既是“解决问题”，更是“分数的再认识”——“求一个数是另一个数的几分之几”教学实践与反思

□俞军

既是“解决问题”，更是“分数的再认识”
——“求一个数是另一个数的几分之几”教学实践与反思

□俞军

“求一个数是另一个数的几分之几”既是“解决问题”，更是“分数的再认识”，即分数比定义的认识。基于此，本课教学应侧重引导学生理解分数是两个整数之比，并让学生充分认识到它是分数意义教学的延续和递进，可以通过迁移、类推达成理解。

解决问题 再认识 迁移 类推

【教学内容】

人教版教材五年级下册第50页例3。

【教材分析】

分数的认识，对于小学生来说是一个比较抽象的概念，“求一个数是另一个数的几分之几”其实是分数认识中的一个重要节点。在这之前，学生已经学习了分数的意义、分数与除法的关系；在这之后又要学习真分数与假分数，六年级分数乘、除法解决问题也与本课内容息息相关。从分数的定义来看，“分数的意义”一课，教材着重从“平均分”的角度阐释分数的意义；“分数与除法的关系”一课，教材只是呈现关系并未引导联系“商定义”；本课侧重让学生理解分数是两个整数之比。通过三节课的学习，让学生完善对分数两种含义的理解。一种含义是表示一个具体的数量，如米、千克等；另一种含义表示两个数（或数量）之间的关系，是一个比率，具有无量纲性。

教材上求“7只鹅是10只鸭的几分之几”，是根据绝大部分学生能够自行获得的“鹅的只数是鸭的十分之七”这个分数结果，再依据分数与除法的关系，得出求“7只鹅是10只鸭的几分之几”可以用除法计算。对此，笔者认为由十分之七这个结果推出列式为除法还是比较别扭的。

用张奠宙教授文章中的观点来看，“目前的小学数学教材大多回避这一定义，只是用‘分数和除法的关系，分数是分子除以分母’这样不着边际的话蒙混过去”。“人教版教材在用黑体字写出分数与除法的关系之后，马上给出分数的比定义，所用例题是：小新家养鹅7只，养鸭10只，养鹅的只数是鸭的几分之几？这个弯子绕得很大，恐怕要多做些铺垫才好”。

其实张教授谈到的例题是实验稿时的编排，现在的修订版例题变为：小新家养鹅7只，养鸭10只，养鸡20只。鹅的只数是鸭的几分之几？鸡的只数是鸭的多少倍？

我们不难发现，修订教材已经试图通过对比，沟通求一个数是另一个数的几分之几或者几倍在本质上是一样的。但例题所附除法由来还是与实验稿相同。

【学情分析】

为了更好地了解学生的学习起点，我们对200名五年级学生进行了前测。

问题一：妈妈买了4个苹果，又买了（ ）个梨，梨的个数是苹果的（ ）。

整数倍 真分数 假分数人数 70 120 10百分比 35% 60% 5%

问题二：下面这个图形你看出了什么分数？

1 4 3 4 1 3人数 200 162 7百分比 100% 81% 3.5%

1.学生真的理解吗？

问题一说明部分学生在直面两个数量间的关系时，只能从整数倍来理解，60%的学生已经知道分数也可以表示两个数（或数量）之间的关系。但是，在随后的访谈中，我们发现填写了分数的学生，也并不真正理解一个数是另一个数的几分之几所表示的意义。一位学生在课后找到笔者说：“老师，你算错了。”“为什么呀？”“11÷7=。”笔者愣了一下，恍然大悟。在学生的脑海中，分数就是要比1小的，比1大了，这是不可能的。

2.要出现假分数吗？

学生之所以出现上面的疑问，是因为人教版教材在编写本课时，回避了假分数，把假分数和真分数的认识放到了下一课时。而另外版本的教材，都是把假分数与求一个数是另一个数的几分之几放在一起的，两个数（或数量）之间相比，自然而然就出现了假分数。因此，本节课有必要出现假分数。

