基于教学实践的初中函数图象教学思考

陈燕

[摘 要] 初中数学教学中，函数图象教学是一个重点和难点. 传统的教学中，函数图象的认识往往集中在描点法作图，并利用图象解决数学问题上，这种知识应用导向的教学架构不利于学生形成持续有效的能力；思维导向的教学可以让学生在图象学习的过程中认识到图象的意义；反比例函数的教学中，学生可以认识到图象上以及图象之外的点共同存在的意义. 思维导向可以改善当前的数学教学架构，可以提高学生的解题能力，更可以提高学生的数学素养.

[关键词] 初中数学；图象；思维导向；教学实践；反比例函数

初中数学教学中，文字、公式、图象等，成为表示数学内容的主要形式，从教学内容的角度来看，这些都是教学对象，也是学生需要理解或掌握的技能，比如在函数知识的教学中，让学生用文字去表述函数的特征，用公式去对函数的相关问题进行解决，用图象对函数特征进行另一角度的描述，都是数学教学的常规内容. 就函数（下文一般指正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数）图象而言，如果仅以教学内容的视角对待，似乎有着诸多的不足，比如说利用图象去描述正比例函数的特征，就只是通过描点法在直角坐标系上作出一根直线而已，而从思维的角度去审视图象的教学，就会发现学生在构建图象或者说利用图象来表述知识的过程中，存在着更多需要关注的细节. 本文试以笔者的教学实践为基础，谈谈从学生思维的角度进行函数图象教学的一些感受.

思维角度下函数图象构建的过

程分析

函数图象在用来表述数学内容之前，首先有一个函数图象的产生过程，之所以称之为过程，是因为笔者想从函数图象构建的角度来理解其教学，也就是说不只是将函数图象当成教学的对象，而且要将函数图象当成学生用来表述数学知识的一种工具.

以反比例函数的图象教学为例，在知道了反比例函数的解析式为y=（k为常数且不为0）之后，提出的问题一般是：能否仿照正比例函数去作出反比例函数的图象呢？这一问题从数学知识的逻辑性上来看，没有任何的问题. 因为在正比例函数的教学中，可能就是遵循这样的顺序的；但在笔者看来，这样的提问实际上仍然在无意当中将反比例函数的图象仅仅当成了教学内容，于是让学生用描点法作出图象可能就成为一个纯粹的技术活儿——这一判断的背后意味着学生的学习过程可能是一种机器人式的学习，即由教师或教科书输入作出函数图象指令（作图步骤），然后学生按步骤作出函数的图象.

这样的学习过程从结果上来看没有任何的问题，甚至还有可能获得高效教学的评价，因为学生可以在很短的时间内获得作出反比例函数的技能，效率无疑是高的. 但从学生思维发展的角度来看，则又存在问题：这种机器人式的学习过程中，学生纯粹是获得一种作图的技能，而不是用图象去表述反比例函数特点的理解. 因此，学生所作出的图象很可能孤立在学生所建构出的反比例函数的知识之外.

相反，如果从思维发展的角度来引导学生作图，则过程应当是这样理解的：学生在掌握了正比例函数作图的基础上（关于正比例函数的图象，可以采用传统的作图教学思路，也可以采用思维导向的作图思路，这个要视学生的学情而定），让学生去反思正比例函数图象的作用，教师的目的在于引导学生认识到，图象是表述正比例函数特征的一种方式，图象上y值随x值的变化规律相比于表格而言，更直观，更形象，因此是一种很好的表述手段；而到了反比例函数图象的教学中，教师提出的问题可以是：如果要更为直观地表述反比例函数中y值随x的变化而变化的规律，那我们可以采用什么样的方法？学生对于这个问题的回答，直接反映出学生原有的对正比例函数图象的认知；而在学生反映出可以用图象来表述时，教师则可以进一步引出作图的话题，从而也就打开了思维导向下反比例函数图象教学的大门.

基于思维的函数图象构建的教

学实践

基于学生的思维发展规律去实施反比例函数的教学，笔者称之为思维导向. 思维导向下反比例函数图象的教学一般需要经过这样的几个过程：

第一步，引导学生思考图象是如何生成的. 从技术的角度来看，函数是通过描点法生成的，这个时候显然需要学生借助于反比例函数的解析式，通过具体的数值代入，以在坐标系上得到一些具有典型意义的点，然后用平滑的曲线将这些点连出来，就形成了反比例函数的图象. 这样的一个借助于正比例函数教学中形成的技能在这个地方一般不会存在多大的困难. 而思维导向的教学更要求学生思考：这一图象形成的过程意味着什么？笔者以为需要引导学生认识到的是：图象并不是由这几个特殊点决定的，反比例函数的图象严格意义上是直角坐标系上所有符合反比例函数规律的点的集合，但是因为寻找所有的符合规律的点在实践中是不可能的，因此只能选择有代表性的来代替，以平滑曲线来完善——平滑曲线的意义理解不在于平滑，而在于引导学生认识到平滑背后是图象与反比例规律的吻合.

