“形散而神不散”的数学复习——以苏教版七下9.4乘法公式（第3课时）为例

☉江苏省张家港市梁丰初级中学　邵美琴

“形散而神不散”的数学复习——以苏教版七下9.4乘法公式（第3课时）为例

☉江苏省张家港市梁丰初级中学邵美琴

苏霍姆林斯基说过这么一句话：“多年的经验使我们得出这样的结论，可以把所有的教学方法归纳为两类：一类是使学生初次感知知识和技能的方法；另一类是使知识得到进一步理解、发展和深化的方法.”“使学生初次感知知识和技能的方法”主要用于新授课，“使知识得到进一步理解、发展和深化的方法”更多地用于复习课上.由次我想到了复习需要注意的两点：一是教学方法要因时因人而异；二是有时方法的掌握比知识的了解重要.

在我的观念里，数学复习应该志趣高远，定位在素养提升的高度上，追求一种融合的境界，所有的学生都能获得一种能力的提升、心灵的探索与理性精神的养料.所以，“形散而神不散”应该是数学复习追求的一种境界.下面是经过指导的张家港市教育人才服务中心初中数学半脱产培训学员借班级上的实践研讨课的一些教学片段，学生来自于普通农村初级中学.我们试图实现数学教育的初衷：给学生一份让生命灵动可爱的存在，一种让思想理性成熟深刻的力量，引领学生追求生命成长的快乐.

一、教学过程

1.题组练习，回顾知识要点

自主计算下列各式，并写出所利用的乘法公式，小组内先行交流：

（1）（x+2）（x-2）；（2）（2a+b）（b-2a）；（3）（a-3b）2；（4）（2a+b）（-2a-b）.

师：同学们刚才完成的4个计算题，老师通过巡视，发现（1）、（2）两题的正确率比较高，你们使用了什么乘法公式？

生1：都使用了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

师：下面请诸位看一下这三位同学第（3）题的做法，请你当小老师给予评点.（实物投影出示下列解法）

①（a-3b）2=a2+9b2；②（a-3b）2=a2+3b2-6ab=a2+9b2-6ab；③（a-3b）2=a2-6ab+（3b）2=a2-6ab+9b2.

生2：第一个同学记错了公式，漏了乘积项的两倍，不是完全平方公式，而是平方和.

生3：第二个同学答案对了，但过程中有错，可能是笔误，3b是一个整体，要加括号.

师：你很善良，但又不失中肯地指出了问题，这种机智评价方式比较容易让人接受.

生4：第三个同学完全正确，而且结果按a的降幂排列，很整齐.

师：确实，准确地记忆公式结构是正确使用公式的前提，而有序地排列不但是美观的需要，也是保障记忆准确的法宝，那么完全平方公式的特点是什么？

生5：（a±b）2=a2±2ab+b2中是完全相同的两个多项式相乘，展开后有三项，中间一项是乘积的两倍，符号与括号内的中间符号保持一致.

师：再来看有同学第（4）题的做法，请你当小老师给予评点.（实物投影出示下列解法）

①原式=2a·（-2a）-2a·b+b·（-2a）-b·b=…=-4a2-4ab-b2；②原式=（2a+b）·［-（2a+b）］=-（2a+b）2=-（4a2+ 4ab+b2）=-4a2-4ab-b2.

生6：两位同学都是对的，第一位没有看出公式来，用了多项式乘以多项式做，中间多了合并同类项的环节.

生7：第二位同学对公式的结构很了解，数学感觉好，方法更灵活.

师：在没有规定方法的前提下，能独立解决问题，都是值得赞赏的，但能灵活地使用新知识更是一种能力的体现，有时会体现出更多的优越性.

点评：教师通过对学生进行的“题组自主练习”的巡视，有选择性地选取了三位学生第（3）题的解题过程和两位学生第（4）题的解题过程进行展示，明晰了应用乘法公式的条件和注意事项，促使现场生成的问题由学生现场及时自行解决，学生既复习了旧知（两个乘法公式及变形练习），纠正了偏差（漏项、去括号时的“变号”易错点），又锻炼了数学语言的表达能力，而且生生间互相评价，增强了学生生命灵动可爱的存在感，突出了学生的主体地位和教师的适时引领作用，提高了数学课堂教学的效率.

