“高立意”下的章节起始课教学探析——以“一元一次方程”教学为例

高建成（浙江省杭州市余杭教育学院）

“高立意”下的章节起始课教学探析
——以“一元一次方程”教学为例

高建成（浙江省杭州市余杭教育学院）

高立意是指数学教学站在学科育人的高度，本着为学生终生发展的理念，学习知识的同时，着眼于提高学生观察、抽象、概括、归纳、推理等能力，渗透数学文化，以文化人，培养数学情意.章节起始课，是指每一章教学内容的第一课.以“一元一次方程”的教学为例，阐述高立意下的章节起始课教学应做到：高立意必须做到低起点，这样才能进入学生心灵；高立意教学要有系统性、整体性，这样才利于整章知识的建构；高立意教学高度关注数学概念的源和流，这样才能启迪学生智慧.

高立意；章节起始课；数学文化

笔者曾参加区里组织的教研活动，听了一节浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第五章第一节“一元一次方程”的公开课.听完课笔者对部分学生进行访谈，发现一些问题，与同伴探讨后，得到一些启发.回校后笔者对这节课进行了重新设计，并试教，学生困惑得以解决，教学效果较好.课后深入思考，终于悟出真谛——章节起始课的教学立意要高.

公开课中，教师将课堂教学分成了五个环节，即引入概念；体验新知；拓展新知；小结；作业布置.教师的教学过程设计为“实际问题—抽象数学模型（一元一次方程）—认识巩固模型（以正例或反例巩固一元一次方程的概念）—应用模型（应用一元一次方程的概念解决有关问题）—小结建构”.该过程很好地体现了数学概念的建立过程和数学的学习过程，应该是一节较好的教学设计.

但笔者从访谈中了解到，学生仍然有许多困惑：运用算术方法很好，为什么要学习方程呢？方程要研究的什么是问题？本章要研究哪一类方程？怎样研究方程？这节课似乎没有明确地设计出来，没有让学生体验到，从而使学生缺乏学习方程的动力和欲望.究其原因，主要还在于教师对一元一次方程的理解不到位，对学生之前的认知和思维把握不准，不能站在方程的大局来看这节课的教学内容，致使教学视野狭窄.

那么，从算式到方程到底进步在哪里？用算式解决问题的本质是通过逆运算变化问题中的数量关系，从已知量出发构建求未知量的算式，这往往需要借助实际意义解释，这样比较烦而难.而用方程解决这类问题时，承认未知量是一个数，让未知数参与运算，直接把问题中的等量关系顺向翻译为含有未知量的等式，再系统运用代数运算律和等式性质在数学运算范围内求解未知量，化“逆”为“顺”，更简单、自然.基于此，笔者将该节课进行了以下设计并教学.

一、教学流程设计

环节1：解决问题，比较方法.

活动1：猜一猜老师的年龄.老师年龄的2倍再加上你的年龄是63岁，老师年龄为多少？

活动2：求“代数学之父”丢番图的年龄：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度的悲痛中度过了四年，也与世长辞了.

【设计意图】有比较才有鉴别，通过用方程与算式两种方法分别解决问题的比较，让学生感受到方程带来的直接和便捷，并顺其自然地得到方程解的概念，从而让学生感受到学习一元一次方程的必要性和重要性.

环节2：尝试用方程.

根据下列问题，设未知数并列出方程.

（1）用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少?

（2）一台计算机已使用1 700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2 450小时？

（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校学生有多少？

【设计意图】设计这三道小题的目的，是让学生体会列方程的思考过程，总结列方程的步骤.同时，渗透和点明这里和今后一段时间要体会的数学思想——方程思想，很好地解答了方程要研究的是什么问题.

环节3：认识一元一次方程.

（1）观察以下方程之间的共同点.

①4x=24；②1 700+150x=2 450；③0.52x-（1-0.52）x=80；⑤2x+13=63.

通过观察以上方程的特点，得出一元一次方程的概念，即只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.

（2）方程的历史：教师依次展示几本有关方程的书，并简单介绍一下方程的发展史.

【设计意图】通过对五个方程的研究，归纳出它们所具有的共同点，进而概括出一元一次方程的一般化概念，让学生经历特殊到一般、具体到抽象的数学化思考过程.更好地回答了本章要研究哪一类方程的问题.同时，通过方程史的展示和介绍，有意识地拓展学生的方程视野，培养学生学习方程的兴趣.

环节4：展望方程的发展.

（1）“鸡兔同笼”问题的再思考.今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.

引导学生设鸡有x只，兔有y只，从而列出二元一次方程.

（2）归纳.数学工具的优化：算式—方程（数学符号化）.

（3）介绍了解.代数的发展过程：算术—方程—不等式—函数，它们分别研究的是确定的数—特定状态—某个范围—变化过程.

【设计意图】通过学生小学熟悉的鸡免同笼问题的再回顾，让学生再一次体验方程解决问题的直接及列方程的过程，建立二元一次方程，慢慢意识到方程是一个方便而有效的数学工具.同时，师生展望一下方程的发展趋势和方向.

按该设计教学后，教师对部分学生进行了访谈.

