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“无穷与悖论问题”的探究

2016-01-28孟伟

新课程·中旬 2015年12期
关键词:一段距离阿喀琉斯人能

孟伟

伟大的数学家希尔伯特说过:“无穷是一个永远的谜。”的确,没有谁能算出1+2+3+…+ (+∞)的答案,就算它的总和并非无穷大,它的无穷多个步骤也是难以完成的。

无穷有许多与日常直观经验相悖的地方。在数学上一直有一个问题:众所周知,乌龟跑得非常慢,而阿喀琉斯是希腊神话中的善跑者。用無穷的知识解释,只要乌龟先跑出一段距离,无论多么的短,阿喀琉斯是永远追不上的。因为如果阿喀琉斯想追上乌龟的话,就必须到达乌龟刚开始跑的位置,但当他跑到乌龟开始跑的位置时,乌龟又跑出了一段距离。乌龟虽然跑得慢,但它一直在跑。所以,阿喀琉斯一遍遍的面临着这样的问题。虽然阿喀琉斯跑得快,但他和乌龟之间总有一段距离要跑,他只能一步步地逼近乌龟,却不能赶超它。

显然,这与我们的实际情况相悖,但是没有人能指出他的问题所在。

用我们一般的认知来想一下,乌龟首先跑出三步,大约20 m。而阿喀琉斯跑出一步,大约70 cm。这时,阿喀琉斯已经超过了乌龟,并且会一直跑在乌龟前面。

这是我们一般的认知,虽然可以帮助理解,但是缺乏严谨的推断。这时我们可以转变一下思维,不以乌龟所在的那一点为研究点,而研究乌龟前方的一点C,只要阿喀琉斯可以和乌龟同时到达C点,那么C点之后,阿喀琉斯会一直跑在乌龟前面。

如图所示,我们不妨设阿喀琉斯和乌龟之间的距离为S1(S1>0),乌龟和C点的距离为S2(S2>0),阿喀琉斯的速度为v1,乌龟的速度为v2,且v1>v2。要想阿喀琉斯和乌龟同时到达C点,需满足=,也就是说,因为v1>v2,所以>1。要想>1的话,需满足S1+S2>S2,即S1>0。所以说,只要阿喀琉斯在乌龟后一段距离,总会有一个时间能和乌龟同时到达C点,而C点之后,阿喀琉斯会一直跑在乌龟前面。

编辑 谢尾合

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