整体把握 精巧设问 教授方法 培养能力——“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”的教学设计与反思

安徽省寿县第一中学

王康帅 (邮编：232200)



整体把握 精巧设问 教授方法 培养能力
——“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”的教学设计与反思

安徽省寿县第一中学

王康帅 (邮编：232200)

三角函数是初等数学中基本初等函数之一，是描述周期现象的重要数学模型.本节课的教学内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书数学《必修4》第一章第五节“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”(第1课时).笔者就课堂教学实际撰写了本节课的教学设计与反思，供各位同仁参考.

1 教学分析

1.1 地位与作用

本节课是在学习了正、余弦函数的图象和性质的基础上，进一步研究生活生产实际中常见的函数类型：函数y=Asin(ωx+φ)的图象，它是上一节的延伸和拓展，在物理的振动及电学中有着广泛的应用.本节以图象为依托来探究参数A、ω、φ的变化对函数y=Asin(ωx+φ)图象形状和位置的影响.通过本节的学习，不仅进一步掌握用“五点法”作三角函数简图的方法，还加深了对正、余弦函数性质的理解和应用，起着承上启下的作用.

1．2 学情分析

学生对高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有了初步的了解，并且逐渐适应高中的学习方式和教师的教学方式，小组探究学习，独立思考能力和求知欲都很强.学生在《必修1》中接触过函数图象的平移变换，对“左加右减”，“上加下减”有了一些粗略的浅显的认识，但对于本节内容要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，且方法不唯一，理解掌握起来难度较大.

1．3 教学目标

(1)知识与技能：能借助“几何画板”，通过探究、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

(2)过程与方法：经历由y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象变换探究的过程，培养学生的观察能力、探索能力和归纳概括能力，渗透数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃.

(3)情感、态度与价值观：通过对问题的自主探究，培养独立思考能力；通过合作学习，培养学生团结协作的精神.

1．4 教学重点和难点

(1)重点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与三种变换；学会如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.

(2)难点：在观察图象变换中发现规律，并能用自己的语言来表达；参数ω对图象的影响.

1．5 教学方法与教学手段

(1)教学方法：问题教学法、合作教学法.

(2)教学手段：运用几何画板、多媒体辅助教学.

2 教学流程图

↓

↓

↓

3 教学过程

3．1 创设情景，提出问题

1．教师利用Flash演示弹簧振子作简谐振动形成位移y随时间x变化图象的过程(如图1)，学生观看演示并思考.

图1

2．教师展示图2：图(1)是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象，图(2)是放大后的图象.

图2

设计意图 通过动画演示和图片展示引出刻画它们的数学模型——函数y=Asin(ωx+φ)，体会该函数与生活实际的紧密联系，激发学生研究的兴趣.

问题1 面对新的函数，我们将研究它什么？怎么研究？

设计意图 引导学生思考研究函数的一般过程：通过图象研究性质，从而明确本节课的探究任务与方向.

教师：函数y=Asin(ωx+φ)的图象到底是什么样子呢？这就是我们本节课将要探究的话题.(板书课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象)

问题2 观察它们的图象与正弦曲线有什么联系？

设计意图 引导学生思考函数y=Asin(ωx+φ)与函数y=sinx的一般与特殊的关系(相当于A=1,ω=1,φ=0时的情况)，进而引导学生探讨正弦曲线与函数y=Asin(ωx+φ)图象之间的关系.

问题3 你认为怎样讨论参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？

设计意图 引导学生思考研究问题的方法，将复杂问题分解为简单问题，采用“控制变量法”，先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响，然后再进行整合.

3．2 自主探究，构建数学

在教师的引导下，让学生做出自主选择，从比较熟悉的φ探究起.

(1)探究φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响

问题1 y=sin(x+φ)的图象与y=sinx的图象有怎样的关系？

设计意图 引导学生回顾《必修1》中通过观察函数图象得出图象平移变换的法则“左加右减”，从而让学生产生疑问，对于这新的函数仍然适用吗？

设计意图 让学生熟悉“五点作图法”，并能利用图象做出合理的猜想.

设计意图 教师用“几何画板”做动态演示(如图3)，引导学生观察变化过程中的变量和不变量，用“点的变换”去做理性推理，以此达到从多角度理解“平移变换”.

图3

问题3 在图3中，对φ任取不同的值(φ>0或φ<0)，作出的y=sin(x+φ)的图象，看与y=sinx的图象是否有类似的关系？请你概括一下如何从y=sinx的图象经过怎样的图象变换得到y=sin(x+φ)的图象？

设计意图 体现 “由特殊到一般”的探究过程，培养学生的抽象概括能力.老师让学生自主探究得到结论.只不过在叙述结论的时候，学生的语言可能不规范，易出现如“把图象进行平移”的描述，教师可指出准确的描述应为：把“图象上所有的点”进行平移.

师生共同小结：“平移变换”

y=sinx的图象

y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象.