2.探索交流，提升思维能力

［探索交流一］

例1（速算比赛）计算：（x+2）（x2+4）（x-2）.

（学生独立计算，教师巡视）

生8（板演）：（x+2）（x2+4）（x-2）=（x3+4x+2x2+8）（x-2）.（后面没有写完）

生9（板演）：原题=（x+2）（x-2）（x2+4）=（x2-4）（x2+4）=x4-16.

师：请生9讲解自己的思维过程、解题方法和依据.

生9：我先观察到利用乘法交换律和结合律后，可以连续两次使用平方差公式，所以比较简单.

师：认真审题，观察结构，调整顺序，认清算理，巧用公式，常常能事半功倍地简化代数式的运算.

变式1：计算：（x+2）（x2+4）（x-2）（x4+16）.

（这次学生快速地报出答案：x8-256，面露得意之色）

师：难不到大家了，是吧？请尝试解决下一题，有初步想法的同学可以主动来板演.

变式2：计算：3（22+1）（24+1）（28+1）.

（学生作沉思状，后有窃窃私语，生10面露喜色，奋笔疾书，快步登上讲台）

生10（板演）：原式=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22-12）（22+12）（24+14）（28+ 18）=216-1.

师：这位同学把3拆成（2+1）后又补了一个（2-1），从而创造了使用平方差公式的条件，相当巧妙，是一种创造性的思维.还有其他想法吗？

生11：把它的前两步擦去，把3直接拆成（4-1），也就是（22-1），那么原式=（22-12）（22+12）（24+14）（28+18）=216-1.

（多数学生先呈惊讶状，后现豁然开朗景象，一声情不自禁的“哇塞”，把由衷的佩服、赞赏之情表现得淋漓尽致.）

师：正是“山外有山，楼外楼”，同一个熟悉的3，在不同的场合派了不同的功用，但又殊途同归，都利用平方差公式顺利地达到了简化数的运算的作用.

例2（速算比赛）计算：（3x+2）2（3x-2）2.

（有了前面的经验，这次学生不再贸然动手，先进行观察，快速完成了任务）

生12（板演）：原式=［（3x+2）（3x-2）］2=（9x2-4）2= 81x4-72x2+16.

师：我们如此运算的依据是什么？

生：先逆用（ab）n=an·bn，再用平方差和完全平方公式.

（学生信心满满，课堂渐入佳境）

点评：在课堂上让学生展示的方式可以是丰富多样的，针对教学的重点和学生易出错的环节，这里采用了速算比赛和“板演”相结合的方式让两位学生展示，通过两种方法的直观比较，无论是从运算量的大小，还是结论的正确性来说，都给学生以强烈的印象，创造条件使用公式，选择合理算法的思想植入也就水到渠成了，而两个变式训练的组合更是激发了学生的自信心和表现欲.我们知道，只有不断创造着的人才是有鲜活生命特征的.因此，数学课堂就应该这样：时而静默，时而迸发，充满着勃勃的生机，数学的简约之美自然地流淌在学生的心田.我们看到，正因为有了速算比赛（1）及两个变式训练的充分思考、展示、交流及理解，速算比赛（2）的完成学生才得心应手，一蹴而就.所以说，适时的等待很有必要，教是为了不教，只有灵魂跟上，脚步才能轻盈，能力才会显现.

［探索交流二］

师：刚才速算比赛（2）还有其他问题吗？

生13：我先用了完全平方公式，发现有点烦，没做下去.

师：有坚持下去的吗？

生14（实物投影）：（3x+2）2（3x-2）2=（9x2+12x+4）·（9x2-12x+4）=（9x2+4）2-（12x）2=81x4+72x2+16-144x2= 81x4-72x2+16.

