“数形结合”在求电功率中的应用

2016-01-11柯尧

物理通报 2015年11期

关键词：图线伏安交点

“数形结合”在求电功率中的应用

柯尧

(九江第一中学江西九江332000)

摘要：U-I图像是恒定电流中的一个基本图像，它应用广泛.本文利用数形结合的原理探讨了其在求非线性元件功率中的应用，从而提高学生利用图像解决问题的能力．

关键词：U-I图像数形结合非线性元件电功率

收稿日期：(2015-03-13)

在恒定电流中，利用U-I图像解决实际问题是一种常见的方法与手段，特别是利用交点坐标求电功率，更是能体现其独到之处．在实际解题中，大部分学生会采用此法，却不知道其原因，甚至教师在教学中，也有只能意会、无法言传的困惑．本文通过数学方法论证，解释交点的物理意义，并通过几例将其应用进一步深化．

1问题引入

【例1】(2013高考天津卷第9题)实验得到小灯泡的伏安特性曲线如图1所示，如果将这个灯泡接到电动势为1.5V，内阻为5Ω的电源两端，小灯泡消耗的功率为多少？

图1

图2

解析:这是一道非常典型的利用U-I图像求功率的题目，大部分考生知道需要在小灯泡的伏安特性曲线图像上作出电源的外伏安特性曲线，再取其交点横纵坐标乘积即可得到小灯泡实际功率．但为什么交点坐标乘积表示小灯泡实际功率呢？要清楚交点的意义并不难，可以这么论证：

通过电源的电流

I1=f(U)

由闭合电路欧姆定律知

小灯泡电流与电压的关系无具体的表达式，但可表示为

I2=g(U)

考虑到电源与灯泡串联，有

I1=I2

在同一图像上画出f(U)与g(U)的图线，结合图像交点的数学意义可知图线I1=f(U)与I2=g(U)的交点表示小灯泡此时的实际电压和电流，交点的横纵坐标乘积为实际功率．由于电源电动势为为1.5V，内阻为5Ω，有f(U)=0.3-0.2U，在图1上作出其图线，如图2所示的图线Ⅱ，交点坐标为(1.0，0.10)，因此小灯泡功率为P=0.1W．

2举一反三拓展应用

变式1:在问题1的基础上，将两个此小灯泡串联接到该电源上，如图3，求每个小灯泡消耗的功率．

图3

解析:对于这个问题直接作图找交点坐标无法求出小灯泡的功率，原因是此时小灯泡的实际电压不等于电源的路端电压．可以用两种方法来解此题．

方法一：将两个小灯泡等效为一个小灯泡，画出等效小灯泡的伏安特性曲线，设每个小灯泡的电压电流为(U,I),相应的等效小灯泡电压电流为(U′,I′)，显然有U′=2U，I′=I,在图2中作出等效小灯泡的伏安特性曲线，如图4所示的图线Ⅲ．图线Ⅲ与电源外伏安特性曲线Ⅱ交点坐标为(1.20,0.063)，所以小灯泡的功率为

图4

方法二：小灯泡电流与电压的关系可表示为

I2=g(U)

电源电流与电压关系式为

又U′=2UI1=I2

因此，有

P=UI=0.038 4W

图5

变式2:在问题1的基础上，将2个此小灯泡并联在该电源上，如图6，求每个小灯泡消耗的功率．

图6

解析:同理此问题也有两种解法，即分别将灯泡与电源等效．

方法一：设每个小灯泡的电压电流为(U,I),相应的等效小灯泡电压电流为(U′,I′)，则U′=U,I′=2I．作出等效灯泡伏安特性曲线，如图7所示的图线Ⅲ，交点坐标(0.75,0.153)表示等效灯泡的实际工作状态，每个灯泡的功率为

图7

方法二：灯泡电流与电压的关系可表示为

I2=g(U)

电源电流与电压关系式为

根据并联的特点知

即

图8

点评:两个灯泡并联，电源电流为支路电流两倍，在理解变式1解法的基础上，此题的思路应该是顺理成章、水到渠成．

变式3:(第28届全国中学生物理竞赛预赛第10题)有两个电阻R1和R2，它们的阻值随所加电压的变化而改变，从而它们的伏安特性即电压和电流不再成正比关系(这种电阻称为非线性电阻)．假设电阻R1和电阻R2的伏安特性图线分别如图10所示．现先将这两个电阻并联，然后接在电动势E=9.0V，内阻r0= 2.0Ω的电源上．试利用题给的数据和图线在题图中用作图法读得所需的数据，进而分别求出电阻R1和电阻R2上消耗的功率P1和P2．

图9

解析:虽然这是一个竞赛题，但是如果考生知道利用图线交点求功率，那么此题难度并不大．前面两种解法对这个题是否都适用呢？显然这里无法画出等效电源的外伏安特性曲线，只能画等效电阻伏安特性曲线．设两电阻电压电流分别为(U1,I1)、(U2,I2)，等效电阻电压电流为(U3,I3)，由电路特点知：U3=U1=U2，I3=I1+I2，在图10中作出等效曲线，并作出电源的外伏安特性曲线，如图11所示，根据交点坐标知此时电阻工作电压为：U1=U2=2.3V，由图线可得电阻此时的实际电流，电阻R1消耗的功率为P1=U1I1=2.5W，电阻R2消耗的功率为

P2=U2I2=4.9W．