基于蠕滑理论的精密滚珠丝杠副摩擦力研究

陈勇将　汤文成　干为民　孟浩东

1.常州工学院,常州,213002　　2.东南大学,南京,211189



基于蠕滑理论的精密滚珠丝杠副摩擦力研究

陈勇将1汤文成2干为民1孟浩东1

1.常州工学院,常州,2130022.东南大学,南京,211189

摘要：考虑不同相位角处滚珠所受离心力及摩擦力的影响，建立了双螺母预紧式滚珠丝杠副多自由度动力学模型，该模型不再基于所有滚珠受力相等和运动相同的假设，使用蠕滑力模型来表征滚珠与滚道接触界面间的摩擦力；利用经验模态分解(EMD)包络分析方法进行了滚珠丝杠副振动信号撞击频率的提取，与理论计算结果进行对比，对动力学模型进行了验证；分析了丝杠转速、轴向载荷、滚道曲率比和导程对滚珠丝杠副摩擦力的影响规律。

关键词：滚珠丝杠副;动态特性;摩擦力;经验模态分解

0引言

滚珠丝杠副因具有低耗能、高精度与高承载等特点，已成为应用最广泛的定位和传动的滚动功能部件之一[1-2]。对于精密高速滚珠丝杠副，高速运行下国产滚珠丝杠副的精度保持性差、噪声大和使用寿命低等问题一直未被有效解决，成为制约国产中高档数控机床发展的瓶颈。究其原因，与高速下滚珠丝杠副动力学特性的理论分析与实验研究的缺乏不无关系，目前仍缺少能从本质上揭示滚珠与滚道接触界面间滚滑接触特性且便于建立滚珠丝杠副动力学方程的摩擦力模型。

Wei等[3-4]使用库仑摩擦力模型表征了滚珠丝杠副中滚珠与滚道间的摩擦力。库仑模型虽然可以定量地描述滚珠与滚道间摩擦力的大小,但不能考虑滚珠与滚道之间的切向弹性变形对滚珠丝杠副动态特性的影响。对于固体润滑或处于贫油润滑工况的滚珠丝杠副，上述切向弹性变形往往会对滚珠丝杠副的动态特性产生显著影响。文献[5-6]基于经验公式建立的滚珠与滚道间的摩擦力公式也存在同样的问题。滚珠丝杠副中滚珠与滚道接触面间具有滚滑接触特性。Kalker[7-8]的线性模型和简化理论模型广泛用于具有滚滑接触特性两弹性体间的滚动接触分析。本文建立的滚珠丝杠副动力学模型中，滚珠与滚道接触面间的摩擦力基于Kalker简化理论建立的蠕滑力模型来表征。

1双螺母预紧式滚珠丝杠副动力学建模

受预紧载荷的作用,在双螺母预紧力式滚珠丝杠副中滚珠与滚道间存在两种接触状态,如图1所示。利用滚珠与丝杠滚道间接触点在法平面(y′z′平面)内所处象限，将滚珠与丝杠滚道间接触状态分为“上接触”和“下接触”：当滚珠与丝杠滚道间接触点处于法平面第一象限时，以z′轴正方向为参照，滚珠与丝杠滚道上侧接触，可简称上接触，具体如图2所示;当滚珠与丝杠滚道间接触点处于法平面第四象限时,以z′轴正方向为参照,滚珠与丝杠滚道下侧接触,可简称下接触,具体如图3所示。图1～图3中oxyz为绝对坐标系,o′x′y′z′为移动坐标系,o″Sy″z″Θ″为局部坐标系,o‴ix‴iy‴iz‴i为接触坐标系[9]。

1.1滚珠与滚道间法向接触力

当滚珠丝杠副中第j个滚珠与滚道接触时,可以看作两个自由曲面弹性体在法向接触载荷作用下的点接触问题，满足赫兹接触理论[10],法向接触载荷为

(1)

式中,δj为第j个滚珠与滚道间的法向接触变形;λj为滚珠与滚道间的法向接触变形判断因子,当δj≤0时λj为0,当δj>0时λj为1;kcoe为滚珠与滚道间的接触载荷变形系数。

1.2滚珠与滚道接触间摩擦力

具有滚滑接触特性的滚珠丝杠副中滚珠与滚道接触面间的滑动行为,不仅与滚珠和滚道间的刚性运动有关,而且与滚珠和滚道材料的力学特性和摩擦学特性有关。定义ξx‴、ξy‴、ξz‴分别为沿接触坐标系x‴、y‴轴的切向蠕滑率(即横向、纵向蠕滑率)和沿z‴轴的自旋率，为了保持与滚动接触理论中相对速度定义的一致性，规定滚动体与滚道之间的相对速度为滚动体相对于滚道的速度，令在接触坐标系3个方向的蠕滑率分别为[8]