【教学目标】

（1）理解“求一个数是另一个数的几分之几”用除法计算，进一步拓展和加深对分数意义的理解。

（2）经历探究“求一个数是另一个数的几分之几”的解答过程，渗透类比推理的数学方法。

（3）初步感知事物间在一定的条件下是可以相互转化的辩证唯物主义观点。

【教学过程】

（一）激活经验，唤醒对分数的原认知

教师边说边画出下图：妈妈买了4个苹果，已经吃了3个，已经吃的个数是总个数的（ ）。

生（齐答）：四分之三。

师：这里的四分之三你是怎么理解的？（根据学生回答，师逐步完善上图，最终得到下图）

生：把4个苹果看作单位“1”，平均分成4份，已经吃的个数表示这样的3份，所以用四分之三表示。

（反思：通过这样的学习材料能有效激活学生对分数意义的已有认知，即分数就是把单位“1”平均分成若干份后表示这样的一份或几份的数，进一步加深了学生对四种分数定义中“份数定义”的理解，为后面引导学生进一步认识分数奠定了基础。）

（二）类比推理，实现对分数的再认识

教师边说边画在大黑板上：现在妈妈买了4个苹果，又买了12个梨，梨的个数是苹果的（ ）。

师：怎样列算式？（板书：12÷4=3）这里把谁看作了标准？

生：把4个苹果看作了标准。

师：从图中你看到3倍了吗？谁上来圈一圈？

师（擦去4个梨）：如果妈妈买8个梨，算式又是怎样列的呢？（板书：8÷4=2）

师（再擦去4个梨）：梨继续减少，如果买4个呢？（板书：4÷4=1）

师（再擦去1个梨）：假如妈妈买3个梨，算式又该怎样列呢？一起说吧！（板书：3÷4=）

师启发：通过前面的学习，我们都知道3个苹果是4个苹果的四分之三，现在可是3个梨呀，不一样的哦，3个梨怎么也是4个苹果的四分之三呢？这是什么道理？

师：下面请四人小组讨论一下其中的缘由。谁来说说其中的原因？

生：这里比的是个数，即在个数上，3个梨相当于3个苹果。

师：什么意思？谁听懂了？

生：在这里大家都是在比个数，都是3个对3个，不是比什么重量、形状等等。

生：把4个苹果看作单位“1”，平均分成4份，1个苹果是它的，1个梨的个数相当于1个苹果，因此1个梨也就相当于这个整体的，3个梨也就相当于这个整体的。

师：谁听懂了？（指名复述）

师（再擦去1个梨）：如果妈妈买2个梨，算式怎样列呢？（板书：2÷4=）

师小结：同学们，现在黑板上有6个算式，上面三个算式的商都是整数，都是在求一个数是另一个数的几倍；后面三个算式的商都是几分之几，这就是这节课我们要学习的求一个数是另一个数的几分之几。（板书课题）

（反思：教师在这个环节的教学中舍得花时、重点泼墨，通过类比推理，引导学生理解：即在个数上，3个梨相当于3个苹果，自然3个梨也是4个苹果这个整体的，让学生深深地感悟到分数不仅仅是把一个整体平均分成若干份表示这样的一份或几份的数，还可以表示两个数（或数量）之间的一种关系，有效地突破了学生对分数的原认知，并顺利地实现了对分数的新认识。）

（三）夯实模型，巩固对分数的再认识

师：根据屏幕上提供的信息，你能用今天学到的知识提一个数学问题并解决吗？（学生独立提问解答，教师巡视）

集体交流：说说你提的是哪个数学问题？

生答师板书：篮球的个数是排球的几分之几？

师：请说说你写的算式，让其他同学猜猜你解决的是哪一个数学问题。（生答师板书算式）

生答师板书每个算式相对应的问题。

师：黑板上哪个分数你有点看不太明白？

师：没关系，那我们先来看10÷7解决的是哪个问题。这里是把谁看作单位“1”？

生：把7个篮球看作单位“1”

比较：我们一起看这两个问题“篮球的个数是足球的几分之几？（）”和“足球的个数是篮球的几分之几？（）”，它们都在研究篮球和足球之间的关系，为什么得到的结果却不一样呢？（生：因为它们的单位“1”不同）

总结：同学们，一开始的回顾，让我们回忆起了3个苹果是4个苹果这个整体的四分之三，接着通过新课的学习，让我们明白了3个梨在个数上就相当于3个苹果，所以3个梨也是4个苹果的四分之三，因为有了这种新变化，所以也就出现了像这样与众不同的分数。

