给时间让学生把思维过程整理一下，要求学生重新叙述一遍，通过重新表达，发展学生优化思维的能力.当学生的思维与预设一致时，要反问或追问学生：“你是怎么想的”“你是怎么想到的”，避免“错误的思维导致正确的结论”这一“假思维”“伪思考”的现象发生.由此可见，把握好活动生成是生长型复习课的关键，它是以人为本育人的根本体现.

4.要谋划好教学板书

学生思维的生长要靠学生思维的真实开展，也需要其他教学手段的呈现，用“雕塑式板书”［5］来呈现生长路径、彰显生长节点是再恰当不过的了.因为“雕塑式”板书的时间节点一定能够与学生思维生长的过程同步，而PPT是课前人为预设的，很难与学生的生成思维同步.再者用“雕塑式”板书的智慧艺术来展现复习知识的网状结构，这种结构性的东西，靠放幻灯片也是不能实现的.因此，谋划好教学板书是生长型复习课的重要手段，教师要精心设计，并注重有效呈现.

三、生长型复习课的设计策略

根据生长型构架下的复习理念与教学价值，我们可从生长知识、传承思想、给力成长这三个层面来整体构建复习课的构架，即在以下三个方面谋篇布局.

1.用主题来生长知识

有学者认为，教师业务素养主要取决于创造数学理解的能力.创造数学理解不仅仅是重走数学家们当时发现数学的荆棘坎坷之路，而是要从当代学生认知结构、心理、经验的现实出发，创造出具有鲜明数学本质且适合当代学生理解的教育形态的数学.这种创造既具有数学家们当时发现数学的火热思考，又具备当代人高效认识事物规律的快速反应.就是说经过教师创造性的“演变过”的数学，它既具有数学的独特内蕴，又具有强烈的思维过程，而这种思维过程又是以某一思维主题为链条，在数学体系结构中不断地发生、发展着，生长出一串串的数学知识、思维灵性和学科素养.

我们知道，新授课是以某一知识点为主题的探究活动，它涉及的面可能有限，教师创造数学理解的空间可能受到一定的影响，所以，新授课呈现出的教学方法和形态基本上大同小异.正因为此，才有了现行的程序化的数学教材.但是，作为一个知识集成模块的复习课，涉及的知识比新授课多得多，那么理应有更大的空间来创造教育形态的数学，来勾勒复习课的主题、主线，并在此主题上生长知识、编织结构、发展能力.

例如，对于“增长率”的复习课［4］，我们可以将教材中关于增长率的模型集中起来，以下列话题为主题，让学生经历在初中阶段可以解决的数学模型.即：一个数量a，经过一次增长后变成c，且增长率为x的数学模型a（1+x）=c；一个数量a，分别经过两次不同的增长后变成c，且两次增长率分别为x、y的数学模型a（1+x）（1+y）=c，一个数量a，经过两次相同增长后变成c，且增长率都为x的数学模型a（1+x）2=c；两个数量a、b，存在a·b=c的关系，并且a、b各经过一次不同增长，增长率分别为x、y，此时c变成d的数学模型a（1+x）·b（1+y）=d；两个数量a、b，存在a·b=c的关系，并且a、b各经过一次相同增长，且增长率都为x，此时c变成d的数学模型a（1+x）·b（1+x）=d.当学生感受到上述生长构架下的具体知识时，只要有效地控制变量，就可以用初中数学知识来解决问题了.这样的过程就是一个很明显的用主题来提供生长知识的过程，也是一个激发学生的数学智慧的过程.

2.用知识来积累思想

复习课中用知识来传承思想，同新授课教学中渗透数学思想方法一样，往往处在复习思维的过程中，它是人们思维的暗线.可以这样认为，正是有了思维的过程，才会产生数学的思想方法.皮之不存，毛将焉附？所以说，用主题来生长知识尤为重要.

所要注意的是，教师要尽量把复习课精心设计的知识生长过程中的数学思想方法放大呈现，让学生能回味反思，体悟思想，从更高层面上认识问题的本质.例如，上例中，初中为什么较多地研究一个数量经过两次增长的平均增长率问题，而很少研究一个数量经过两次不同增长的增长问题？为什么不研究三个数量或更多数量各经过一次增长的增长率问题？要解决上述疑问，没有立意，没有过程，没有思想，从何而思？

3.用思想来给力成长

不可否认，让学生不断发展是学科教学的根本追求，也应是学科教学的一种常态.而现在的复习课，常常在学生拥有的知识上打转转，学生很难在这种复习课上再次进步，再次发展.生长型构架的复习课，便能突破这一教学瓶颈.这种教学方法，虽面对的是旧知识，但要重构这些旧知识的新视野、新方法、新路径、新思想，并从中积累新境界、新经验、新感受、新成长.我们有理由认为，学生经历过这样的复习过程，不发展、不成长、不提升是不可能的.

生长型构架下的复习课，是一种理念，也是一种方法，但不是一种模式.教学有法，教无定法，教应得法，让我们数学教育人在理解数学、理解学生、理解教学的教育大道上阔步前行！

1.卜以楼.生长型构架下实数复习课的教学实践与思考［J］.中学数学（下），2016（3）.

2.卜以楼.让复习课留下一串串生长节［J］.中学数学月刊，2013（11）.

3.卜以楼.生长链变式图迁徙路［J］.中学数学教学参考（中），2016（4，5）.

4.卜以楼.用生长型构架进行中考复习［J］.中国数学教育（初中），2010（3）.

5.卜以楼.雕塑式板书下“有理数混合运算”的教学设计［J］.中学数学（下），2016（4）.Z