(2)

式中,vy‴、vx‴分别为位于滚道接触点处的纵向和横向线速度;vby‴、vbx‴分别为位于滚珠接触点处的纵向和横向线速度;ωbz‴为位于滚珠接触点处的角速度;ωz‴为位于滚道接触点处的角速度;vi为滚珠与滚道间的滚动速度。

已知滚珠与滚道接触面间的蠕滑率和自旋率,可依据Kalker线性蠕滑理论,求得第j个滚珠与滚道接触面间横向摩擦力Fx‴ij和纵向摩擦力Fy‴ij的表达式：

(3)

ε=Frij/Fij

式中,f1ij、f2ij、f3ij分别为蠕滑系数;ε为修正系数；Frij为修正后摩擦力的表达式;Fij为摩擦力分力的合力;fcoe为滚珠与滚道接触面间的摩擦因数。

根据Kalker的简化理论,可在式(3)的基础上发展出计算速度更快且更适用于滚珠丝杠副动力学仿真的蠕滑力模型,可称为简化蠕滑力模型。对稳态情况下滚珠与滚道接触面间的一般性滑动方程做量纲一化处理：

(4)

其中,px‴、py‴为接触应力;φx‴、φy‴为自旋率;nh为量纲一Heathcote滑动项,nh、nx‴、ny‴的表达式分别为

其中,a为接触椭圆的长轴,z0、L1、L2的表达式分别为

式中,b为接触椭圆的短轴;G为滚珠与滚道的合成剪切模量;C1、C2为Kalker系数,其值完全依赖于接触椭圆长短半轴之比。

1.3滚珠与丝杠滚道的力和力矩平衡方程组

根据“外圈滚道控制”理论,对于第j个滚珠,只有滚珠与螺母滚道及滚珠与丝杠滚道间接触角为未知量,故只需列出第j滚珠在移动坐标系y′轴和z′轴上的力平衡方程：

(5)

其中,Fcj为滚珠所受离心力,根据文献[3]的研究结果,稳态情况下滚珠所受离心力方向一直沿y′轴负向;αS为滚珠与丝杠滚道的接触角;αN为滚珠与螺母滚道的接触角;CαS、SαS、CαN、SαN分别为cosαS、sinαS、cosαN、sinαN的简化表达式;λLU为接触状态的判断系数,当滚珠与丝杠滚道上侧接触时λLU=-1,当滚珠与丝杠滚道下侧接触时λLU=1。

一旦得知丝杠滚道在绝对坐标系下各个方向位移值,即ux、uy、uz、φx、φy,便可得到所有滚珠相位角处滚珠与滚道间接触角的值，由接触角便可求出所有滚珠的法向接触力和摩擦力。为了获得ux、uy、uz、φx、φy的值,还需建立丝杠滚道力平衡方程式：

(6)

式中,Z为滚珠数；Fr、Fa、MY、MP分别为径向载荷(沿y轴的力)、轴向载荷(沿z轴的力)、摇摆力矩(绕x轴的力矩)和倾覆力矩(绕y轴的力矩);mS为丝杠质量；λd为轴向载荷施加方向的判断系数,当螺母受到沿z轴正方向轴向载荷作用时λd=1,螺母受到沿z轴负方向轴向载荷作用时λd=-1。

2实验验证

至此,由式(3)便可求解出滚珠丝杠副的摩擦力,其计算主要流程如图4所示。利用已建立的滚珠丝杠副动力学模型及摩擦力模型，编制相应的计算程序，研究工作条件和结构参数对双螺母预紧式滚珠丝杠副摩擦力的影响规律，分析不同滚珠相位角处接触角的分布情况随工作条件和结构参数改变而变化的规律，主要分析各个螺母内一圈上的滚珠(一圈滚珠数为19)随滚珠相位角(位置角)分布的情况。

利用建立的滚珠丝杠副动力学模型可计算出每个滚珠的公转角速度ωm,它是滚珠丝杠副重要性能参数之一。已知公转角速度，利用下式可计算出滚珠撞击返向器频率的理论值：

fb=Zωm/(2π)

(11)

根据滚珠丝杠副结构特点和已开展实验的研究结果，滚珠丝杠副激励源主要为滚珠周期性撞击返向器引起的振动和滚道及滚珠表面波纹度所引起的振动。滚珠周期性撞击返向器所引起的振动简称为滚珠撞击振动，相应的振动频率简称为滚珠撞击振动频率(fb)。滚珠撞击振动频率可以从滚珠丝杠副的振动信号中提取出来。比较滚珠撞击振动频率的理论计算值与实验测量值，可以在一定程度上对滚珠丝杠副动力学模型进行验证。

