如何掌握好“实变函数”中的“几乎处处”概念

周其生

(安庆师范大学数学与计算科学学院，安徽安庆246133)

如何掌握好“实变函数”中的“几乎处处”概念

周其生

(安庆师范大学数学与计算科学学院，安徽安庆246133)

“几乎处处”是“实变函数”课程中测度和积分理论中的一个重要概念。本文就如何正确理解这一概念以及它与连续、收敛相联系的有关概念做了阐述和辨析，并通过举例说明如何利用函数几乎处处相等来计算积分。

几乎处处；测度；积分；连续；收敛

虽然在实变函数课程中“几乎处处”的定义不如勒贝格测度、勒贝格积分等概念重要，但却是勒贝格测度和积分理论中一个重要的组成部分，要学好这门课程，必须很好地掌握这个概念。下面从几个方面谈谈如何理解和运用“几乎处处”概念。

1 “几乎处处”定义

定义1[1-3]设有一个与集合E⊂Rn中的点x有关的命题P（x）。若除了E中的一个零测集以外，P（x）皆为真，则称P（x）在E上几乎处处是真的，或称P（x）几乎处处于E。

学习这个概念时，要抓住命题是关于E中的点的命题，如函数在E上有限、连续、相等、大于等等是关于点的命题，因此可以说某函数在E上几乎处处有限、几乎处处连续，两函数在E上几乎处处相等，但函数在E上有界、一致连续、可测、可积等，不是关于E的点的命题，而是关于E的整体概念。比如说，函数f（x）在E上要么可测，要么不可测，不能说f（x）在E上几乎处处可测。

也有人把f（x）在E上除去一个零测集后有界，称为f（x）在E上几乎处处有界，这容易引起概念的混淆，因为有界不是关于“点”的命题。但可以将这种情形表示为│f（x）│＜M几乎处处于E。因为这个不等式是关于点的命题。同样，若函数f（x）在E上除去一个零测集N后，作为集合EN上的函数而一致连续，也不能说f（x）在E上几乎处处一致连续。

此外，也要注意到定义中的集合E并未要求是可测集，只是E中使得命题P（x）不成立的点为一零测集（测度为零的子集，当然可以是空集）。

2 函数的几乎处处连续

如果f（x）在E上除了一个零测集外每点都连续，则可以说f（x）在E上几乎处处连续。因为函数在集合上可以在某个点连续，可能在另一个点不连续，即函数连续是关于“点”的命题。实变函数课程对数学分析中黎曼积分的一个重要贡献，是用不连续点的测度来衡量一个有界函数是否黎曼可积，即下面的定理。

定理1若f（x）是定义在[a,b]上的有界函数，则f（x）在[a,b]上黎曼可积的充要条件是f（x）在[a,b]上的不连续点集是零测集(或f（x）在[a,b]上几乎处处连续)。

应用这个定理需注意两个问题：一是验证f（x）在[a,b]上有界，这是黎曼可积的必要条件，不能忽略；二是说明f（x）在[a,b]上不连续点是零测集，强调的是要把f（x）作为[a,b]上的函数来考察它的不连续点，而不能去掉一个零测集后再来考察连续性，这样f（x）的定义域就不是[a,b]了。例如，[0,1]上的狄里克雷函数D（x），作为[0,1]上的函数在[0,1]上处处不连续，但如果先去掉[0,1]中全体有理点这个零测集后，在剩下的点集（[0,1]中全体无理点）上D（x）恒为零，故连续。因此不能认为D（x）在[0,1]上几乎处处连续而得出黎曼可积的错误结论。再举一例：

其中P表示康托三分集，问f（x）在[0,1]上是否黎曼可积？

此例关键是分析f（x）的不连续点集，通过分析康托集的构造知，在各次被删除的开区间上，f（x）=x2连续，而f（x）的不连续点都在康托集P之中，而康托集的测度mP=0，又f（x）在[0,1]上显然有界，故而在[0,1]上黎曼可积。

试想，若将例1中的P换成有理数集Q，则情况就不同了，此时f（x）虽然在[0,1]中有理数集[0,1]∩Q和无理数集[0,1]Q上均连续，但在整个[0,1]区间除个别点外均不连续，不连续点集的测度大于零，故不是黎曼可积的。

几乎处处连续的函数可以用下面一个等价条件来描述，对加深理解几乎处处概念很有益处。

命题设f（x）定义在开集G⊂Rn上，则下述两个条件等价：

（1）f（x）在G上几乎处处连续；

（2）对一切t∈R1，点集｛x∈G；f（x）＞t｝，｛x∈G；f（x）＜t｝中几乎处处的点均为内点。

证明（1）⇒（2）设m（Z）=0，G中的点都是f（x）的连续点。若x0∈G且f（x0）＞t，则存在邻域U（x0），使得f（x）＞t，x∈U（x0），即x0是｛x∈G；f（x）＞t｝的内点。对｛x∈G；f（x）＜t｝可类推。

