多介质流动问题的高精度正保护数值模拟方法

黄 凯

(南京航空航天大学 理学院 ，南京 211106)

多介质流动问题的高精度正保护数值模拟方法

黄 凯

(南京航空航天大学 理学院 ，南京 211106)

将高精度RKDG(Runge-Kutta Discontinuous Galerkin)正保护格式推广应用于多介质流动问题的数值模拟.通过近似求解双激波Riemann问题来得到界面处流体的流动状态,证明了Riemann问题解的正保护性质,利用RGFM(Real Ghost Fluid Method)界面处理方法定义界面边界条件,将多介质问题转化为单介质问题进行计算,得到一维多介质流动问题的高精度RKDG(Runge-Kutta Discontinuous Galerkin)正保护数值模拟方法.对多个一维问题进行数值模拟,数值结果表明文中所给出的正保护算法,能准确捕捉界面和其他间断的位置.

RKDG方法;正保护限制器;RGFM方法;高精度

在流体力学问题中,密度和内能通常是非负的,但在数值计算过程中,用高精度WENO或DG等格式[1-2]进行数值求解时,由于数值误差的影响,在低密度或低内能区域会出现密度或内能为负值的情况,导致算法不稳定.为了解决这个问题,简单的处理方法是在密度或内能出现负值的情况下强制其为零,但这样会导致格式失去精度和守恒性,因而需要构造能保持格式精度和守恒性的正保护算法.Zhang和Shu等人提出来的一系列高阶正保护数值格式,如WENO正保护有限体积方法[3]和正保护RKDG方法[4].2013年Cheng巧妙地将正保护功能应用到了拉格朗日格式上,得到了具有正保护功能的拉格朗日数值方法[5].

对于多介质流问题,不仅要考虑对不同介质的计算,还需要考虑交界处算法的处理.1999年,Fedkiw等[6]人提出了一种求解多介质流动问题的虚拟流体方法(the Ghost Fluid Method,GFM),该方法简单易行,但在界面处压力或速度出现大梯度变化时,误差则会比较明显.而RGFM方法[7-8]能通过在界面处构造和求解Riemann问题,得到界面处流体的流动状态,并以此来定义界面边界条件,得到了更精确和稳健的界面处理方法.

本文基于高精度RKDG的正保护限制器,结合具有正保护性质的界面处理方法,得到一维多介质流动问题的高精度正保护数值模拟方法.并通过多个算例验证了算法的正保护性质.

1 RKDG方法

考虑一维Euler方程组(1)的初值问题：

(1)

其中

(2)

(3)

(4)

式中,用近似解Uh(x,t)代替U(x,t),引入Lax-Friedrichs数值通量：

(5)

(6)

方程组式(6)实际上是如下常微分方程组：

(7)

(8)

TVD限制器函数为：

(9)

TVB限制器函数为：

(10)

这里M是可调的正参数,其值的选取依赖于实际问题.

2 正保护限制器

3 正保护界面处理方法

图1 简化近似Riemann区域

(11)

(12)

(13)

(14)

4 数值实验

网格数900,TVB参数(M1,M2,M3)=(1020,100,1020),图2～图4是在t=6时刻正保护算法的计算结果,所给算法仍能准确计算流体的状态和捕捉间断的位置,与精确解吻合较好.

图2 氦-气激波管问题 密度

图3 氦-气激波管问题 压力

图4 氦-气激波管问题 速度

网格总数900,图5～图7给出了加入正保护限制器后t=0.002时刻的密度,压力和速度分布图,可见,数值解与精确解吻合的较好.

图5 气-水双稀疏波问题 密度

图6 气-水双稀疏波问题 压力

图7 气-水双稀疏波问题 速度

5 结论

本文针对多介质流动问题数值模拟中会出现的负密度或负内能的情况,将具有正保护性质的RGFM界面处理方法与高精度正保护RKDG方法相结合,得到了多介质流动问题的高精度正保护数值方法,利用多个算例验证了算法的有效性.

[1] COCKBURN B,SHU C W.The runge-kutta local projection p1-discontinuous Galerkin finite element method for scalar conservation laws[J].Mathematical Modelling and Numerical Analysis (M2AN),1991,25(3):337-361.

[2] COCKBURN B,HOU S,SHU C W.The Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws IV:the multidimensional case[J].Mathematics of Computation,1990,54(190):545-581.

[3] ZHANG X,SHU C W.Positivity-preserving high order finite difference WENO schemes for compressible Euler equations[J].Journal of Computational Physics,2012,231(5):2245-2258.

[4] ZHANG X,SHU C W.On positivity preserving high order discontinuous Galerkin schemes for compressible Euler equations on rectangular meshes[J].Journal of Computational Physics,2010,229(23):8918-8934.

[5] CHENG J,SHU C W.Positivity-preserving Lagrangian scheme for multi-material compressible flow[J].Journal of Computational Physics,2014,257:143-168.

[6] FEDKIW R P,ASLAM T,MERRIMAN B.A non-oscillatory Eulerian approach to interfaces in multimaterial flows[J].Journal of computational physics,1999,152(2):457-492.

[7] WANG C W,LIU T G,KHOO B C.A real-ghost fluid method for the simulation of multi-medium compressible flow[J].SIAM Journal on Scientific Computing,2006,28(1):278-302.

[8] WANG C W,SHU C W.An interface treating technique for compressible multi-medium flow with Runge-Kutta discontinuous Galerkin method[J].Journal of Computational Physics,2010,229(23):8823-8843.

[责任编辑 王新奇]

The High-order Accuracy Positivity-preserving NumericalMethod for Multi-media Flow Problems

HUANG Kai

(School of Science, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China)

The positivity preserving high order RKDG (Runge-Kutta Discontinuous Galerkin) method is extended to the simulation of one-dimensional multi-medium flow problem. The fluid states at the interface are obtained by solving the double shock Riemann problem approximately. The positivity preserving property of the solution of the Riemann problem is proved. The interface processing method named RGFM (Real Ghost Fluid Method) is used to define the boundary conditions, and the multi-medium problem is transformed into a single media problem to calculate. Therefore, the high-order positivity-preserving numerical method for one dimensional multi medium flow problem is obtained. Numerical simulation of a number of one-dimensional problems are carried out, and the results show that the proposed algorithm can accurately capture the location of the interface and other discontinuities.

RKDG (Runge-Kutta Discontinuous Galerkin) method; the positivity-preserving limiter; RGFM (Real Ghost Fluid Method); high order accuracy

1008-5564(2016)05-0016-05

2016-02-16

黄 凯(1988—)，男，江苏宿迁人，南京航空航天大学理学院硕士研究生，主要从事微分方程数值解研究.

O241.8;O35

A