为了分析双螺母预紧式滚珠丝杠副动态特性，搭建了图5所示的滚珠丝杠副综合性能测量平台。该测试平台对滚珠丝杠副采用了一端止推一端简支的安装方式。实验中将使用采样频率高于200 kHz的动态数据采集卡(型号为NI PXI 4496),采集滚珠丝杠副的垂向(沿x轴方向)和轴向振动(沿z轴方向)信号，传感器的安装位置如图6所示,传感器为压电式加速度传感器(型号为PCB/356A32),其灵敏度和频率范围分别为100.4 mV/g和0～25 kHz。

测量对象滚珠丝杠副的型号为DKFZD4012，其具体参数见表1。由测量得到的振动时域图可知，虽然双螺母预紧式滚珠丝杠副的时域图上显现出较为明显的周期性撞击特性，研究结果也表明[11],其相应的频谱为滚珠撞击频率及其分频或倍频，但其相应的频谱图中并不能直接观察到滚珠撞击振动的频率(图7)。这是因为双螺母预紧式滚珠丝杠副的振动信号往往具有调制信号特性，被调制的频率即滚珠撞击频率常常会被抑制，因此，直接对双螺母预紧式滚珠丝杠副振动的时域信号采用傅里叶变换是很难提取到其准确振动频率的。

针对双螺母预紧式滚珠丝杠副振动信号的调制特性,首先利用经验分解(EMD)的方法将双螺母预紧式滚珠丝杠副的振动信号分解为有限的本征模态函数(IMF)之和,分解出的每一个IMF都是高频振动信号与低频振动信号的组合，然后用包络分析方法对其频率进行分析。以转速为1000r/min时为例，图8a和图9a所示为利用EMD分解出的第一个IMF分量的包络图,图8b和图9b所示为对相应的包络图进行频谱分析后的结果，在垂向和轴向的功率谱图中都可明显观察到此转速下的滚珠撞击频率，同时还可以观察到滚珠撞击频率的分频与倍频。图10所示为滚珠撞击频率的理论计算值与实验测量值的比较结果。由比较结果可知，理论计算值与实验测量值基本吻合，随着转速的提高,理论计算值与实验测量值间的差距越来越小。

3分析与讨论

3.1滑动速度和摩擦力的分布特性

图11～图16所示为滚珠与滚道接触面上各点的滑动速度和摩擦力的分布情况。此处只给出最常见的情况，即ξx‴、ξy‴、ξz‴均不为零，k=1，对应不同的纵向蠕滑率ξy‴时,接触面上的滑动速度和摩擦力的分布情况。由图11～图16可知,随着滚动方向的ξy‴逐渐增大，滑移区由接触面后沿而逐渐向前沿扩展，相应的摩擦力方向与相对滑动速度矢量的方向相反，而其分布却与滑动速度的滑动区和黏着区的分布一致。采用盘块式摩擦磨损试验机，从材料学的角度研究滚珠丝杠副的摩擦磨损特性，磨损试验中出现的随摩擦里程增加摩擦因数先减小后增加的结果，这可以从表面粗糙度对摩擦的影响来考虑。图17反映了磨损表面粗糙度的变化趋势，动摩擦因数随表面粗糙度的减小先是下降，达到最小值后上升。

3.2滚珠与滚道间摩擦力影响因素分析

图18～图23为不同滚珠相位角处滚珠与螺母滚道接触面上及滚珠与丝杠滚道接触面上摩擦力随工作条件改变而变化的情况。通过基于Kalker简化模型建立的滚珠丝杠副蠕滑力模型来表征滚珠与滚道接触面上的摩擦力。该方法求解的滚珠与滚道接触面上摩擦力主要取决于此接触面上的法向接触力、蠕滑率及自旋率，但蠕滑率和自旋率对摩擦力大小的影响远小于法向接触力对摩擦力大小的影响，它们主要是影响了滑动行为。由图18～图21可知，在直筒螺母内，无论是滚珠与滚道接触面上横向摩擦力还是纵向摩擦力，它们都随轴向载荷增大而变大；在法兰螺母内，无论是滚珠与滚道接触面上横向摩擦力还是纵向摩擦力，它们都随轴向载荷增大而先减小后变大。两个螺母内滚珠与螺母滚道接触面上摩擦力的方向以及滚珠与丝杠滚道接触面上摩擦力的方向都相反，此运动行为主要由纵向蠕滑率所决定，方向相反的摩擦力形成了使滚珠沿螺旋轨迹滚动的力矩。离心力的作用使得滚珠与螺母滚道间法向接触力随转速提高而增大，从而导致滚珠与螺母滚道接触面上纵向摩擦力随转速提高而增大；滚珠与丝杠滚道间法向接触力随转速提高而减小，从而导致滚珠与丝杠滚道接触面上横向摩擦力和纵向摩擦力随转速提高而减小。随着转速的变化，滚珠与螺母滚道接触面上纵向蠕滑率和滚珠与丝杠滚道接触面上纵向蠕滑率对称分布的特征，同样反映在两个接触面上摩擦力的分布上，如图22、图23所示。

