两个包含Gamma函数的对数完全单调函数及其应用

元志芳, 王连堂

(西北大学 数学学院， 陕西 西安　 710127)



两个包含Gamma函数的对数完全单调函数及其应用

元志芳, 王连堂*

(西北大学 数学学院， 陕西 西安 710127)

摘要：通过对两个包含Gamma函数的特殊函数的对数完全单调性的证明，给出了一个新的关于Γ(x+1)的不等式，由此给出了一个关于n!的新估计，并将该估计与已有文献结果进行了比较.最后，基于这个新估计，提出了一个关于n!的最佳不等式的猜想.

关键词：Gamma函数； 对数完全单调性； n!； Burnside 公式

0引言

一个函数f被称作是区间I上的完全单调函数.如果函数f在区间I上的各阶导数都存在，且满足(-1)nf(n)(x)≥0,(∀x∈I,n=0,1,2,…),若此不等式严格大于零，则称函数f是区间I上的严格完全单调函数[1,2].

一个正函数f被称作是区间I上的对数完全单调函数.如果它的对数lnf满足(-1)n[lnf(x)](n)≥0,(∀x∈I,n=1,2,3,…)，若此不等式严格大于

零，则称函数f是区间I上的严格对数完全单调函数[3,4].

区间I上的对数完全单调函数，也是区间I上的完全单调函数[5].

著名的欧拉Gamma函数的定义为：

文献[7]首先证明了对任意的正整数n,双向不等式:

(1)

成立，后又得出不等式:

(2)

文献[8]给出双向不等式:

(3)

文献[9]进一步得出双向不等式:

(4)

文献[10]在以上基础上进一步优化，得到双向不等式:

(5)

本文利用对数完全单调函数的定义，得出了关于Γ(x+1)的一个新的不等式.进而，得到了关于n!的一个新估计：

(6)

通过计算,可得表1、表2中的近似数据.其中，αni,βni(i=1,2,…,6)为前边不等式(1)～(6)中给出的式子.

表1　αni(i=1,2,…,6)的近似值

表2　βni(i=1,2,…,6)的近似值

由表1、表2中的数据可以看出，本文所得不等式(6)比文献[7]中不等式(2)更加精确.不等式(6)的左侧比不等式(3)的左侧更加精确，右侧结论比不等式(1)更加精确.不等式(6)的结论虽然没有文献[9,10]中的不等式(4)和(5)精确，但相差很小，而且它的结构简单对称，有助于我们进一步提出猜想.如果猜想的结论正确，那么它的结论将比文献[9,10]的结论更加精确.

1引理

为了证明我们的主要结论，首先给出下面的引理.

引理1[11-13]对任意的正整数n和正实数x,下列结论成立：

引理2当x→+∞时，下列结论成立：

2主要结论及证明

证明：函数F(x)的对数函数为:

由引理1得:

其中，

通过求导运算，得：

则f′(0)=0,

则f″(0)=0，

则f1″(0)=-2，

由以上各式可推得:f′(t)<0，即函数f(t)在区间(0,∞)上是单调递减的；从而f(t)≤f(0)=0，所以[lnF(x)]′≤0.而且，对任意正整数n≥2，有

证明：函数G(x)的对数函数为:

当正整数n≥2时，由引理1，以及文献[13]中的积分代表

通过简单的计算，得：

(-1)n[lnG(x)](n)=(-1)n{[lnG(x)]′}n-1=

其中，

通过求导运算可得：

则g′(0)=0,

g″(t)=

则g″(0)=0，

由以上各式可推知:g′(t)>0，即函数g(t)在区间(0,∞)上是单调递增的，从而g(t)≥g(0)=0,所以(-1)n[lnG(x)](n)≥0.由此可知，[lnG(x)]″≥0，即函数[lnG(x)]′在区间(0,∞)上单调递增，且由文献[15]中给出的不等式

可计算得:

推论1对任意的正整数n，下列双向不等式成立：

证明：用n替换定理3不等式中的x，并将等式Γ(n+1)=n!式代入其中,即可得推论1的结论.

猜想对任意的正整数n，下列双向不等式成立，

图1　函数h(x)的图像

由图1可以看出，函数h(x)在区间(3,∞)上是单调递减的，且由Burnside公式可计算得:

由洛必达法则可计算得:

再次利用Burnside公式可得:

由文献[15]中不等式

且通过计算可得:

h(1)=0.583 658…,h(2)=0.583 970…,h(3)=0.583 939…,所以对任意的正整数n有:

由此整理即可得到猜想的结论.由此可知，要证明猜想的结论，关键就在于证明h(x)的单调性.

3结束语

Gamma函数和Psi函数的完全单调性以及对数完全单调性等，对一些重要不等式的证明、加强与推广具有十分重要的作用.近年来，国内外许多著名的学者都在从事这方面的研究，对Gamma函数和Psi函数完全单调性的研究已经成为数学知识的新增点之一.

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Logarithmically complete monotonicity of two specific

functions involving Gamma function and applications

YUAN Zhi-fang， WANG Lian-tang﹡

(School of Mathmatics, Northwest University, Xi′an 710127, China)

Abstract:In the article,the logarithmically complete monotonicity of two specific functions involving Gamma function was proved.Thus,a new inequality about Γ(x+1) was obtained.And then,a double inequality about factorial n was proposed and compared with the existing conclusions.Lastly,a best conjecture was made on the new estimate.

Key words:Gamma function； logarithmically complete monotonicity； factorial n； Burnside′s formula

中图分类号：O174.6

文献标志码：A

文章编号：1000-5811(2015)02-0177-05

通讯作者:王连堂(1959-)，男，陕西西安人，教授，硕士生导师，研究方向：积分方程、声波散射、特殊函数论,wlt800@nwu.cn

作者简介:元志芳(1988-)，女，山西朔州人，在读硕士研究生，研究方向：特殊函数论

基金项目：陕西省科技厅自然科学基金项目(2010JM1017)