对一道直线方程试题的探究

安徽省宁国中学

陈晓明 (邮编：242399)



对一道直线方程试题的探究

安徽省宁国中学

陈晓明 (邮编：242399)

这是笔者所在学校(省级示范高中)一道高三数学联考试题，这是一道填空题，考场上此题一部分同学答案是3，而另一部分同学答案是4．于是在试卷讲评课上笔者带领学生对该题解法一探究竟，以求找到不同答案产生的原因，掌握此类问题解题策略．结果同学们争论不休，课堂上精彩纷呈，生成不断，带来好多意外收获！

为了保持课堂的原汁原味，还是先回到课堂．

1 课堂实录

首先在黑板上展示题目：

接下来教师让学生充分思考，动笔去解，老师在学生中巡视……

教师：谁来谈谈你的看法？

平时一直是心直口快的张同学首当其冲．

学生1(解法1：几何法)：我的答案是4．我是通过画图来获得答案的．我觉得作为填空题用代数法太耗时了，不划算．

图1

图2

令直线l的斜率为k(显然直线l的斜率存在)，

如图1，当k<0时，有两种可能．

如图2，当k>0时，有两种可能．

因此共有4种可能，即这样的直线有4条．

许多学生表示支持，说自己当时也是这么做的．

就在这时，数学课代表说话了．

学生2(解法2：代数法)：我用的是代数法，答案是3．

所以关于k的方程有两个不同的正实根．

由(1)，(2)可知，k只有3个值，因此满足题意的直线应该有3条．

教师：两位同学分别用几何法和代数法获得了答案，很好！数学家华罗庚告诉我们“数缺形时少直观，形少数时难入微”，这句话充分肯定了数形结合的完备性，可是，今天“数”和“形”要“打架”了！问题出在哪儿呢？答案到底是3条还是4条？

“一石激起千层浪”，班上像炸开了锅，同学们陷入一片迷茫！分不清“哪个是孙悟空，哪个是六耳猕猴”？大家议论纷纷，争论不休……

过了好一会儿，班长站起来主持“公道”了．

学生3：我觉得答案应该是3条．

当k>0时，应该有2条，这个没有争议．

教师：厉害！那如果我们把4改为其它正数，答案又怎样？

班上同学们马上投入积极思考、计算中……课堂一片安静！

这时，平时不太爱说话的刘同学也被课堂气氛感染了，他也举手了．

学生4：我想起了我们前不久做过的一道题．

图3

我们当时还用了两种方法解．

因此k<0时，因为本题中△AOB的面积的值为最小值4，故只有一条．k<0时，若△AOB的面积为小于4的正数时直线就没有，面积为大于4的正数时直线就有2条．

(对于该引例的进一步研究请参阅笔者发表在《上海中学数学》2015年第11期上的文章《关注新问题的生成，反思试卷讲评课的有效性》)

教师：你太聪明了！你真是不鸣则已，一鸣惊人！

内敛的刘同学高兴极了．

看到别人的成功，其余同学也都跃跃欲试．

班上有名的数学王子好像有了发现．

学生5：这题与课本上的一道题几乎完全相同，只是数字改变而已．

教师：纵观几十年的高考试题，信手可得到许多高考试题也来源于课本教材．教材中的例题习题具有典型性，示范性，同时也渗透着一些数学思想方法或提供某些结论．因此，以本为本，重视对教材中的例题习题的深入探究，是提高高考复习有效性的最佳捷径．另外，错解是宝，我们对错解仔细研究，就会拨开云雾见天日，洞察真相，认清本质．

