数列教学中数学思想方法的挖掘与渗透

邓平

【摘 要】数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力桥梁。能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志。数列中蕴涵了许多重要的数学思想，在数列教学中注重数学思想方法的挖掘与渗透具有十分重要的意义。

【关键词】数学思想；数列思想

1 函数思想

函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象。数列是一类特殊的函数，以函数的观点认识理解数列，是解决数列问题的有效方法。

例1：等差数列{an}的前n项和为，已知a1=25，S9=S17问数列的多少项和最大？

分析：易知所给数列{an}不是常数列，等差数列的前n项和Sn是n的二次函数，且常数项为零，所以可利用函数思想研究Sn的最值。

解法1：由a1=25，S9=S17得：

，∴d=-2。

从而；

故前13项的和最大，其最大值为169。

解法2：，Sn的图像是开口向下的抛物线上一群离散的点，由S9=S17知最高点的横坐标为，即前13项的和最大。

2 方程思想

方程思想就是通过设元建立方程，研究方程解决问题的方法。在解数列问题时，利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法。

例2：等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12=84，S20=460，求S28。

分析：解此题的关键是求出数列的通项公式，可利用已知条件列出关于a1和d的方程组求出基本量a1和d，也可用待定系数法确定Sn。

解法1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据已知条件和等差数列的前n项和公式得

解得

∴

从而S28=2×282-17×28=1092

解法2：易知所给等差数列不是常数列，所以它的前n项和可设为，由已知条件得

解得

∴Sn=2n2-17n，S28=2×282-17×28=1092

3 分类讨论思想

复杂问题无法一次性解决，常需分类研究，化整为零，各个击破。数列中蕴含着丰富的分类讨论的问题。

例3：已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+18n，试求数列{|an|}的前n项和Tn的表达式。

分析：解题的关键是求出数列{an}的通项公式，并弄清数列{an}中各项的符号以便化去|an|的绝对值。故需分类探讨.

解：当n=1时，a1=S1=-12+18×1=17；

当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=-n2+18n-[-（n-1）2+18n]=19-2n

∴当1≤n≤9时，an>0，当n≥10时，an<0，从而

当1≤n≤9时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+an=Sn=-n2-18n；

当n≥10时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+a9-a10…-an=-Sn+2S9

=n2-18n+2（-92+18×9）=n2-18n+162

∴Tn=

4 等价转化思想

等价转化就是将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题。这是解决数列问题重要方法。

例4：等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=6。若S1，S2，…，Sn中，S8最大，数列{an-4}的前多少项和最大？

分析：求Sn的最大值有多种转化方法。本题可将Sn满足的要求转化为公差d满足的要求；再将k所满足的条件转化为它的几何意义，借助图示直接写出结果。

解：设数列{an}的公差为d，则S8最大

设{an-4}的前k项和最大，则有2+（k-1）d>0，且2+kd<0，故有（*）

，

如图，数轴的两个阴影区间中，左边是的取值范围，右边是的取值范围，（*）的成立等价于k取两个区间之间的自然数，所以k=3，即的前3项和最大。

5 整体思想

整体思想就是从整体着眼，通过问题的整体形式、整体结构或其它整体处理后，达到简捷地解题的目的。

例5：已知数列{an}为等差数列，前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27∶32，求公差d。

分析：此题常规思路是利用求和公式列方程组求解，计算量较大，注意考虑用整体思想去解决，解法十分简捷。

解：由题意令奇数项和为27x，偶数项和为32x。

∵S12=27x+32x=59x=354，∴x=6

而S偶-S奇=32x-27x=5x=30=6d，∴d=5

6 递推思想

递推思想就是通过探求、构造和运用所给问题中的递推关系解决问题的思想方法。数列问题，从某种意义上讲是递推关系的表现形式。利用递推思想解决某些数列问题可体现递推思想解决问题的优越性。

例6：设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有，证明数列{an}是等差数列。

分析：证明等差数列一般考虑用等差数列的定义。这里可利用递推关系，将Sn转换得an，然后再对an，an-1的递推关系继续探求。

解：由得，

∴当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=，

即a1+（n-2）an-（n-1）an-1=0

同理a1+（n-1）an-1-nan=0

两式相减得（n-1）an+1-2（n-1）an+（n-1）an-1=0，

即an+1-2an+an-1=0，

从而有an+1-an=an-an-1（n≥2）

由此可知数列{an}是等差数列。

7 归纳、猜想与证明思想

通过对个别、特殊情况的分析、观察，发现规律，归纳出一般的结论或性质，再寻求证明方法。这是我们由已知探索未知的重要途径。

例7：已知数列{an}满足条件：a2=6，（n-1）an+1=（n+1）（an-1）试求数列{an}的通项公式。

分析：此题求解思路不清晰，从特例入手，观察、猜想结论，再加以证明不失为一种好办法。

解：由已知条件，分别取n=1，2，3，…，得

a1=1=1×1，a2=6=2×3，a3=15=3×5，a4=28=4×7，……

通过观察、归纳、可得出猜想：an=n（2n-1）=2n2-n

用数学归纳法容易证明这一结论是正确的（证明略）。

还有一些重要的思想方法，如数形结合、分析与综合、联想与类比，构造模型等思想方法已在上述例题中有所涉及，限于篇幅，不再赘述。

参考文献：

[1]李秉德，李定仁.《教学论》.人民教育出版社，1991.

[2]吴文侃.《比较教学论》.人民教育出版社，1999.

[3]罗增儒，李文铭.《数学教学论》.陕西师范大学出版社，2003.

[4]张奠宙，李士.《数学教育学导论》.高等教育出版社，2003.

[5]罗小伟.《中学数学教学论》.广西民族出版社，2000.