三维带分数阶耗散不可压Maxwell-Naiver-Stokes方程组解的全局存在性

2016-02-10李卫文赵文波孙小科浙江师范大学数理与工程信息学院浙江金华3004天水师范学院电子信息与电气工程学院数学与统计学院甘肃天水7400

天水师范学院学报 2016年2期

关键词：带分数浙江师范大学天水

李卫文，赵文波，孙小科（.浙江师范大学数理与工程信息学院，浙江金华 3004；.天水师范学院电子信息与电气工程学院，数学与统计学院，甘肃天水 7400）

自然科学研究

三维带分数阶耗散不可压Maxwell-Naiver-Stokes方程组解的全局存在性

李卫文1，赵文波2，孙小科2
（1.浙江师范大学数理与工程信息学院，浙江金华 321004；2.天水师范学院电子信息与电气工程学院，数学与统计学院，甘肃天水 741001）

研究三维带分数阶耗散不可压Maxwell-Naiver-Stokes方程组，当α＞3时，利用能量方法得到2了该方程组解的全局存在性结果.

Maxwell-Naiver-Stokes方程组；全局存在性

引言

考虑如下三维不可压Maxwell-Navier-Stokes方程组：

Naiver-Stokes方程刻画了粘性流体运动的基本力学规律，在流体力学中有着十分重要的意义.而Maxwell方程和Lorentz方程是经典电磁学基础方程，从这些方程的相关理论中发展出了现代电子、电力科技，因此研究这些方程具有重要的理论意义和应用前景.

目前，经典的Maxwell-Navier-Stokes（α=1）方程组已经得到了广泛的研究.在二维的情形下，Mas⁃moudi等人在文献［2］，［3］中分别证明了当初值

以及

当忽略位移电流Et的影响时，Maxwell-Navier-Stokes方程组可化MHD［6］方程组，而对于MHD方程组已经有了大量的研究成果，例如解的唯一性、［7］爆破性准则、［8］大时间行为以及粘性消失极限［9］等.但是对于Maxwell-Navier-Stokes方程组与MHD方程组的结构而言，两者之间有着很大的不同，因此研究这些问题需要更多的技巧与方法.

1　基本引理

为了证明定理1，通过Picard定理及先验估计可以得到如下引理：

引理 3［10］（Moser型不等式）f∈Ws，q2，Λf∈Lp1，，则有其中1＜p＜∞，p1，p2∈（1，∞］，s＞0且

2　定理1证明

首先，在（1）-（3）分别乘以u，B，E，并关于x积分然后将结果相加，得到基本能量估计

这表明 u∈L∞（0，T；L2）⋂L2（0，T；Hα），（B，E）∈L∞（0，T；L2）和 j∈L2（0，T；L2）.

在（1）～（3）两边作用算子Λ，对其分别乘以Λu，ΛB，ΛE，并关于x积分然后将其相加，得到

现在给出 Ii，i=1，2，3的估计.对于 I1利用Hölder不等式、Young不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式，有

对于I2，运用Moser型不等式、Hölder不等式、Young不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式，得到

同样，对于I3

将（13）～（15）代入（12）并与（11）相加，然后应用Gron⁃wall不等式，得到

接下来进行二阶估计，先在（1）～（3）式两边作用算子Λ2，然后对其分别乘以Λ2u，Λ2B，Λ2E，并关于x积分然后相加，得到

将（18）～（20）代入（17）并结合（11），应用Gronwall不等式，得到

至此，结合引理2我们完成了定理1的证明.

［1］CHEMIN J.Y..Perfect incompressible fluids［M］.England：Clarendon press.Oxford，1998.

［2］MASMOUDI N..Global well posedness for the Maxwell-Na vier-Stokes system in 2D［J］.Pures Et.Appl.2010，93：559-571.

［3］GERMAIN P.，IBRAHIM S.，MASMOUDI N.On the wellposedness of the Navier-Stokes-Maxwell system［J］.Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A，2012，144（1）：71-86.

［4］FAN J.，Li F..Uniform Local well-posedness to the Density-Dependent Navier-Stoke-Maxwell system［J］.Acta Appl.Math，2014，133：19-32.

［5］IBRAHIM S.，KERAANI S..Global small solutions for the Navier-Stokes-Maxwell system［J］.SIAM J.Math.Anal，2011，43：2275-2295.

［6］BISKAMP D..Nonlinear Magnetohydrodynamics［M］.England：Cambridge University Press.Cambridge，1993.

［7］SERMANGE M.，TEMAM R..Some mathematical questions related to the MHD equations［J］.Comm.Pure Appl.Math，1983，36（5）：635-664.

［8］LEI Z.，ZHOU Y..BKM's Criterion and global weak Solu tions for magnetohydro-dynamics with zero viscosity［J］.Dis⁃crete Contin.Dyn.Syst，2009，25（2）：575-583.

［9］DíAZ J.I.，LERENA M.B..On the inviscid and non-resistive limit for the equations of incompressible magnetohydrody namics.Math［J］.Models Methods Appl.Sci，2002，12（10）：1401 -1419.

［10］KLAINERMAN S.，MAJDA A.J.Singular limits of quasilin ear hyperbolic systems with large parameters and the incom⁃pressible limit of compressible fluids［J］.Comm.Pure Appl.Math，1981，34：481-524.

〔责任编辑高忠社〕

Global Existence of the Solution to the Three Dimensional Incompressible Maxwell-Navier-StokesEquations with Fractional Dissipation

Li Weiwen1，Zhao Wenbo2，Sun Xiaoke2
（1.College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang321004，China；2.School of Electronic Information and Electrical Engineering，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu741001，China）