学生心中的疑团解开了，个个露出满意的笑容，眼前豁然开朗起来！

就在我准备鸣锣收兵时，平时一向喜欢动脑的小朱同学举手了．

学生6：当k>0时一定有2条吗？

教师：提出问题比解决问题更重要．那大家看看，谁能从理论上证明这个结论吗？

很快有人举手了．

所以关于k的方程有两个不同的正实根．所以此时直线有2条．

教师：很好，又是一个数形结合．同学们在课后去研究一下k<0时的理论证明．

大家还能提出什么问题？

学生8：k<0时△AOB的面积的最小值应该与M点位置有关，有什么关系呢？

教师：对呀．这个问题很好，△AOB的面积的最小值能用M点坐标表示吗？

在此结论留给读者探究，不再赘述．(同样可参阅前面提到的笔者的那篇论文)

教师：以后出现类似题目，当给出M点坐标，我们就可判断当k<0，时△AOB的面积的最小值，从而可根据给的面积的值推断直线有几条了．当然也可用前面的代数法．不能就通过画简图而轻易下结论，否则容易出错．

就在我话刚讲完，学习委员迫不及待地举手了．

学生9：老师，您说的有些不对．上述结论只有当M点位于第I，III象限时成立，此时只有当k<0时，△AOB的面积能取最小值．如果当M点位于第II，IV象限时，只有k>0时，△AOB的面积能取最小值．

教师：高手！你比老师我还强！真是“青出于蓝胜于蓝”，我还真没想到．(此时课堂响起了掌声！)

接下来又有同学提出了一些问题，大家一同进行了研究．

教师：大家由此题的研究得到什么启示？

学生七嘴八舌，概括起来主要是下面几点：

①所研究问题与以前的哪些问题相类似，解决此类问题的基本思路是什么？

②解题的关键在哪里？是如何化归的？

③本题是否有别的解法？有无更好的解法？

④哪一种方法最基本、最典型？哪一种最简便？哪一种最巧妙?

⑤解题结果是否正确、圆满？有无增、漏、错等情况？

⑥命题的逆命题是否成立？此命题能否进行变式、引申和拓展？

⑦解题中运用了哪些数学思想方法？以前是否运用过这些数学思想方法？有何联系与区别？是否具有规律性？

此时下课铃声响起！

我看到了学生脸上的表情：惊叹之余，有些不舍和遗憾！

2 教学思考

“灯不挑不明，理不辩不清”，我们教师要充分利用学生的错误资源，给学生多一些思考，多一些争论．要充分相信学生，不能只按照自己事先想好的思路来教学，否则就会限制学生的思维，强扭学生的思维.题目刚出来就先进行提示或分析，那样做会扼杀学生的自主思维能力，剥夺学生的自由创造空间．在学生还没来得及思考的时候，老师硬是用自己固定的思路框定他们的头脑，使他们服从于已有的模式，这对他们思维能力的形成是个不小的打击．

离开了学生的“自主活动”、“智力参与”、“个人体验”就没有真正的学习了．把课堂还给学生，引发学生积极思维，让每位学生在数学思维的世界里自由地翱翔，向习题课教学要效益，通过问题解决，促进学生对数学知识的理解，让每位学生主动、积极地参与教学．当然，要做到这点，首先教师对习题的本身要有深入的研究；其次，对学生的课堂参与要给予足够的激励和引导．把课堂还给学生，注意倾听他们的声音，点燃他们思维之火．

到这里，我想起叶澜教授曾说：“课堂是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的因素，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情行程．”

3 结束语

陶哲轩在《解题·成长 ·快乐》序言中引用古希腊哲学家普罗克洛斯的话：“这，就是数学：她提醒你灵魂有不可见的形态；她赋予自己的发现以生命；她唤醒悟性,澄清思维；她照亮了我们内心的思想；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知……” .笔者以此与各位同仁共勉！在数学中让我们永远带着探寻的目光审视眼前的一切，一定会有惊喜出现！

1 刘飞．2014年高考数学安徽卷理科第16题的探究[J]．中学数学教学，2014(4)：43

2 陈晓明．我教书，我写作，我快乐[J]．数学通讯，2016(5)：39

3 张晓东．说题与数学青年教师的专业成长[J]．中学数学教学参考，2015(3)：67

2016-10-09)