师：这位同学的基本功相当扎实，解题思路也很自然.其中关键的是：得到三项乘三项（9x2+12x+4）（9x2-12x+4）后，他看出了两个相乘的括号中共有六项，其中9x2、+4是各自完全相同的两个项，+12x、-12x是前面符号相反的两个项，所以把（9x2+4）看作一个整体，就是平方差公式中的a，把（+12x）也当成一个整体，就是平方差公式中的b，由此构造了平方差公式，再利用混合运算法则，先把完全平方式展开，最后合并同类项.我们把条件变得更清晰些，请尝试完成下面的任务，并理清思路.

例3计算：（m+n+4）（m+n-4）.

生15：其中m、+n是各自完全相同的两个项，+4、-4是前面符号相反的两个项，所以把（m+n）看作一个整体，就是平方差公式中的a，把（+4）也当成一个整体，就是平方差公式中的b，由此构造了平方差公式，所以（m+n+4）·（m+n-4）=（m+n）2-42=m2+2mn+n2-16.

师：看来完成得不错.请你尝试操作：在原题的六个项中改变一个项的符号，并且改变后能够构造出可以用平方差公式来解决，这样的题型有哪些？

（众生思考、尝试后，争先恐后地冲上来板演，课堂气氛异常活跃）

下面是学生呈现的四种结果：

（1）（m+n+4）（-m+n-4）=（n+m+4）（n-m-4）=…=n2-m2-8m-16；

（2）（m+n+4）（m-n-4）=…=m2-n2-8n-16；

（3）（-m+n+4）（m+n-4）=…=n2-m2+8m-16；

（4）（m-n+4）（m+n-4）=…=m2-n2+8n-16.

点评：看似热闹纷杂、穿梭上下的课堂，涌动的是勤于思考、勇于交流的积极状态.第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞.”因此，这一环节的评价主要由学生进行：识别正误、修改纠错、评判是否把情况考虑周全等.任何一个数学问题，它的教学功能是有限的，但其中蕴含的“理”，应当成为学数学更重要的价值所在.本题通过开放性的设计，由学生自己提出问题、解决问题，感受构造的巧妙性和数学的结构之美，体会有序思考的必要性，加深了对整体思想功用的认识，强烈地体验了符号对于初中及以后数学学习的重要性，只改一个符号，就是全然不同的答案！同时也明白了一个道理：合作可以集思广益，提高效率.这种在学习过程中的发现、归纳、调整才是学生自己的学习财富，才是今后在分析问题、解决问题中以不变应万变的王道.授人以渔，让学生在过程中发现方法，让学生在过程中感悟思想，让学生的思维深刻起来，让学生的情感丰富起来.

3.感悟小结，追求生命成长

师：通过本节课的学习，诸位在知识层面、思想方法层面和互相合作交流层面都有哪些收获？还有什么疑问？

（生答略）

师：在陌生中寻找熟悉的影子，这就是转化；在杂乱中寻找潜在的规则，这就是构造；在多样中寻找优美的简洁，这就是优化；在交流中寻找突破，这就是成长！

二、教学启示

数学复习纷繁复杂，不同的时间段有不同的复习要求，本节课是在学习了两个乘法公式后的首节公式应用复习课，要求起点低，综合度小，不同于整章的复习，更区别于初三的综合复习，目标更单一，设计难度也更高，很容易变成习题训练课，课堂显得散乱且枯燥无味.

怎样像语文中的散文一样，把数学复习课上得“形散而神不散”，我认为可以从下面几个方面来思考.

首先，数学复习需要把学生的需求放在第一位.“以学定教，教学相长”是新课改理念与传统教育思想的结合，也是无数教师的追求.就其本质而言，“以学定教，教学相长”是真正意义上的“学”的主体地位回归，所有的教都是为了学，心中有数学的灵魂，眼里有课堂的灵魂——学生，这两颗灵魂碰撞，才能发出熠熠光辉，实现“学”的同时，也成就了“教”.