3 函数列和函数项级数的几乎处处收敛

实变函数所研究的对象是可测函数，函数可测不要求函数有界，甚至不要求函数取有限值，这里的实函数允许它以+∞或-∞为函数值，例如，在[0,1]上恒为+∞的函数也可测，但它不是勒贝格可积的。勒贝格可积的必要条件是被积函数几乎处处取有限值，所以通常总是假设可测函数是几乎处处有限的。可不要小看“有限”前面加上的“几乎处处”4个字，容许在一个零测集上函数取无穷大，甚至没有定义，或者随意改变函数值，这在黎曼积分中是绝对不行的，想想狄里克雷函数，只要将其作一点修改（把有理点处取值作些改动），就能认识到这4个字不同凡响。

例2 fn（x）=n，x∈[0，1]，n=1，2，…。

其二，课本中经常会遇到“函数列{fn（x）}几乎处处收敛于f（x）”的说法，此时在收敛处意味着f（x）取有限值。函数列有极限和函数列收敛是有区别的，这一点在数学分析课程中已经知道。

其三，一列几乎处处连续的函数，其极限函数可能处处不连续。举例如下：

这里r1，r2，…，rn，…为[0,1]中全体有理数(是一可数集)。

显然，fn（x）在[0,1]上只有有限个不连续点r1，r2，…，rn，该函数列处处收敛，但极限函数是狄利克雷函数，在[0,1]上处处不连续。进一步说明，一列黎曼可积函数的极限函数却不黎曼可积。

把例3改造一下就可说明函数项级数问题：

4 利用“几乎处处”解题

4.1 “几乎处处”在计算勒贝格积分时的应用

勒贝格积分在一个零测度集合上的值为零，即使在一个零测度集合上函数取值为无穷或没有定义，随意改变函数在这个集合上的函数值或补充定义，均不影响函数的可积性和积分值。故在计算勒贝格积分时可以灵活地运用这一点，往往使积分的计算变得简单，甚至改造后的函数可能还是黎曼可积的，再根据两个积分的关系，借助黎曼积分便可计算出勒贝格积分来。最简单的例子如狄里克雷函数和形如例1的分段函数在某区间上的积分。

例5 f（x）同例1，计算f（x）在[0,1]上的黎曼积分。

上面计算中利用了f（x）在[0,1]上“几乎处处”等于x2和两种积分之间的关系，使得积分的计算变得非常简单。类似地，在计算勒贝格积分时，巧妙地运用两种积分之间的转化和几乎处处相等的函数积分间的替换，能将积分计算变得很简洁。

判断其可积性并计算它在[0,1]上的积分。

4.2 函数几乎处处取有限值的集合表示

因为勒贝格积分是黎曼积分的推广，不光是被积函数要求降低了，积分极限定理条件也变得宽松，在一个零测度集上可随意改变这些定理的条件要求，所以“几乎处处”在勒贝格积分理论中随处可见就不足为奇了。但这并不意味着勒贝格积分理论对被积函数毫无限制，它要求函数可测且几乎处处有限，而有的定理条件或结论与“几乎处处”非常接近但又有所不同，因此，必须准确把握这些概念。

5 结束语

[1]周民强.实变函数论[M].2版.北京:北京大学出版社,2001:128-236.

[2]程其襄，张奠宙，魏国强,等.实变函数与泛函分析基础[M].3版.北京:高等教育出版社，2010：84-112.

[3]徐森林.实变函数论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2002：190-295.

[4]张喜堂.实变函数论的典型问题与方法[M].武汉:华中师范大学出版社，2000：149-298.

[5]周其生.勒贝格积分的计算方法[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2005，11（4）：89-93.

Abstruct:“Almost everywhere”is a key concept in the theory ofmeasure and integration in the course of real variable function.In this paper,how to correctly understand the concept and its connection with the continuous and convergence of the relevant concepts are described and analyzed.Furthermore,examples are given to explain how to use the functions of almost everywhere equivalently to calculate integral.

How to Master theConceptof“Almost Everywhere”in“RealVariable Function”

ZHOU Qi-sheng
（School of Mathematics and Computation Science，Anqing Normal University，Anqing，Anhui 246133，China）

almosteverywhere；measure;integral；continuous；convergence

O174.1

A

1007-4260(2016)04-0125-03

时间：2017-1-3 17:19

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20170103.1719.031.html

2016-08-22

安徽省质量工程项目（gxk075)。

周其生，男，安徽金寨人，安庆师范大学数学与计算科学学院教授，硕士生导师，研究方向为算子理论。

E-mail:zhouqish@aqtc.edu.cn

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.04.031