动能定理的妙用

施笔英

高中物理中有关运动学的题目有直线和曲线运动之分，也有匀变速和非匀变速之分，对解题方法的选择可能多种，但是很多解法需要满足条件才可用，而动能定理的使用并不需要条件限制，而且公式简单，解题思路明晰。它揭示了物体外力做的总功与其动能变化之间的关系。可表示为W总=Ek2—Ek1=△Ek。在所研究的问题中，如果物体受外力作用而运动状态发生变化时，此时巧妙运用动能定理，往往能使解决问题的途径简捷明快，事半功倍。 下面就以对动能定理的使用中较有代表性的例子进一步介绍。

一、动能定理的应用可扩展到全过程

当物体运动是由几个物理过程组成，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个物理过程看作一个整体来研究，从而避免考虑每个运动过程的具体细节，大大简化运算。

例1：如图1所示，一物体质量m=2kg，在倾角θ=37o的斜面上的A点以初速度V0=3m/s下滑。A点距弹簧上的档板位置B的距离AB=4m，当物体到达B后，将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC=0.2m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到最高位置D点，D点距A点为AD=3m。求物体跟斜面间的动摩擦因素。（g=10m/s2，弹簧及档板质量不计）

图1

解析：在该题中，物体的运动过程分成了几个阶段，若用牛顿运动定律解决，要分几个过程来处理。考虑到全过程始末状态动能都是零，用动能定理解决就方便多了。

对A→B→C→D全过程，由动能定律得：

W总=mgAD·sinθ-f（AB+2BC+BD）=0-mvo2

F=umgcosθ

两式联立得：u==0.52

二.动能定理的应用可扩展到物体系统

动能定理常用于研究单个物体，公式中W总是指外力的总功。但动能定理也可扩展应用到物体系统中，只是在物体系统中必须注意内力的功也要改变物体的动能，所以此时动能定理可拓展为：所有外力和内力做功的代数和等于物体系统总动能的变化。即W外+W内=△Ek。

例2：质量为m的小物体A放在质量为m0的木版B的左端，B在水平拉力的作用下，沿水平地面匀速向右滑动，且A、B相对静止。某时刻撤去水平拉力，经过一段时间。B在地面上滑行的距离为x，A在B上向右滑行的距离为L，最后A和B都停下来。设A和B间的动摩擦因素为μ1，B与地面间的动摩擦因素为μ2，且μ1<μ2，求x的表达式。（如图2）

图2

解析：若把A、B两个物体看成一系统，则此系统中内力即为它们间的一对滑动摩擦力W内=fABS相=u1mgL；外力为地面对B的滑动摩擦力，则外力对系统所做功W外=fB地×X=u1（m+mo）gx。设A、B共同初速度v，根据动能定理，

对系统有u2（m+m0）gx+u1mgL= （m+m0）v2

同理对A有u1mg（x+L）=mv2解得：x=

三、用动能定理可求变力的功

例3：一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬于O点，小球在水平拉力F的作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图3所示，则力F所做的功为多少（ ）。

图3

A、mgLcosθ

B、mgL（1-cosθ）

C、FLsinθ

D、FLθ

解析：F使球缓慢移动，各点均可看作平衡状态，绳拉力和F均为变力，绳拉力不做功，F做正功，重力做负功，根据动能定理可知

WF-WG=0

WG=mgh=mgL（1-cosθ）

∴WF=mgL（1-cosθ）

选B。

四、灵活变通，大胆运用动能定理“正交分解”法

例4：如图 4所示，在水平方向的匀强电场中，有一带电体P自O点竖直向上射出，它的初动能为4J。当上升到最高点M时，它的动能是5J，则带电体折回通过与O点在同一水平线上的O点时，其动能为多大？

图4

解析：带电体P受到了电场力和重力的作用，在竖直方向上只受重力，做竖直上抛运动；在水平方向上只受电场力，做初速度为零的匀加速直线运动。

设带电体P在O点的动能为Ek1 ，到达M点的动能为Ek2，到达O点的动能为Ek3。由于带电体P在竖直方向上做竖直上抛运动，上升的时间和下降的时间相同，所以tOM=tMO，又由于带电体P在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动，所以带电体P在其上升和下降的两段时间内，在水平方向上的位移之比为XOM ： XMO=1 ： 3。则两段时间内电场力对带电体P所做的功之比也是1：3。当带电体在O点时，它在水平方向上初速度为零，则水平方向上初动能Ek1x=0，竖直方向上的初动能Ek1y=4J；到达M点时，它在竖直方向上分速度为零，则Ek2y=0、Ek2x=5J； 到达O点时它在竖直方向上速度和在O点时的速度大小相同，则Ek3y=4J。

O→M，水平方向由动能定理得：Ek2x-Ek1x=F电·XOM

M→O，水平方向由动能定理得：Ek3x-Ek2x=F电·XMO

所以： 代入数据得Ek3x=20J

故Ek3=Ek3x+Ek3y=20J+4J=24J

特别提醒：本题中用了动能定理的“正交分解”法，在对动能定理进行正交分解时，我们应注意到，动能定理的正交分解与矢量正交分解不同，只有当两个或多个正交力做功时才能应用。