(2)探索ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响

A、合作探究，归纳小结(考察第一种变换过程)

设计意图 让学生自主探究，通过作图，观察比较，做出合理的猜想.

设计意图 教师利用“几何画板”做动态演示(如图4)，引导学生观察变化过程中的变量和不变量，用“点的变换”去做理性推理，从而归纳出结论.

图4

设计意图 仍是培养学生的抽象概括能力，语言表述能力，从具体的函数具有的性质归纳出一般的结论.

师生共同小结：“周期变换”

B、 深入探究，讨论分析(考察第二种变换过程)

教师引导学生分别从“形”和“数”上进行探究：

图5

设计意图 这部分内容是本堂课的难点，突破的方法先是从直观的“形”上“粉碎”了学生错误的直觉，使学生“一惊”！渴望知道其中原因使他们积极探寻，当最终发现可以用已有的知识来解释时，又让他们“一喜”，这“形”中的直观和“数”中的严谨，让学生在“一惊一喜”中达到一悟皆通的效果.

学生总结第二种变换的规律：

设计意图 使学生由正弦曲线变换得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的不同方案有一个整体的认识，并在掌握图象变化实质的基础上，择优选择.

(3)探索A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.

设计意图 通过学生自主探究得出结论，教师再利用“几何画板”做动态演示(如图6)，加以验证，用“点的变换”去做理性推理，从而归纳出一般结论.

师生共同小结：“振幅变换”

3．3 归纳总结，提炼方法

问题9 通过上述问题的讨论与研究，如何由正弦曲线通过图象变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象？

图6

图象变换规律总结：

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象可由y=sinx的图象经过如下变换得到：

方法一 由平移变换→周期变换→振幅变换

y=sin(x+φ)的图象

方法二 由周期变换→平移变换→振幅变换

y=sinx的图象

设计意图 组织学生进行讨论，学生通过自己画图，教师“几何画板”演示，进一步认识由y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象方法，并体会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.

3．4 课堂练习

题目略.

设计意图 课堂检测是对本节课重点和难点知识的应用和巩固，通过学生的回答,可了解学生对于函数图象变换的“形”、“数”思维的形成过程是否得到落实.

3．5 应用举例

设计意图 用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象并从图象变换的角度认识函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)的关系.

3．6 反思总结，掌握规律

问题1 怎样由函数y=sinx的图象得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象？

问题2 本节讨研究问题的方法和策略是什么？

设计意图 引导学生对所学的知识、研究问题的方法和策略进行小结，并对学生的学习过程进行反思，为今后的学习进行有效调控打下坚实的基础.

3．7 布置作业

(1)必做作业：习题1.5 A组2、3

(2)选做作业：习题1.5B组1、2

设计意图 布置作业有梯度，避免一刀切，使学有余力的学生进一步训练逆向思维，使知识掌握更加深刻.

3．8 板书设计(略)

4 教学设计反思

4．1 整体把握，揭示本质

“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”是正弦函数、余弦函数的进一步发展、综合与提升，是三角函数应用的基础，对这节课的教学内容应从全章、模块，甚至整个高中数学课程的高度去认识、去理解.教学中，要多角度、全方位地认识函数y=Asin(ωx+φ)的图象，揭示函数y=Asin(ωx+φ)的本质；要“注重落实核心知识、体现研究的思想方法和策略、突出学生主动探究、落实“数学育人”的价值.[1]”构建属于自己的、所教学生的教材.

4．2 精巧设问，问题驱动

美国数学家哈尔莫斯指出：“问题是数学的心脏.”思维永远是从问题开始的.因此，本节课采用了“问题化”教学，“在教学过程中教师精心设计了一系列有效的问题，以问题为导向，促进学生主动思考和探究；通过自主学习和合作交流，促进学生对知识的理解，是一种有效的教学方法.[2]” “问题化”教学给学生“创造”了机会，让学生生成智慧；同时学生还会收获探究的乐趣、交流的快乐、成功的喜悦，极大地激发了学生的求知欲和学习兴趣.

4．3 教授方法，培养能力

观察、归纳是发现知识、获取知识的基本思维形式.本节课仍然采用研究函数的一般方法——数形结合，让学生体验画图、观察、猜想、验证的一般过程，引导学生从特殊的、个别的属性，通过观察、类比、猜想，归纳出具有普遍性的、一般的、整体的性质，让学生领会由简单到复杂、特殊到一般的化归数学思想.在教学过程中，让学生通过“控制变量法”“分而治之”对参数赋值，从具体函数的讨论开始，分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响，然后整合为对函数y=Asin(ωx+φ)的整体认识.通过本节内容的学习可以使学生将已有的知识形成体系，对于进一步探索、研究其他数学问题有很强的启发与示范作用.

1 渠东剑，再谈基于整体把握教材结构的教学——以函数y=Asin(ωx+φ)的图象为例[J].中学数学教学参考：上旬，2016(1-2)：10-13

2 李志敏，“问题化”数学教学中“问题”的设计[J]. 中学数学教学参考：上旬，2016(5)：18-20

2016-09-18)