引力机械能守恒定律在各惯性系都成立

引力机械能守恒定律在各惯性系都成立

刘明成

(河北师范大学河北 石家庄050091)

刘文芳

(吉林师范大学吉林 四平136000)

赵文桐

(河南师范大学河南 新乡453007)

摘 要：讨论了万有引力机械能守恒定律在各惯性系都成立的问题.

关键词：动能势能机械能伽利略变换

收稿日期：(2015-03-30)

1引言

在经典力学的教学中，我们实际遇到的保守力只有3种，即重力、弹簧弹性力和万有引力.对应的势能也只有3种，重力势能、弹性势能和引力势能.对应的机械能守恒定律也只有3种，重力机械能守恒定律、弹力机械能守恒定律和引力机械能守恒定律.重力机械能守恒定律在各惯性系都成立的问题，文献[1]已经讲明白了.弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立的问题，文献[2]已经讲清楚了.

本文讨论引力机械能守恒定律在各惯性系都成立的问题.

当讨论万有引力机械能守恒定律是否在各惯性系都成立的问题时，大家所举的例子都是“地-太”系统，即以地球绕太阳运动为例.以往大家都认为这是个两体问题.作为两体问题，由于太阳相对两体质心会有微小的加速度，由此认为日心坐标系不是严格的惯性系，仅当假定太阳质量无穷大时，日心坐标系才是严格的惯性系[3,4].

困扰力学教学界几十年的这个问题，其实也是质点力学问题，并不是两体问题.我们简单地说说我们的理由.从宏观角度看，太阳系包括太阳本身和八大行星及无数的小行星，冥王星轨道外还有星云带，不知这个带有多宽多密.因此太阳系是一个“质点数”尚不知道的质点组，太阳正是占据这个“质点组”的“质心”位置.当质点组没有外力作用时，其质心静止或做惯性运动，因此质心坐标系是严格的惯性系.天体力学家总是认为恒星坐标系为惯性系，就是这个道理.如果我们再忽略非保守力所做的功，那么按照柯尼希定理[5]，所有行星都“各行其道”，绕日心在自己的椭圆轨道上运行，其轨道角动量守恒，轨道运动机械能守恒.行星轨道运动的机械能守恒定律可以统一写成

(1)

Ek(t)+Ep(t) =E

(2)

其中v为t时刻在日心系行星轨道速度矢量的模量，m为行星质量，r为t时刻行星坐标矢量的模量，M为太阳系总质量而非太阳的质量，G为万有引力常量，E(E<0)为行星轨道运动的机械能，是个常量，即

式中a为椭圆运动轨道的半长轴.

2引力机械能守恒定律在各惯性系都成立

为了说明地球绕日轨道运动的机械能守恒定律在各惯性系都成立，我们选择相对日心匀速直线运动的宇宙飞船系为另一个惯性系.

为简洁明白，我们采用矢量式坐标变换关系，并假定飞船速度u在地球轨道平面内沿x轴方向，t=0时两坐标系原点重合，t=0时地球过近日点，如图1所示.

图1

全部采用矢量运算，按定义，t时刻在日心系地球动能、势能和机械能分别为

对各街道在早06：00—21：00的交通指数采用系统聚类方法聚类后得到图5所示聚类树. 聚类树图中各编号对应街道可见表3.

(3)

Ep=∫dEp=∫-f·dr=

(4)

(5)

式(5)即地球轨道运动的机械能守恒定律，即式(1).

在宇宙飞船系，t时刻地球的动能、势能和机械能分别为

(6)

(7)

(8)

式(5)和式(8)比较可见，地球(质点)机械能守恒定律在各惯性系都成立.

3结语

(1)引力机械能守恒定律在各惯性系都成立.这就等于说，引力机械能守恒定律满足力学相对性原理；引力机械能守恒定律经伽利略变换形式不变；引力机械能守恒定律具有伽利略(非洛伦兹)协变性.

(2)系统机械能守恒定律成立的条件并不像文献[6]说的那样错综复杂，而是非常简单明确的——仅当不存在任何非保守力作用或非保守力所做之功可以忽略时，我们才可以认为系统的机械能是守恒的.

(3)什么是“系统”？“系统”就是研究对象，不是参考系.系统可以是质点组，也可以是质点.例如研究自由落体问题时，研究对象就是落体，系统不包括参考物地球.当我们研究弹簧振子问题时，系统就是弹簧加小球，不包括参考物地球或小车.当我们研究地球轨道运动时，系统就是地球(质点)，不包括参考物太阳.

参 考 文 献

1赵文桐，刘文芳，刘明成.重力机械能守恒定律在各惯性系都成立.物理通报，2015(3):96～98

2李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷.物理通报，2014(9):119～120

3蔡伯濂.关于力学相对性原理与机械能守恒的来稿综述.大学物理，1994(1):20～22

4白静江.两体问题中的功能原理及机械能守恒定律.大学物理，1997(3):11～14

5周衍柏.理论力学教程(第二版).北京：高等教育出版社,1985.127

6高崇伊.机械能守恒定律成立的条件.物理通报，2006(5):58～59