奥苏伯尔说过：“影响学习的唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并据此进行教学.”所以课的开始我们设计了一组“题组练习”，以探明学生在新授课中对新知识的掌握程度及还存在的缺陷漏洞，以有限的交流来增加对教学对象的认识，这对于“借班上课”的教师来说显得尤其重要，是后继教学顺利进行的保障.同时也避免了常见的空洞文字公式复习的俗套，提高了数学课堂的实效性.

其次，数学复习必须遵循数学学习的规律.数学的育人本分，就是培养学生的良好思维习惯，发展学生的理性精神，追求数学课堂的真实.数学是一个慢中开悟、自然生成、不断探索的过程.所以在探索交流环节力求朴素地以学生的现有知识储备开展速算比赛，自然地逼近数学本质，以此获得知识、拥有智慧.本节课摒弃了花哨的教学手段，教师只在关键处予以点拨，生生间、师生间思维的碰撞充满了课堂.

关于对教材的处理，我们尊重教材，但不迷信教材.教材中原有三个例题、四个小题，我们舍去了一个混合运算的例题，因为在本课的例2中已涵盖了这样的内容.整个探索环节通过游戏加变式训练，以问题串的形式呈现了出来，自然流畅，一气呵成，给足了学生探索、交流的时间和空间，让所有的学生都有所收获.当然，对教材的处理要遵循一个基本原则：既不能任意拔高教学起点，也不能任意降低教学要求，一切要遵循数学学习的规律.

再次，数学复习需要精神感染，追求丰富多彩的数学味道.数学复习需要层层剥离、步步深入的严密推理，需要联想翩翩的精确构造与抽象.数学语言表达彰显气质，数学文化素养散发气质，数学审美升华气质.数学语言，包括口头常态语言和“板演”等书面语言，我们常常从课堂表现的合理性、机智性及数学的严密逻辑性几个方面来评价学生的数学语言的表达水平.

最后，数学复习过程需要达成下列五个层面的目标.

第一，知识层面.学生对相应内容的基本知识点及常见的题型和应对策略都有比较系统的认识，能将知识横向、纵向相结合，把零碎散乱的知识串起来，将它们综合化、系统化，要达到全面掌握基础知识、基础方法，构建知识网络，形成知识体系.

第二，能力层面.数学思想的教学，是提升学生数学能力的关键所在.在复习教学中要强化三个层次的思想方法，一是数学思想方法，如整体思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等；二是基本的数学方法，如配方法、换元法、比较法等；三是科学思维方法与严谨的数学逻辑方法.启发学生从思想方法的高度去学习数学，研究数学问题，转变学生数学学习的观念，提升审美能力，培养学生具有数学意识，熟练应用数学质疑、探究、解决实际问题的能力.

第三，方法层面.指导与促进学生学会数学积累、培养数感，提升思维品质，养成自学数学、自我归纳的习惯，为终生发展打好基础.养成独立思考、质疑探究的习惯，增强思维的严密性、深刻性和批判性.乐于交流和思想碰撞，在互相切磋中，加深领悟，共同提高.

第四，情感价值层面.通过数学探究活动，提高学生的数学素养，提升理性思维的能力，培养良好的团队合作意识，树立积极向上的人生观；通过数学史及数学文化的学习，增强民族使命感和社会责任感.

第五，创新层面.引导学生注意观察数学现象，培养探究意识和发现问题的敏感性；指导学生关注题型结构，学会寻找原型，对于新出现的问题能用新的角度、新的思维恰当地数学化地解决；学习多角度多层次地看待数学，获得新的体验和发现.

当我们穿越了一段又一段的数学复习，解决了一个又一个问题，积累了丰富的知识、情感和品味后，我们的生命必然越来越丰厚，思想越来越饱满，眼睛越来越清澈，这就是数学复习带给我们的成长.让我们追求有灵魂的数学复习：以灵魂摇动灵魂，唤醒智慧，烘焙情怀.让教师自己和学生都成为一个走着的、追求着的和希望着的人.Z