合理对话，层层深入，领悟数学之妙——以“反比例函数（第1课时）”教学为例

☉江苏省海安县李堡初级中学　朱国生



合理对话，层层深入，领悟数学之妙——以“反比例函数（第1课时）”教学为例

☉江苏省海安县李堡初级中学朱国生

在数学教学过程中，我们对新知识的引入，有时从现实生活中的事例，有时从学生原有基础知识，有时从小游戏增加趣味性等，这就是数学教学中抛砖引玉、层层深入的教学方法.笔者以新近执教“反比例函数（第1课时）”为例，谈谈“层层深入、激发思维”在教学中的应用.

一、学情分析

在前面我们学过“一次函数”“二次函数”，我们的学生对函数的研究探讨仍处于初级阶段，但我们的学生已经掌握了研究函数的基本套路，积累了函数学习的一些基本经验.教材呈现的结构：函数概念，画函数图像，总结函数的性质，用所学的函数知识解决实际应用问题，对函数学习中的“数形结合”思想方法有多次体验和认识.

但是，反比例函数的图像和性质与我们之前学过的函数有所不同，图像从“一条”到“两支”，分布在两个象限；由“连续”到“间断”；由与坐标轴“相交”到“无限靠近”，在学习的过程中让学生体会与已学的不同与联系，从而对函数的理解进一步升华.

二、教学流程

活动1：抛砖引玉（PPT展示）

下列函数解析式中，正比例函数有（）；一次函数有（）；二次函数有（）.

设计说明：通过这一题帮助学生再现一次函数、二次函数的学习过程，有助于学生形成概念系统，初步了解本章的基本内容和研究套路.同时也初步了解建立函数模型，为掌握新的知识打好基础.特别指出：（5）是学生以前没有学过的函数，让学生产生疑问，激发学生的学习兴趣.

活动2：情境引入（PPT展示）

下列问题中，变量间具有函数关系吗？若有，求出函数关系式.

（1）已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）与速度v（单位：千米/小时）之间的关系式是_________.

（2）某住宅小区种植一个面积1000 m2的草坪，草坪的长y（m）随宽x（m）的变化而变化.

（3）已知北京市总面积为1.68×104平方千米，人均占有面积s（平方千米/人）随全市人口n（人）的变化而变化.

课堂对话片断如下所示.

师：大家观察这三个解析式，各有几个变量？

生4：两个变量.

师：你能从解析式的结构上找出它们的共同特征吗？小组成员间可讨论.

注：如果小组不能讨论出结果，教师可以提示：从等号左边和右边，或从分子和分母来总结.

生5：左边是一个变量，右边是一个不为0的常数除以另一个变量.

师：这就是小组合作的力量啊.

师：让我们回头看看情境引入中的三个函数解析式，它们是反比例函数吗？

生众：是.

师：反比例函数中自变量的取值范围是什么呢？请大家思考.

生6：x≠0的一切实数.

师：反比例函数还有其他的表达方式吗？

生7：还有y=kx-1，xy=k，其中k是不为0的常数.

师：大家应该有点儿掌声.

活动3：开心练一练1（PPT展示）

限于篇幅，略去.

活动4：例题讲解（PPT展示）

例1已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求当x=4时y的值.

课堂对话片断如下所示.

师：如何求函数的解析式呢？

师：这位同学讲得很好.这种方法叫待定系数法.我把解题过程写给大家看看.

教学解读：用待定系数法求反比例函数解析式的步骤：（1）设出反比例函数的解析式；（2）把择定的自变量与函数值代入解析式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程；（4）写出解析式.

活动5：开心练一练2（PPT展示）

师：谁能说出这三道题的答案.

生9：（1）k=-2，（2）y=2，（3）k=-1.

教学解读：这是例题基础上的提升，能使学生进一步理解反比例函数的概念，让学生掌握求反比例函数的解析式的方法，并能用反比例函数解决问题.

变式1：（PPT展示）已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4.

（1）写出y和x之间的函数关系式；

（2）求x=-2时y的值.

师：这道题大家是如何思考的呢？

生10：把x2看成一个整体，设y=，再把x=3和y=4代入，求k.

师：你回答得非常好，请大家自己做一做，我请一位同学把解题过程写到黑板上来.

教学解读：学生要根据“y是x的某某函数”等已知条件，建立相应的函数模型，当变量不是单独的字母时，学生要能正确写出函数解析式，根据函数模型和已知条件建立方程（组），并正确求解.

变式2：（PPT展示）如果y是z的反比例函数，当z=3时，y=4；z是x的正比例函数，当x=1时，z=4，那么y与x具有怎样的函数关系？求出函数关系式.

师：我们来看变式2，该如何思考？y与z成反比例怎样设？

师：z与x成正比例怎样设？

生12：设z=kx，把x=1、z=4代入，求出k=4，所以z=4x②，把②代入①，得y=

师：大家想一想，在同一题中，这两个k的值能设成一样吗？

生13：不能相同，应加以区别，可分别设为k1、k2.

（生板书，教师巡视）

教学解读：通过学生自己求解的过程，亲自感受在同一题目中，两个常量不可以设成相同的字母，应加以区别对待，这是学生常见的一种错误.

想一想：（出示投影片6）如果y是z的反比例函数，z是x的正比例函数，且x≠0，那么y与x有怎样的函数关系.

师：同学们小组讨论，并与同伴们交流.

（生讨论.交流得出结果）

教学解读：学生是学习的主人，教师要保证每一个学生都有参与活动的机会，独立思考与小组合作相结合，通过个体间的交流，使学生的思维得到重新的认识，提高教学效果.

活动6：课堂小结

师：谈谈本节课你有哪些收获.

教学解读：当堂小结，使学生所学知识得到巩固和提升，又使模糊认识得到澄清，对所学知识在第一时间达到最清晰的认识，这就是高效课堂的价值，也是提高学生学习的有效手段.

三、教后反思

1.情境创设要重视与现实生活的联系

在引入环节，设计出学生熟悉的问题情境，通过多个与现实生活相关的实例引导，通过类比方法探究反比例函数的概念.学生用数学思想重新认识日常生活中的变量关系.在课尾，学生的归纳总结也对此作了呼应，进一步明晰本章的研究方法和内容.

2.关注反比例函数概念的生成过程

执教者没有选择直接给出概念，而是根据概念教学的规律和学生的认知特点，在反比例函数的概念生成上下足了功夫，充分利用学生已有的社会生活经验和已学知识为背景，挖掘问题中变量间的关系和变化规律，再加上由浅入深的例题和练习，让学生熟练掌握本节课所学知识.

3.注重数学思想的渗透式教学

类比思想是贯穿本课始终的逻辑链条，通过类比能促进新旧知识间的积极迁移.本节课的教学由浅入深，循序渐进，逐步深入，教师适当点拨和学生充分讨论形成共识，探究的问题由浅入深有挑战性，设置的练习题也是由浅入深，可加深对本课知识的理解与掌握.通过例题、习题的训练，归纳出求反比例函数的一般步骤.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.

4.朱国生.找准生长点，学程重生成——以“一元二次方程解法（第2课时）”教学为例［J］.中学数学（下），2015（8）.