（反思：这个环节主要采用开放式的教学，先让学生自主提问、自主解决，然后再集体交流所提的问题和相应的算式，通过丰富的、相类似的问题与算式，引导学生进一步强化对分数的再认识，即分数还可以表示部分和部分之间的关系，而不仅仅是部分和整体之间的关系。因此，假分数的出现变得不那么突然，不那么难以接受。）

（四）拓展延伸，深化对分数的再认识

1.从形到数，完善意义。

师：请一起看屏幕（见下图），从图中你看到分数了吗？

师：你能看懂哪个分数？能说说谁是谁的几分之几吗？

2.从数到形，延伸意义。

师：你能用一幅图来表示这句话的意思吗？

学生动手画图，教师巡视，收集材料。

反馈交流：有位同学这样画，你看得懂吗？

教师投影出示学生的作品：

师：这位同学用线段图表示的，谁看懂了？投影出示学生的作品：

师：根据这个线段图，你还想到了哪些分数？

启发：都是相差的1份，为什么得到的结果却不一样呢？

生：因为单位“1”不同。

（反思：这个环节旨在帮助学生进一步拓展和延伸对分数的认识，即帮助学生理解分数的第三种定义，即比定义：它是“一部分和另一部分之比”，另一部分可以是整体，也可以是部分，把一部分当作新的整体。同时，还力图让学生体会到这里的比是一个有序概念，颠倒两个数（或数量）之间的比较顺序，就得到另一个比。）

（五）课堂小结，梳理对分数的再认识

通过这节课的学习，你对分数有了哪些新的认识？

生：分数不一定表示部分和整体之间的关系，也可以是不同物体之间的关系。

生：分数不一定都是分子比分母小，也有可能分子比分母大。

生：同一个图，从不同的角度观察可以看到不同的分数。

（反思：通过课堂小结、梳理，使学生对分数有了更加系统、深刻的认识，即分数不仅仅表示同一类数量之间的比，也可以表示不同类数量之间的比；分数不一定都是分子比分母小，也有可能分子和分母一样大，甚至分子比分母大；分数的分子和分母随着两个数（或数量）之间的比较顺序的颠倒而交换位置；等等。这对将来灵活地运用分数大有裨益。）

【总体思考】

整节课，在厘清份数定义显示过程，商定义表示结果的基础上，旨在着力解决如何妥善实现由算式到结果这一教学难题，同时深入思考与之有相同本质的已有数学知识，并最终确认应该是“如修订版教材中所要体现的求一个数是另一个数的几倍”。综观两个数(或数量)相比，既可比较相差多少即差比，又可比较两者的倍数关系即倍比。求一个数是另一个数的几分之几，其实质就是倍比，所以整节课的新授部分先由求一个数是另一个数的几倍引入，后运用类比推理的方法展开教学，最终由商定义得出商是整数时我们说一个数是另一个数的几倍，当商不是整数时我们就说一个数是另一个数的几分之几，自然地获得求一个数是另一个数的几分之几也用除法计算的思考方法。

另外，在细细解读张奠宙教授的观点“已经学过比和比例之后的小学六年级学生仍然有缺乏用比和比例的眼光去审视分数的缺陷”“在小学数学教学中，在讲比和比例的时候，应该补充‘分数的再认识’，这对将来灵活地运用分数很有好处”等之后，更加坚定了笔者对此例题的定位，那就是此例题既是“解决问题”，更是“分数的再认识”，即分数比定义的认识。因此，教师在练习中进一步丰富学生对比定义的认知，力图让学生在自主尝试中体会到部分与部分之比、部分与和之比、差与部分之比、差与和之比等等，有的问题即使不能当堂解决，但对学生六年级学习分数（或百分数）解决问题时应该会有不少的帮助。

总之，作为数学教师既要读懂知识发展的思维轨迹，又要读懂学生学习的思维轨迹，两者同样重要，缺一不可，只有让知识发展的思维轨迹和学生学习的思维轨迹和谐共振，课堂才会更有张力、更有魅力、更能焕发出生命活力。

[1]张奠宙.“分数”教学中需要澄清的几个数学问题[J].小学教学（数学版），2010（1）.

[2]王永.从分数产生的现实背景认识分数的本质 [J].小学教学（数学版），2008（4）.

（浙江省平湖市叔同实验小学 314200）