利用相似三角形巧解力学中的极值问题——例谈2012年全国中学生高二物理解题技能展示第12题

利用相似三角形巧解力学中的极值问题
——例谈2012年全国中学生高二物理解题技能展示第12题

张怀华

(焦作市第十一中学河南 焦作454000)

作者简介：张怀华(1974-),男，系河南省物理学术技术带头人、河南省骨干教师、河南省学科教学专家、河南省最具成长力教师、焦作市中学名师、焦作市科研型教师、焦作市信息技术应用专家,主要从事中学物理教学及研究.

收稿日期：(2014-12-22)

1引言

应用数学知识解决物理问题，是当前高考理科综合模式下，物理科考试大纲的5方面能力要求之一，要求学生“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”.显然，利用几何图形分析问题是考生必须具备的一种能力.

2利用相似三角形巧解力学极值问题

相似三角形在力学极值问题求解中魅力独具，不仅能使抽象的物理问题更加形象、直观，求解过程简洁明了，而且彰显创新意识，对提高解题能力和发展求异思维具有非常重要的意义.下面就以2012年第五届全国中学生数理化学科能力展示活动高二年级物理解题技能展示试题第12题为例，谈一谈相似三角形在极值求解中的基本用法.

2.1试题回放

3个半径为r,质量相等的球放在一个半球形碗内，现把第4个半径也为r，质量也相等的相同球放在这3个球的正上方，要使4个球都能静止，则半球形碗的半径应满足什么条件？不考虑各处摩擦.

2.2巧妙解析

如果碗的球面半径很大，因为各接触面是光滑的，当放上第4个球后，下面的3个球会散开，所以临界情况是放上第4个球后，下面3个球之间刚好无弹力.把上面的球记为A，下面3个球分别记为B,C,D.

如图1所示，4个球的球心连起来构成一个边长为2r的正四面体.由立体几何知识可得，两球心连线AB与竖直方向间夹角α的余弦值为

(1)

图1

图2

如图2所示，A,B球心的连线与竖直方向的夹角为α，半球形碗的球心为O，O与B球心的连线与竖直方向的夹角为β，A球与B，C，D球间的弹力大小都为FN，碗面与下面3个球的作用力大小都为F.则以A球为研究对象，由对称性可得，A球重力大小等于A球对B球弹力竖直分量的3倍，即

(2)

如图2中的阴影部分所示，几何三角形OAB与矢量三角形对应边平行，由相似三角形对应边成比例可知

(3)

由式(1)、(2)和(3)可得

(4)

由图2可知，碗的临界半径为

Rmax=OB+r

(5)

在△OAB中，利用余弦定理可得

(6)

由式(5)、(6)可得，碗的临界半径为

(7)

3小结

不难发现，上述力学极值问题若运用共点力平衡条件及相关数学公式来推理、运算求解，其过程繁琐冗长，耗时费力，而且涉及到众多的公式和符号运算，稍不留神就会出现纰漏.而利用相似三角形，则化繁难为简洁，变抽象为具体，求解迅速而准确，真乃事半而功倍.