分段函数常见题型及求解策

潘丽明

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）01-311-02

若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数。分段函数是一类重要的函数。它不仅形式独特，而且应用广泛，是高考的常见题型。下面结合近年高考题对分段函数的常见题型以及解题方法进行归纳总结。

题型一、求函数值

解题策略：先弄清自变量所在区间，将所求函数的自变量引导到已给定分段函数的定义域上代入对应的解析式求值。

例1：设

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【解析】：f（f（2））=f（1）=2，选C

题型二、求分段函数的解析式

解题策略：已知一个分段函数在某一区间上的解析式，根据函数性质求出在另一区间上的解析式。

例2：已知函数f（x）为R上的奇函数，当 时， 若 ，则实数 =_____________.

【解析】：先求 的解析式，再求 的值。

当时 时， ， 。

又 为奇函数， ，从而 。

所以 。 时， ， 。 ，解得 或 （舍） 。

题型三、求方程的解

解题策略：常采用代入法，求出各区间上的解，然后综合其解即得原方程的解

例3：（2009北京文）已知函数 若 ，则

【解析】由 或 无解，故应填 .

【解析】画图由图像易知交点共有3个。

题型四、分段函数的单调性问题

解题策略：借助分段函数图像的直观性，可直接求出数的单调区间或判断出函数的单调性

例4：求函数 的单调递增区间。

【解析】：画出分段函数的图像，易得单调递增区间为 。

题型五、求分段函数的最值

解题策略：求分段函数的最值常用两种方法。一种是先求出函数在各段上的最值，通过比较取其中的最大值；另一种是数形结合作出函数的图像，观察图像即可得到。

例5：（2006浙江卷）对a，b R，记max|a，b|= 函数f（x）=max||x+1|，|x-2||（x R）的最小值是 .

【解析】：由 ，故 ，其图象如图，则 。

题型六：求不等式的解集

解题策略：此类题常用分类的方法，把所求不等式化为分段的几个不等式，取各不等式解集的交集即可

例6：（2009北京理）若函数 则不等式 的解集为____________.

【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

（1）由 .

（2）由 .

∴不等式 的解集为 ，∴应填 .

题型七：判断函数的奇偶性

例7：判断函数 的奇偶性

【解析】当 时， ；

当 时， ；

时， ，也有 。所以，对任意

都有 ，故 为奇函数。

题型八、分段函数的连续性

例8：（2009四川卷理）已知函数【解析】由 ， ，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 ，可得 .故选B