第二步，引导学生认识图象是如何描述反比例函数的特征的. 反比例函数图象与反比例函数的规律具有一致意义，这种意义的认识是图象教学中必须高度重视的内容. 静态的“列表—描点—连线”的方法其实能够表述函数的部分特征，即列表、描点的过程中，学生在运用反比例函数解析式进行定点的时候，会发现点与解析式之间的一致性，而在连线的时候，学生关注的往往是所确定的点，而对自己所描的线缺少认识，这也是思维导向的函数图象教学所要关注的内容. 笔者的观点是：引导学生在连线的过程中强化一种认识，即自己所连之线，实际上是无数个符合反比例函数规律的点的集合. 事实证明，初中学生的理解能力足以化解这一难题，他们缺少的恰恰是这种认识！

第三步，引导学生发散性思考图象在函数中的作用. 图象在函数中的作用是什么？很少有学生甚至是教师关心这个问题，只将其当成一个学习内容. 笔者以为需要在教学中加强这方面的教学. 图象意义其实非常多，笔者在引导学生发散思维的时候，一个重要的出发点就是让学生思考函数图象以外的点的含义，简单如为什么别的点不在反比例函数的图象上？复杂如为什么图象不经过原点？函数图象为什么只共存于第一、三或第二、四象限？这些问题不是简单的回答因为不在所以不在就能解决的，是需要思考坐标系上所有的点中存在着反比例关系的，是需要结合反比例函数的特征去回答的.endprint

实践证明，经过这样三步的教学，学生在理解反比例函数图象的时候，就有了更多深入的理解，他们在作图或者利用图象去解决问题的时候，往往也能够思考到更多方面的内容. 需要强调的是，本课图象的教学需要结合正比例函数图象的教学，需要弥补正比例函数图象教学中可能存在的不足，或当时无法深入学习的地方，还需要向前思考一次函数、二次函数图象教学中可能存在的共同点，以为后面的图象教学奠定基础.

从思维角度反思函数图象的教

学架构

以上的教学过程与以往的教学有所不同，笔者不再局限于图象的作法教学，而是将教学的重心放在学生的思维上，通过对学生思维的把握，去判断学生学习图象具有哪些特征，或者说有哪些规律，还需要去判断学生在图象教学中可能存在的问题，以便在后续的教学中即时解决.

笔者以为这是一个教学架构的问题，即用什么样的教学思路去设计课堂的架构的问题. 从学生构建数学知识的角度来看，图象相比较于文字和公式而言，是一种较为形象的手段，其是适合初中学生的学习规律的，但在学生具体构建数学知识的过程中，图象却又会成为学生学习的一个难点. 原因就在于传统的数学教学架构不适合学生思维发展的需要，学生在传统的图象教学中只能收获对图象的浅显认识与机械的作图步骤，很难认识到图象在描述数学规律上的生动的作用. 而基于学生的思维去设计课堂架构，学生则可以在符合自身思维发展规律的前提下，逐步科学地认识到图象原来能够这么巧妙地描述一个数学规律，而图象上的点与图象之外的点原来也存在着很多的意义.

此外，思维导向的图象教学架构，从实际应试所需要的问题解决角度来看，也有着十分的必要性. 现在的中考试题非常灵活，以图象为素材的函数难题又很多，这个时候只有学生生成真正的图象问题解决的能力，才能有效地应对这些难题. 显然，思维导向的图象教学的课堂架构，可以让学生在图象理解方面生成强大的能力，而这个能力在遇到新颖的中考图象题时，往往可以发挥作用，比如上面强调的发散思维，就可以引导学生在面对中考题时进行发散性地思考，从而寻找到有效的解题思路，而传统的知识导向只能得到讲过的才会的结果.

综上所述，初中数学教学中遇到图象问题时，需要从学生的思维发展角度设计教学，需要引导学生认识教材上所提供的图象之外的知识，需要超越传统的教学模式，引导学生认识图象之外的数学意义. 而从整个数学教学来看，这样的思路应当扩展到几乎全部数学知识的教学，因为笔者注意到很多数学知识的教学还处于就事论事的阶段，往往只是从应试的角度去让学生认识数学的意义，这种狭隘的认识显然阻碍了学生对数学的认识，自然也就无法形成有效的数学认知. 而只有基于思维发展，学生才能真正形成数学学习能力，才能真正提高数学素养.endprint