“无穷与悖论问题”的探究

孟伟

伟大的数学家希尔伯特说过：“无穷是一个永远的谜。”的确，没有谁能算出1+2+3+…+ （+∞）的答案，就算它的总和并非无穷大，它的无穷多个步骤也是难以完成的。

无穷有许多与日常直观经验相悖的地方。在数学上一直有一个问题：众所周知，乌龟跑得非常慢，而阿喀琉斯是希腊神话中的善跑者。用無穷的知识解释，只要乌龟先跑出一段距离，无论多么的短，阿喀琉斯是永远追不上的。因为如果阿喀琉斯想追上乌龟的话，就必须到达乌龟刚开始跑的位置，但当他跑到乌龟开始跑的位置时，乌龟又跑出了一段距离。乌龟虽然跑得慢，但它一直在跑。所以，阿喀琉斯一遍遍的面临着这样的问题。虽然阿喀琉斯跑得快，但他和乌龟之间总有一段距离要跑，他只能一步步地逼近乌龟，却不能赶超它。

显然，这与我们的实际情况相悖，但是没有人能指出他的问题所在。

用我们一般的认知来想一下，乌龟首先跑出三步，大约20 m。而阿喀琉斯跑出一步，大约70 cm。这时，阿喀琉斯已经超过了乌龟，并且会一直跑在乌龟前面。

这是我们一般的认知，虽然可以帮助理解，但是缺乏严谨的推断。这时我们可以转变一下思维，不以乌龟所在的那一点为研究点，而研究乌龟前方的一点C，只要阿喀琉斯可以和乌龟同时到达C点，那么C点之后，阿喀琉斯会一直跑在乌龟前面。

如图所示，我们不妨设阿喀琉斯和乌龟之间的距离为S1（S1>0），乌龟和C点的距离为S2（S2>0），阿喀琉斯的速度为v1，乌龟的速度为v2，且v1>v2。要想阿喀琉斯和乌龟同时到达C点，需满足=，也就是说，因为v1>v2，所以>1。要想>1的话，需满足S1+S2>S2，即S1>0。所以说，只要阿喀琉斯在乌龟后一段距离，总会有一个时间能和乌龟同时到达C点，而C点之后，阿喀琉斯会一直跑在乌龟前面。

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