有关利用轴对称求最小值的动点问题

邓晓飞

（江苏省张家港市塘市初级中学）

有关利用轴对称求最小值的动点问题

邓晓飞

（江苏省张家港市塘市初级中学）

例1.如下图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米．

（1）牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何点处饮水，所走路程最短？

（2）最短路程是多少？

【考点】轴对称—最短路线问题．

【分析】（1）要求牧童行驶距离最短的饮水点P，除非AP、BP的和为两定点之间的距离，也即是P在两定点F、B的连线上．

（2）作BE⊥BD交CA的延长线于点E，求得AE=BD+AC=600+ 200=800 m，BE=CD=600 m，然后根据勾股定理求出FB的长．

【解答】解：（1）作点A关于L的对称点F，连接BF交CD于点P，则点P为所求，此时PA+PB=BF，BF就是最短路程．

（2）作BE⊥BD交CA的延长线于点E，如图所示，

由题意得AE=BD+AC=600+200=800m，BE=CD=600m

所以最短路程为1000米．

【点评】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，可以利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．

例2.如下图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为 （ ）

【考点】轴对称—最短路线问题．

【分析】过B点作AC的对称点E点，过E作EN垂直AB交AB于N点，EN就是所求的线段．从下图中可以看出EH、EG的长都比EN长。

【解答】解：过B点作AC的对称点E点，过E作EN垂直AB交AB于N点，AC=5

故选B．【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．

·编辑 孙玲娟