基于单元教学，创新正比例函数教学

2016-02-15江苏省如皋市搬经镇初级中学谢建兵

中学数学杂志 2016年8期

☉江苏省如皋市搬经镇初级中学　谢建兵

基于单元教学，创新正比例函数教学

☉江苏省如皋市搬经镇初级中学谢建兵

一次函数起始课教学一直是教学研讨的热点，不少教材上一次函数的起始课常常是从正比例函数的概念开始，重复着前一小节变量与函数的学习内容，没有能在进入一次函数学习时给学生以整体观，传递函数研究的基本套路.最近笔者有机会执教正比例函数公开课，本着“用教材教”的理念，我们打破教材上的限制，重新设计了从列出一次函数关系式出发，然后开始系统研究特殊的一次函数即正比例函数，让学生既“先见森林”，又重点“聚焦树林”，取得了较好的教学效果.本文先呈现该课的教学设计，再给出跟进解读，供研讨.

一、正比例函数教学设计

（一）情境导入

写出下列变化中的函数关系式.

（1）汽车速度为60千米/小时，汽车行驶距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的变化情况.

（2）每个练习本的厚度为0.5cm.一些练习本摞在一起的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化.

（3）若设正方形的边长为x（x>0），周长为y，那么有y=4x，正方形的周长随边长的变化而变化.

（4）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费（按0.1元/min收取）.

预设互动：当学生得出相关的函数关系式之后，追问上述函数解析式有什么共同点，主要引导学生从函数关系式的角度观察，前3个都是单项式，而第4个是0.1x+ 22，是一次二项式.它们的次数都是一次式，于是给出一次函数的定义.

定义（板书）：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx，此时我们称y是x的正比例函数.

安排跟进练习，如下所示.

（1）下列关系式.

①y=3x；②y=-x2；③y=x2；④y=5x-2；⑤y=x+2；⑥y=；⑦y=x2+1；⑧y=-x+1.

正比例函数有______________，一次函数有____________.（填写序号即可）

（2）若关于x的函数y=（2-m）x是正比例函数，则m的取值范围为__________.

设计意图：如果学生回答出错，则引导他们“回到定义”纠错.

（二）研究正比例函数的图像与性质

过渡：在上一节的学习中，我们知道，函数有不同的形式（可以提问学生回答出图像、表格、关系式），接下来我们就从函数关系式出发，研究它的图形与性质.

例1在同一平面直角坐标系下画出正比例函数y= 2x和y=-2x的图像.

设计意图：在上一节中学生就会“列表、描点、连线”画图，让学生用上述方法画图后，归纳总结出正比例函数图像的特点及变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程.

预设追问1：两个图像有哪些共同点？

预设答案：都是经过原点的直线.

预设追问2：有哪些不同点？

安排跟进练习，如下所示.

在同一坐标系中，画出下列函数的图像，并对它们进行比较.

（1）y=x；（2）y=-x.

预设讲评：投影学生可能的作图.启发学生比较两个函数图像可以看出：两个图像都是经过原点的直线.函数y=x的图像从左向右上升，经过第一、三象限，即随x的增大y也增大；函数y=-x的图像从左向右下降，经过第二、四象限，即随x的增大y反而减小.

总结归纳正比例函数的图像与性质（板书）：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线.当k>0时，图像经过第一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图像经过第二、四象限，从左向a右下降，即随x的增大y反而减小.

提醒学生：由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条直线，所以可以称它为直线y=kx.

（三）典例讲评

8月21日，由中国无机盐工业协会和海西州人民政府联合举办，IFA国际肥料协会、国际盐湖学会支持，格尔木市人民政府、中国无机盐工业协会钾盐钾肥分会、中国国际贸易促进会化工行业分会共同承办的2018钾盐钾肥大会暨格尔木盐湖论坛在格尔木市会展中心开幕。

例2经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图像？

预设追问：画正比例函数的图像时，怎样画最简单？为什么？

设计意图：让学生利用总结的正比例函数图像的特征与解析式的关系，完成由图像到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图像的简单画法及原理.最后引导学生确认：经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx（k≠0）的图像.也就是画正比例函数图像时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）.同时注意关联几何公理：两点可以确定一条直线.

跟进练习：如果让你用最简单的方法画出下列函数的图像：（1）y=3x，（2）y=-3x，你会怎样画呢？

预设互动：安排学生回答，比如除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来.

例3已知变量x、y满足y=kx，且当x=3时，y=24.求y 与x之间的比例系数，并写出函数解析式.

预设互动：这道习题并不复杂，大多数学生都能顺利解答，重要的是给出如下的一些不同呈现方式.

变式1：已知正比例函数y=kx，当自变量x=3时，函数值y=24.求k的值.

变式2：已知直线y=kx，经过点A（3，24）、B（1，b）.求b的值.

变式3：已知经过原点O的直线l经过点A（3，6），若点B（1，b）也在直线l上，求BO的长.

变式4：平面直角坐标系下有点A（3，6）、B（1，2）、C（-2，-4），试判断这三个点是否在同一直线上，并说明理由.

（四）小结与反馈

师生共同小结本课的主要学习内容，并跟进检测听课效果，设计一组问题.

听课反馈题（共5小题，每小题20分）.

（1）正比例函数y=（m-2）x的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是（）.

A.m=2 B.m＞2 C.m＜2 D.m≥2

（2）正比例函数y=（k-3）x，y随着x的增大而减小，则k的取值范围是______.

（3）函数y=-4x的图像在第_______象限内，经过点（0，____）与点（1，____），y随x的增大而______.

（4）若直线y=kx经过点A（-2，-10）、B（1，b），求b的值.

（5）求证：在同一平面直角坐标系中，点A（1，2）、O（0，0）、C（-2，-4）在同一直线上.

二、教学立意的进一步解读

1.践行“单元教学”，让学生知道正比例函数是一次函数的特例

我们知道，近两年来，《中学数学》（下）发表了很多研究著名特级教师李庾南老师数学教学思想的文章，特别是相关的课例文章往往践行着李庾南老师倡导的“单元教学”，即整合教材内容，重新划定课时，给笔者启发良多.上文中的教学设计正是在单元教学的构思下设计而成的，即教材上是先组织学生研究正比例函数，再学习一次函数，然而我们在开课阶段就先通过4个情境列出一次函数，其中前3个是正比例函数，接着先给出一次函数的定义，并约定当b=0（即一次二项式中常数项为0）时，称为正比例函数，让学生知道正比例函数是一次函数的特例.这里也是传递一种研究方法，即碰到一类广泛的数学对象时，常常退回最简单的情形，或选择先研究它的特例，再成果扩大、一般化去研究更一般的数学对象.

2.传递“基本套路”，在正比例函数研究中积累函数研究方法

除了上面我们提到的先研究特例，再研究一般化的数学对象的基本套路，我们在组织学生研究正比例函数时，也传递了很多重要的“基本套路”（章建跃博士语），比如研究函数通常是先定义，再归纳和验证图像与性质，最后运用图像和性质来解决问题.特别是，当学生有了函数图像与性质的初步认识之后，将函数问题的呈现方式丰富和变式，使得学生在面对不同形式的函数习题时，能运用函数眼光，从形的角度认识函数.事实上，从“数形结合”这个角度让学生研究函数才是初中函数学习和训练的重点与难点.