师：列算式与列方程解决实际问题，你选择哪一种？

生1：对于复杂一些的问题，列方程解决得快些，我会选择方程.

师：你能用自己的话说说一元一次方程的定义吗？

生2：能.就是方程中有一个未知数，次数是一次的整式方程.

师：学完本节课，你有何想法？

生：我想买一本《九章算术》看看，看一看古人是如何在用方程的.

……

显然，高立意的教学设计目标已完全达成，即激发并培养了学生研究方程的兴趣.

二、教学思考

1.高立意的章节起始课教学要以低起点为基础

高立意教学要想高起来，首先是让学习的内容深入到学生心灵，这就要求教师的教学起点要低，然后，循循善诱，引导学生自然合理地体会和思考，激发其深入学习和探究的欲望.低起点到底低在哪里，低到什么程度，不同的设计者可能有不同的看法，这是由新概念与学生头脑中已有认知结构的复杂关系所决定的.认知结构是网状的，新、旧知识的联系是多途径的，学习的起点也不是唯一的，这就有一个取舍问题.总原则应该是“就近”，但也不排除“绕个弯子”，主要看学生对已学知识的掌握水平.本节课，用贴近学生的猜年龄游戏激发学生的学习兴趣，降低起点.用从算式到方程的进步体验引发激情，震撼学生心灵.用方程的发展史唤醒欲望，探究方程的历史和内涵.

2.高立意的章节起始课教学一定要有系统性、整体性

美国心理学家布鲁纳提出，无论教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构.教师在教学的开端、中间和结束的整个过程中，始终要有一个整体的概念.在章节的起始课，教师要把这一章甚至以后有关的数学知识结构向学生做系统的知识介绍，通过不断积累，让学生逐步掌握理论体系，从而使知识的点与面有机结合起来.

若教师一个个地教概念，让学生一个个地学定理，容易让学生迷失在局部，只见树木不见森林，长此以往就会导致坐井观天、思路狭窄、思维呆板.因此，教师要把握好整体性，对内容的系统结构了如指掌，心中有一张联络图，才能把准教学的大方向.也只有这样，学生才能学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识.

高立意的章节起始课教学必须注重数学的整体性，这也是由数学的学科特点决定的.这种整体性，既体现在数学概念及其反映的数学思想方法的一体性上，又体现在各部分内容的有机联系上.从教的角度说，把握好整体性，才能有准确的教学目标，才能把数学教得本质而自然，教学行为才能“准”“精”“简”，才能充分发挥数学的育人功能；从学的角度看，注重整体性，才能了解知识的源头、发展和去向，才能掌握不同内容的联系性，既学到“好数学”，又学得兴趣盎然.本节课，学生由算式到方程，到列方程，到简单的解方程，再到认识一元一次方程，二元一次方程，最后回到代数发展过程：算术—方程—不等式—函数，一气呵成，浑然一体.

3.高立意的章节起始课教学一定要讲清数学概念的源与流

何谓源与流？什么是源？什么是流？哲学上的解释：源，来源；流，变化，演变.源在先，流在后，无源则无流，如孔子本人的思想属于源，后人对其进行解释，就是流.什么是数学的源与流？有学者曾对数学进行了梳理，源讲数学的发生，数学的一些概念开始是如何从客观实际抽象出来的；流讲数学的发展，讲数学在2 000多年的时间里，伴随着人类知识的不断积累和思维能力的提高，数学概念层层抽象，数学研究的范围不断扩大，研究对象不断变化的过程.

在高立意的章节起始课教学中，教师要站在学生思维的起点上，让学生模拟数学家当初发现、发明时的想法，思考为什么要引进这个概念？这个概念与以前学过的某个概念有什么相同或不同的地方？要揭示概念的来龙去脉，知其所以然.数学知识是基础，方法是中介，是手段，思想才是本原.有了思想，知识与方法才能升华为智慧.数学教学应该教给学生智慧，为学生的创新能力打好基础.

同时，学生在弄清概念的源头与流向的过程中，会发现很多有意义的数学家与数学史的故事，通过对数学家特有的思想方法的考查可以使他们对数学有更进一步的了解，了解数学概念、数学理论、数学问题及求解的来龙去脉，而不至于在抽象神奇的外表之下，感到神秘莫测了.同时也提高了学生对数学文化价值的认识，把学生对数学的“恨”或“怕”转化成“爱”和“亲”，培养了学生的数学理性和情感.本节课后，有学生还想买一本《九章算术》看看，显然，激起了学生学习数学的兴趣和欲望.

总之，站在学生思维的起点上，为增长学生的智慧而教，这就是高立意的数学教学.

［1］张顺燕.数学的源与流［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］章建跃.数学课堂教学设计研究［J］.数学通报，2006（7）：22-26.

［3］吴增生.在实践与反思中改进数学课堂教学：“扇形统计图”课堂教学的研究过程［J］.中学数学教学参考，2007（1）：7-9.

2016—09—02

浙江省教研资助课题——四纬五步式发展性课堂教学评价研究（14B020）.

高建成（1971—），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育及初中数学教学研究.