利用Kloosterman和刻画一类超Bent函数

2016-01-22唐春明亓延峰徐茂智

杭州电子科技大学学报(自然科学版) 2015年1期

唐春明，亓延峰，徐茂智

(1.西华师范大学数学与信息学院，四川南充 637002；2.杭州电子科技大学理学院，浙江杭州 310018;3.北京大学数学科学学院，北京 100871)

摘要：超Bent函数是一类具有特殊性质的Bent函数，在编码、通信和密码学中都有着重要的应用。该文研究一类Dillon型布尔函数，使用指数和给出了此类函数的超Bent性刻画，并建立此类函数的超Bent性与Kloosterman和，三次和之间的联系。在一些特殊情形下，具体考虑此类函数的超Bent性的刻画，使用Kloosterman和以及三次和的一些特殊值来刻画这些函数的超Bent性，并给出了一些具体超Bent函数的例子，方便地给出许多超Bent函数，从而丰富和发展了超Bent函数理论。

关键词：Bent函数；超Bent函数；Dillon型函数；Walsh-Hadamard变换；Kloosterman和

DOI: 10.13954/j.cnki.hdu.2015.01.014

利用Kloosterman和刻画一类超Bent函数

唐春明1，亓延峰2，徐茂智3

(1.西华师范大学数学与信息学院，四川南充 637002；2.杭州电子科技大学理学院，浙江杭州 310018;3.北京大学数学科学学院，北京 100871)

关键词：Bent函数；超Bent函数；Dillon型函数；Walsh-Hadamard变换；Kloosterman和

DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.01.014

收稿日期：2014-06-06

基金项目：国家自然科学基金资助项目(10990011,11401480,61272499)

作者简介：唐春明(1982-)，男，四川南充人，讲师，密码学与信息安全.

中图分类号：TN918.1

文献标识码：：A

文章编号：：1001-9146(2015)01-0067-08

Abstract:Hyper-Bent functions as a subclass of Bent functions can be applied to coding theory， communication and cryptography. This paper considers a class of Boolean functions with Dillon exponents， characterizes these functions with exponential sums， and presents the link of hyper-Bentness of these hyper-Bent functions with Kloosterman sums and cubic sums. For some special cases， we present the concrete characterization of these hyper-Bent functions with special values of Kloosterman sums and cubic sums， and give some concrete examples of hyper-Bent functions. From our method， many hyper-Bent functions can be given. That enriches the theory of hyper-Bent functions.

0引言

本文第一节给出了一些基本记号，并回顾了bent函数，超bent函数，以及指数和的相关定义和结论。第二节研究一类布尔函数的超bent性，并利用Kloosterman和来刻画此类函数的超Bent性，具体地使用Kloosterman和的特殊值给出了一些此类超bent函数。最后，第三节是全文的一个总结。

1预备知识

1.1　超bent函数

若f是一个Bent函数，那么n必然是一个偶数，而且其代数次数deg(f)≤n/2。超Bent函数是Bent函数中的一个重要的子类，其定义如下。

定义2一个Bent函数称为超Bent函数，若它对满足(i，2n-1)=1的任意i，有f(xi)也是一个Bent函数。

1.2　指数和

下面介绍一些特殊的指数和的定义和结论。

命题1设a∈F2m，则Km(a)∈[-2(m+2)/2+1，2(m+2)/2+1]，而且Km(a)≡0mod 4。

Kloosterman和的如下除法性质也将经常被用到[31]。

命题3设m是一个奇整数，则：

1)Cm(1，1)=(-1)(m2-1)/82(m+1)/2；

1)Km(a)≡1mod 3；

2)Cm(a，a)=0；

证明由命题2知，结论(1)与(3)等价。

为了记号简单起见，记Cm(a):=Cm(a，a)。将要使用到如下的指数和：

(1)

式中，U3={u3:u∈U}。Mesnager给出了这个指数和与Kloosterman和，三次和之间的关系[16-17]。

(2)

2超Bent函数和Kloosterman和

考虑如下Dillon型布尔函数：

(3)

证明使用文献[15，19]中的证明方法考虑f(x)的Walsh-Hadamard谱值，可以得到本引理的结论。

定理1设f(x)如式(3)定义，则：

综上，定理得证。

3结束语

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A Class of Hyper-Bent Functions Characterized by Kloosterman Sums

Tang Chunming1， Qi Yanfeng2， Xu Maozhi3

(1.SchoolofMathematicsandInformation，ChinaWestNormalUniversity，NanchongSichuan637002，China;

2.SchoolofScience，HangzhouDianziUniversity，HangzhouZhejiang310018，China;

3.LMAM，SchoolofMathematicalSciences，PekingUniversity，Beijing100871，China)

Key words: Bent functions; hyper-Bent functions; functions with Dillon exponent; Walsh-Hadmard transform; Kloosterman sums