计及负频率的DFT与DTFT相位差测量误差分析

第一作者涂亚庆男，博士，教授，1963年生

计及负频率的DFT与DTFT相位差测量误差分析

涂亚庆，李明，沈廷鳌，张海涛

(后勤工程学院信息工程系，重庆401311)

摘要：针对噪声背景下计及负频率的DFT(Discrete Fourier Transform)与DTFT(Discrete Time Fourier Transform)相位差测量误差问题，用误差理论分别推导出高斯白噪声背景下计及负频率的DFT与DTFT相位差估计方差计算公式。对不同的泄漏误差系数、采样序列长度及信噪比，在负频率影响条件下进行计算验证。结果表明，仿真结果与计算结果一致，表明相位差测量误差分析公式的正确性。提升频率估计精度、增加采样序列长度、提高信号信噪比，可有效提升计及负频率的DFT与DTFT相位差测量方法精度。采样序列长度大于2048点或信噪比大于5 dB时，相位差测量精度提升有限，且DTFT相位差测量方法对频率估计精度更敏感。

关键词：相位差测量；误差分析；负频率；DFT；DTFT

基金项目：国家自然科学基金(61271449,61302175)；重庆市自然科学基金(CSTC2011BA2015,CSTC2012jjA0877,CSTC2013jcyjA40030)

收稿日期：2014-01-08修改稿收到日期：2014-05-14

中图分类号:TN911.7

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.015

Abstract:Aiming at the errors in phase difference measurement based on DFT(Discrete Fourier Transform) or DTFT (Discrete Time Fourier Transform) methods, taking into account the negative frequency contribution under white noise background, the formulas for evaluating the variance of phase difference were presented according to the error theory. With the consideration of negative frequency contribution, the different leakage error coefficients, sampling sequence lengths and signal-noise-ratios (SNR) were calculated. The results of some the simulations coincide well with those results calculated by using the presented formulas, which shows the correctness of the phase measurement error analysis method. The accuracy of DFT or DTFT based phase difference measurement methods considering the negative frequency contribution could be further improved effectively by enhancing the frequency estimation accuracy, increasing the sampling sequence length, and improving the SNR. When the sampling sequence length is more than 2048 or SNR is greater than 5dB, the further improvement of the accuracy of phase difference measurement is limited. The DTFT based phase measurement method is more sensitive to frequency estimation accuracy.

Error analysis of DFT or DTFT based phase difference measurement considering the negative frequency contribution

TUYa-qing,LIMing,SHENTing-ao,ZHANGHai-tao(Department of Information Engineering, Logistical Engineering University, Chongqing 401311, China)

Key words:phase difference measurement; error analysis; negative frequency; DFT; DTFT

正弦信号相位差测量在雷达、导航、电力系统、机械状态监测与故障诊断、工业测量等领域中广泛应用。相位差测量方法较多，而数字相关法[1-2]及频谱分析法[3-6]为研究、应用较多的两种方法。数字相关法具有良好的噪声抑制能力，但难以消除谐波干扰，且要求对周期信号实行严格整周期采样；频谱分析法对谐波及随机噪声干扰抑制能力较强，且能利用FFT快速算法取得高运算效率，便于硬件实现，因而应用较广。

然而，当信号频率较低或接近奈奎斯特频率(即采样频率一半)时负频率干扰严重，数字相关法及频谱分析法的相位差测量精度均不理想。为此，文献[7]通过详细分析，对计及负频率影响的频谱分析方法进行综述。文献[8-9]针对负频率影响提出消除负频率影响的频率校正方法，可有效提升低频频率估计精度。随对负频率研究不断深入[10-12]，针对负频率对相位差测量影响，文献[13]提出改进的全相位FFT相位差频谱校正方法，能有效改善负频率条件下相位差的测量精度，但计算略显复杂，且未对测量性能进行理论分析。文献[14-15]在传统DFT与DTFT计算基础上计及负频率影响，提出DFT与DTFT相位差测量方法，该法计算简便、精度较高，可有效消除负频率对相位差测量影响，但未在噪声背景下对该方法进行性能分析。

本文在对计及负频率的DFT与DTFT相位差测量方法归纳基础上对其在噪声背景下的测量误差进行分析、对比，推导出高斯白噪声背景下计及负频率的相位差估计方差计算公式，以期提高相位测量精度。

1计及负频率的DFT相位差测量误差分析

1.1DFT相位差测量原理

设观测信号为两路单一频率的实正弦信号s1(t)，s2(t)以fs(fs≥2f0)同时对两路信号进行采样，获得采样序列为

(1)

式中:A1,A2为信号幅度；f0为信号频率；θ1,θ2为信号初相位；N为采样点数。

对式(1)进行DFT求得频谱S1(k)，在k0处谱线具有最大值(k0为整数)，f0可表示为

f0=(k0+δ)fd

(2)

