一类具阻尼项的三阶非线性泛函微分方程的振动性分析

林文贤

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州 521041）

一类具阻尼项的三阶非线性泛函微分方程的振动性分析

林文贤

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州 521041）

作为机械、电子振荡的数学模型——泛函微分方程的振动性研究在理论和实际中都有着重要意义.对于二阶泛函微分方程的振动性研究已经有了许多结果，但对于三阶中立型泛函微分方程的振动性研究结果却很少.利用广义Riccati变换和积分平均技巧，研究一类具阻尼项的三阶非线性泛函微分方程的振动性和渐近性，建立了该类方程的所有解振动或收敛于零的若干新的充分条件，推广和改进了一些文献中的结果.

三阶中立型方程；阻尼项；振动性

1 引言

众所周知，振动是系统的主要动力学性质之一，在日常生产、生活中，振动现象屡见不鲜，如机械振动、声带振动、电磁振荡、热运动和原子运动等.由于振动的复杂性，人们往往通过简化假设，建立相应的数学模型，把复杂的振动问题用相对简单的数学方法加以描述，这便是动力方程的振动理论.动力方程的振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支，在控制工程、机械振动、生物制药、力学等领域具有重要的应用价值.

1836年，Sturm在研究热传导问题时首次研究了二阶动力方程的振动性.此后一个多世纪，微分方程的振动理论发展比较缓慢，直到20世纪七八十年代，微分方程的振动理论逐渐成为了国内外学者研究的热点；随着研究的深入，研究的对象由线性微分方程拓展到次线性方程、半线性方程、超线性方程等情形，方程的阶数由二阶拓展到三阶，再拓展到偶数阶，由连续动力拓展到离散动力方程、时间尺度上的动力方程，而且研究的方程也由一般情形拓展到时滞方程、中立型方程、阻尼方程等情形.

急动度是描写机械运动的一个重要的基本概念.文献[1]介绍了位移对时间的三阶导数——急动度的历史背景，并考虑了其在凸轮和星形轮等间歇运动机械的设计等方面的应用.急动度作为加速度随时间的变化率，是变加速动力学的基本概念，它与三阶微分方程密切相关.

近年来，泛函微分方程的振动性和渐近性研究开始受到关注，出现了大量的研究论文和专著[1-22].而相对来说，三阶微分方程的振动结果比较少见，最近的文献可以参看文献[23-33].

本文将考虑如下的一类具阻尼项的三阶非线性中立型泛函微分方程

如果函数x(t)∈C1[Tx,∞),Tx≥t0，使得r(t)y″(t)∈C1[Tx,∞)且在[Tx,∞)上满足方程（E），则称x(t)为方程（E）的解.

本文仅考虑方程（E）满足sup{|x(t)|:t≥T}＞0对一切T≥Tx成立的解.如果方程（E）的解有任意大的零点，则称该解为振动的；如果方程（E）的解都振动，则称方程（E）为振动的.否则称方程（E）为非振动的.

2 若干引理

3 主要结果

定理1 设n＞1和（2）式成立.若存在函数ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得

如果y(t)为(B)型，证明与定理1的第二部分一样，故省略.定理3证毕.

注 当m(t)=0时方程（E）就是文献[30]所研究的方程，因而本文的结论推广和包含文[30]的结果.

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Oscillation Analysis of Certain Third-Order Neutral Nonliner Functional Differential Equations with Damping

LIN Wen-xian
（College of Mathematics and Statistics,Hanshan Normal University,Chaozhou,Guangdong,521041）

The research on oscillation for general mechanical and electronic vibration mathematical models，which are usually functional differential equations，has important implications in both theory and practice.There have been many results about the oscillation for second order functional differential equations，but there are few research results about the third order case.By means of the generalized Riccati transformation and integral averaging technique，this paper establishes several new oscillation criteria for certain third order functional differential equations with distributed delays，which generalize and improve some known results in the literature.

third-order neutral equations;damping terms;oscillation

O 175.10

：A

：1007-6883（2016）06-0001-07

责任编辑 朱本华

2016-09-14

广东省高等教育教学改革项目（项目编号：GDJG20142396）；广东省高等学校特色创新科研项目（项目编号：2014GXJK125）.

林文贤（1966-），男，广东潮州人，韩山师范学院数学与统计学院教授.