在滚珠丝杠副动力学模型中分别使用建立的滚珠丝杠副蠕滑力模型和库仑力摩擦力模型来表征滚珠与滚道接触面上的摩擦力，对比分析使用两种模型计算出的摩擦力随工作条件改变而变化的情况，如图24～图27所示，使用库仑摩擦力模型所计算出的摩擦力始终大于使用滚珠丝杠副蠕滑力模型所计算出的摩擦力，因为库仑摩擦力模型的使用意味着滚珠与滚道间要么彼此黏着，要么相对滑动。实际上滚珠和滚道都具有弹性特性，而两弹性体间接触面上必然存在很微小的弹性滑动，故滚珠丝杠副中滚珠与滚道接触面间同时存在着黏着和滑动这两个区域。在滚珠丝杠副蠕滑力模型中，黏着区域即意味着摩擦力为零，故使用库仑摩擦力模型计算出来的滚珠与滚道接触面上摩擦力的值较大。

图28～图31所示分别为轴向载荷施加方向为z轴正向时不同滚珠相位角处的滚珠与螺母滚道接触面上及滚珠与丝杠滚道接触面上摩擦力随结构参数改变而变化的情况。滚珠与丝杠滚道接触面上横向摩擦力随导程增大而变大，而纵向摩擦力随导程改变而存在两种变化趋势。滚珠与滚道接触面上纵向摩擦力随滚珠相位角的分布存在三个拐点：位于滚珠相位角0～60°的纵向摩擦力，它们随导程增加而减小；位于滚珠相位角60°～175°的纵向摩擦力，它们随导程增加而变大；位于滚珠相位角175°～330°的纵向摩擦力，它们随导程增加而减小；位于滚珠相位角330°～360°之间的纵向摩擦力，它们随导程增加而变大。所有滚珠相位角处蠕滑率和自旋率随滚道曲率比改变而变化的趋势是一致的，具体如下：滚珠与螺母滚道接触面上纵向蠕滑率及滚珠与丝杠滚道接触面上横纵向蠕滑率和自旋率都随导程增大而变大。

4结论

(1)即便滚珠丝杠副只受到轴向载荷的作用，不同相位角处滚珠所受载荷相等及运动行为相同的假设也不能成立。

(2)随着滚动方向的ξy‴逐渐增大，滑移区由接触面后沿而逐渐向前沿扩展，相应的摩擦力方向与相对滑动速度矢量的方向相反，而其分布却与滑动速度的滑动区和黏着区的分布一致。

(3)滚珠与滚道接触面上摩擦力主要取决于此接触面上的法向接触力、蠕滑率及自旋率，但蠕滑率和自旋率对于摩擦力大小的影响远小于法向接触力，它们主要是影响了滑动行为。

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(编辑陈勇)

Study on Friction of Precision Ball Screws Based on Creep Force Models

Chen Yongjiang1Tang Wencheng2Gan Weimin1Meng Haodong1

1.Changzhou Institute of Technology,Changzhou,Jiangsu,2130022.Southeast University,Nanjing,211189

Key words:ball screw;dynamic characteristics；friction force；empirical mode decomposition(EMD)

Abstract:After establishing a proper friction force model to define the slip component between the ball and raceways,instead of assuming that all balls in the ball screw were equally loaded and run at the same speed,a multi degree of freedom dynamic model of the double nut preload ball screw was developed.The impact frequency of balls on the cover of the returning tube was obtained by using with the EMD and envelope method.Through theoretically calculated values with the experimental measured values of ball impact frequency the correctness of the established dynamics model was verified.The effects of screw rotational speeds,axial loads,pitch and curvature ratio on the friction of ball screws were investigated.

收稿日期：2015-04-03

基金项目：国家科技重大专项(2013ZX04008-011)；江苏省高校自然科学研究面上项目(15KJB460001)

作者简介：陈勇将，男，1982年生。常州工学院机电工程学院讲师、博士。研究方向为滚动功能部件的振动与噪声、摩擦与磨损。发表论文6篇。汤文成，男，1958年生。东南大学机械工程学院教授、博士。干为民，,1960年生。常州工学院机电工程学院教授、博士。孟浩东，男，1979年生。常州工学院机电工程学院讲师、博士。

中图分类号:TH132.1

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.02.007