式(1)的采样序列表示为

(3)

由DFT定义，计及负频率的S1(k)在k=k0处具有最大谱峰值，即

(4)

推导得

(5)

式中：cf1=sin(2πk0/N)；cf2=sin[2π(k0+δ)/N]；cf3=2sin(πδ/N)sin[π(2k0+δ)/N]；φf1为S1(k0)相位。

同理，对第二路正弦采样序列s2(n)，有

(6)

式中：φf2为s2(n)在最大谱线k0处DFT变换相位。

由式(5)、(6)可求得两路信号间相位差(即加矩形窗时DFT相位差计算公式)为

(7)

1.2高斯白噪声背景下DFT法误差分析

在加性噪声背景下第一路观测信号采样序列可表示为

r1(n)=s1(n)+z1(n)，(n=0,1,…,N-1)

(8)

r1(n)的N点DFT变换可表示为

(9)

式中：S1(k)为s1(n)的DFT变换；Ak，φk分别为S1(k)幅度、相位；Z1(k)为z1(n)DFT变换；b，φz分别为Z1(k)的幅度、相位。

由DFT定义，有

(10)

对z1(n)进行DFT变换相当于z1(n)通过一个线性系统输出。由于z1(n)为高斯白噪声，Z1(k)也服从高斯分布，其均值、方差[16]分别为

(11)

(12)

据式(10)，Z1(k)的自相关函数为

(13)

对白噪声序列z1(n)，m≠n时有E[z1(m)z1(n)]=0，故式(13)可简化为

(14)

可见，由于DFT基函数的正交特性，由同一组随机变量线性组合而成的Z1(k)不相关[17]。而对z1(n)的不同次实现，由于z1(n)本身不相关性，Z1(k)也不相关。因此，Z1(k)为复高斯白噪声序列。故Z1(k)的实部(bcosφz)及虚部(bsinφz)亦均为高斯白噪声序列，且有

E[bcosφz]=E[bsinφz]=E[Z1(k)]=0

(15)

var[bcosφz]=var[bsinφz]=

(16)

在最大谱线k0处，r1(n)的DFT变换可表示为

R1(k0)=S1(k0)+Z1(k0)=Ak1ejφf1+bejφz

(17)

式中：Ak1为S1(k0)幅度。

由式(4)得

(18)

式中：φf1为S1(k0)相位。

式(17)可进一步整理为

(19)

(20)

当信噪比不特别低时，对较大N一般认为b/Ak1≪1，于是有

(21)

式中：b，φz为随机变量；Ak1，φf1为非随机变量。

式(21)可表示为

(22)

式中：φz1为迭加在φf1上的噪声，且

φz1=bsin(φz-φf1)/Ak1

(23)

显然，φz1为高斯白噪声，其均值、方差分别为

E[φz1]=E[bsinφzcosφf1-bcosφzsinφf1]/Ak1=

(E[bsinφz]cosφf1-E[bcosφz]sinφf1)/Ak1=0

(24)

(var[bsinφz]cos2φf1+

(25)

同理，对第二路观测信号r2(n)=s2(n)+z2(n)，(n=0,1,…,N-1)。在最大谱线k0处r2(n)的DFT变换可表示为

R2(k0)=S2(k0)+Z1(k0)=Ak2ejφf2+bejφz

(26)

式中：Ak1为S1(k0)幅度，由式(4)得

(27)

(28)

式中：φf2为S2(k0)相位，φz2=bsin(φz-φf2)/Ak2为迭加在φf2的噪声，且其均值、方差分别为

E[φz2]=0

(29)

(30)

据DFT法测量原理，高斯白噪声环境下，两路信号间相位差计算式为

(31)

Δθ=f(T)

(32)

将f在点T0=E[T]=[φf1φf2]T=[μ1μ2]T=μ附近用一阶泰勒级数展开[18]，即

(33)

E[Δθ]=f(μ)=

(34)

则Δθ估计方差为

(35)

式中：CT为矩阵T的协方差矩阵。

(36)

(37)

(38)

通常迭加在两路观测信号的高斯白噪声可认为互不相关，因而φz1，φz2亦不相关，则有

(39)

将式(36)～式(39)代入式(35)可得Δθ的估计方差为

(40)

2计及负频率的DTFT相位差测量误差分析

2.1DTFT相位差测量原理

DTFT的相位差测量方法(简称DTFT法)，先用离散频谱校正方法求出信号频率的准确估计值，再利用DTFT求出两路信号的相位差。式(3)的采样序列s1(n)与s2(n)可表示为

(41)

式中：ω=2πf0/fs为数字角频率或数字频率。

(42)

