一个Sierpinski垫片的Hausdorff测度的准确值的计算

郑冰蓉，李楚玲，许绍元

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州 521041）

一个Sierpinski垫片的Hausdorff测度的准确值的计算

郑冰蓉，李楚玲，许绍元*

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州 521041）

研究了一个Sierpinski垫片的Hausdorff测度，利用自相似集Hausdorff测度的上限估计的有效方法，得到Sierpinski垫片的Hausdorff测度的一个上界，然后应用垂直射影的方法得到Hausdorff测度的一个下界，从而得到该Sierpinski垫片的Hausdorff测度的准确值.

Sierpinski垫片；垂直映射；Hausdorff测度

关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度，许多数学工作者对此作了广泛的研究[1-4].Hausdorff维数计算与Hausdorff测度估计的研究已取得了很大的进展，文献[5]提供了运用质量分布原理来估算Sierpinski垫片的Hausdorff测度下限的方法，而文献[1]则需要分多种情形讨论，步骤繁琐，并且计算复杂，容易出错；文献[2]采用构造递推数列的方法来估计Sierpinski垫片的Hausdorff测度；文献[4]则是根据质量分布原理，通过其质量可以由一条线段的长度来表示的方法，求出了所提供的分形集的测度.本文应用垂直射影的方式得到Hausdorff测度下限、应用自相似集的Hausdorff测度的上限，因此运用一些简单的证明方法就得到文献[4]所构造的分形集的Hausdorff测度的确切值.

1 预备知识

1.1 一个三分Sierpinski垫片的作图

打开几何画板，单击画板右侧的“线段直尺工具”，在空白的画板上画出一条大小合适的线段AB，再点击“圆工具”，以方才线段的左端点为圆心，线段AB为半径绘制一个圆，同理，以线段的右端点为圆心，相同半径再绘制一个圆，两圆相交于一点C.分别连接AC和BC，再点击其中一个圆，点击鼠标右键，选择“隐藏圆”，按照上述步骤隐藏第二个圆，便得到一个等边三角形ABC.其次，选择“格式”选项卡中的“在轴上绘制点”，点击线段AB，并在值中填入“”，点击“绘制”按钮，重复上述步骤，把值改为“”，即绘制出了线段AB的三等分点，同理可得三角形ABC三边上的所有三等分点E,F,G,H,I,J，依次连接相邻两边上距离最近的两点，得到三个小等边三角形.最后，选择画板左侧的“缩放箭头工具”，点击A,E,F三点，并点击“构造”选项卡的“三角形的内部”，给小等边三角形填充颜色，同理，为另外两个小三角形上色，则一个三分Sierpinski垫片的第一次变换作图完成，如图1（a），依次操作，得到图1.

1.2 三分Sierpinski垫片的定义

如图1（a）所示，将正三角形ABC的每一条边平均分成三份，再连接各邻近分点，就得到了3个边长为原来边长的正三角形，去掉原本等边三角形中间六边形部分，剩下的各顶点处的3个三角形，称为一阶基本三角形（如图1（a）所示），其并集记为S1.接着对刚刚的3个一阶基本三角形作相同的处理，得到32个二阶基本三角形（如图1（b）所示），其并集记为S2.又对二阶基本三角形再作同样的操作，得到33个三阶基本三角形（如图1（c）所示），其并集记为S3.

无限重复上述所描述的过程，得到一串的Sn(n=0,1,2,…):S0⊃S1⊃S2⊃…⊃Sn⊃…，因为每个Sn为紧集，所以是具有压缩比为的Sierpinski地毯，记为F，其Hausdorff维度s=dimHF=log33=1.

一些基本概念、符号和已知结果见文献[6].

定义1.2[6]设F⊂Rn，f:F→Rn为一映射，使得对常数L＞0和α＞0，满足

则称不等式（1）为F在Rn上的Lipschitz映射.

2 主要结果

定理2.1 设F是由单位三角形通过以上的方法得到的，构造的每一步是以三角形的顶点，绘制3个小三角形，每个小三角形的边长为原来三角形边长的，保留三个顶点处的三角形，则Hl(F)=1（见图1（a））.

图1 三分Sierpinski垫片

证明首先F的讨论Hausdorff测度上限的估计，选取定义域为U实闭圆盘以A为中心，AB为半径，如图2，此时，U包含3个，故由文献[7]中（13）式得

再利用垂直射影估计下限，用proj表示到x轴的垂直射影，垂直射影距离不会有所增加，即

所以，proj为Lipschitz映射，通过F的构造可知，F在x轴上的射影或“影子”，projF为单位区间[0,1]，应用（3）式得

因此，Hl(F)=1.

注1 本文分别应用自相似集的Hausdorff测度的求上限的有效方法，以及应用垂直射影这一方法来估算Hausdorff测度上限和下限，进而求得文献[4]中所构造的Sierpinski垫片的Hausdorff测度的确切值，比文献[4]中根据质量分布原理所给出的证明方法更加简单便捷，更具有可行性.

图2

[1]许绍元，周作领，苏维宜.自相似集的质量分布原理与Hausdorff测度及其应用[J].数学学报，2010，53（1）：117-124.

[2]许绍元，朱传喜.关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度的一个注记[J].南昌大学学报，2004，26（2）：23-24.

[3]燕子宗，王章雄.Sierpinski垫片的一个新的Hausdorff覆盖[J].荆州师范学院学报，2000，23（5）：15-17.

[4]钟婷.一个Sierpinski垫片Hausdorff测度的初等证明[J].湘潭大学自然科学学报，2004，26（4）：6-7.

[5]FALCONER K.Fractal Geometry-Mathematical Foundations and Applications[M].New York：John Wiley and sons,1990.

[6]Kenneth Falconer.分形几何数学基础及其应用[M].北京：人民邮电出版社，2007.

[7]许绍元.关于自相似集的Hausdorff测度的一个判据及其应用[J].数学进展，2002，31（2）：157-162.

The Calculation of the Exact Value for Hausdorff Measure of Sierpinski Carpet

ZHENG Bing-rong，LI Chu-ling，XU Shao-yuan
（College of Mathematics and Statistics,Hanshan Normal Univeisity,Chaozhou,Guangdong，521041）

A Hausdorff measure of Sierpinski car pet was studied in this paper.First,we got a upper bound of Hausdorff measure of Sierpinski carpet by an effective method of lower bound for the simple fractal of Hausdorff measure.Then we got the upper bound of Hausdorff measure of Sierpinski carpet by the method of the Vertical mapping principle.Thus the exect value of this Sierpinski carpet was presented.At the same time, this method was more simple than others.

Sierpinski carpet;Vertical mapping principle;Hausdorff measure

O 174.12

：A

：1007-6883（2016）06-0012-03

责任编辑 朱本华

2016-06-26

国家大学生创新创业训练项目（项目编号：201310578014）.

郑冰蓉（1995-），女，广东潮州人，韩山师范学院数学与统计学院2014级在读本科生.许绍元为通讯作者.