对式(42)，不忽略负频率成分有

(43)

(44)

式中：

cd1=sinα1sinα2cos(α1-α3)+sinα3sinα4cos(α4-α2)

cd2=sinα1sinα2sin(α1-α3)-sinα3sinα4sin(α4-α2)

cd3=sinα1sinα2sin(α1-α3)+sinα3sinα4sin(α4-α2)

cd4=sinα1sinα2cos(α1-α3)-sinα3sinα4cos(α4-α2)

同理，对第二路正弦采样序列s2(n)，有

(45)

由式(44)、(45)可求得两路信号间相位差(即加矩形窗时DTFT相位差计算公式)，即

(46)

式中：

βd3=(cd1cd4+cd2cd3)(tanφd2-tanφd1)

2.2高斯白噪声背景下DTFT法误差分析

(47)

由式(10)得

(48)

式(47)可整理为

(49)

(50)

信噪比不特别低时，一般可认为b1/Ap1≪1，则有

(51)

式(51)可表示为

(52)

式中：φz1为迭加在φd1上的噪声，即

φz1=bsin(φz-φd1)/Ap1

(53)

同样，φz1为高斯白噪声，其均值、方差分别为

E[φz1]=0

(54)

(55)

同理，对第二路采样序列r2(n)=s2(n)+z2(n)，(n=0,1,…,N-1)，有

(56)

(57)

E[φz2]=0

(58)

(59)

据DTFT法测量原理，高斯白噪声环境下两路信号间相位差计算式为

(60)

Δθ=g(T)

(61)

将g在点T0=E[T]=[φd1φd2]T=[η1η2]T=η附近用一阶泰勒级数展开，即

Δθ=g(T)≈

(62)

(63)

Δθ的估计方差为

var[Δθ]=

(64)

式中：CT为矩阵T的协方差矩阵。

(65)

(66)

βd4=cd1cd4+cd2cd3

(67)

(68)

通常情况下，迭加在两路观测信号的高斯白噪声可认为互不相关，因而φz1及φz2也不相关，则有

(69)

将式(65)～式(69)代入式(64)得Δθ估计方差为

(70)

3计算验证

采用单一频率实正弦信号迭加高斯白噪声，对本文相位差估计方差计算公式进行计算机仿真验证。两路信号迭加的为互不相关的高斯白噪声。

在A1=A2=1，N=1024，k0=1，δ=0.4，真实相位差Δθ=π/3条件下DFT方法相位差估计方差与信噪比SNR及采样序列长度N的关系见图2、图3。由两图看出，仿真结果与计算结果吻合，且SNR越高或N越大相位差估计方差越小，当SNR>5 dB或N>2 048时相位差测量精度提升有限。

图1 DFT方法相位差估计方差与泄漏误差系数d关系Fig.1TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDFTandtheleakageerrorcoefficientd图2 DFT方法相位差估计方差与信噪比SNR关系Fig.2TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDFTandSNR图3 DFT方法相位差估计方差与采样序列长度N关系Fig.3TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDFTandthesamplingsequencelengthN

图4 DTFT方法相位差估计方差与相对误差Dω关系Fig.4TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDTFandtherelativeerrorDω图5 DTFT方法相位差估计方差与信噪比SNR关系Fig.5TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDTFTandSNR图6 DTFT方法相位差估计方差与采样序列长度N关系Fig.6TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDTFTandthesamplingsequencelengthN

在A1=A2=1，N=1024，k0=1，Δω=0.8π/N，真实相位差Δθ=π/3条件下DTFT方法相位差估计方差与信噪比SNR关系见图5。

在A1=A2=1，k0=1，Δω=0.8π/N，SNR=5 dB，真实相位差Δθ=π/3条件下，DTFT方法的相位差估计方差与采样序列长度N关系见图6。由图6看出，仿真结果与计算结果吻合较好，且SNR越高或N越大相位差估计方差越小。当SNR>5 dB或N>2 048时，DTFT法相位差测量精度提升有限。

4结论

(1)通过对噪声环境下计及负频率的DFT与DTFT相位差测量误差分析，分别给出高斯白噪声背景下相位差估计方差计算公式。理论分析与仿真结果均表明，DFT法相位差估计方差与信噪比、采样序列长度及泄漏误差系数有关，提高信噪比或增加采样序列长度可降低相位差估计的均方根误差，且频谱泄漏误差越小其相位差测量精度越高。

(2)DTFT法相位差估计方差与DFT法类似，与信噪比、采样序列长度及相对误差Δω有关，提高信噪比或增加采样序列长度，可降低相位差估计方差，且相对误差Δω越小其相位差测量精度越高。而相位差测量精度对频率估计精度Δω要求较高，当Δω变化较小时相位差测量将产生较大变化。

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