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从特殊问题中发现一般规律

2016-01-08王富

都市家教·下半月 2015年12期
关键词:三边余弦定理比较法

王富

在我们接触到的许多数学问题中,都可能含有某种数学结论。当我们将一些特殊的例子联系起来研究时,我们或许会很惊奇的发现一个一般性的结论。从特殊到一般,是一种逻辑思维方法。如果我们有意识的运用这种方法来学习数学,研究数学,既是深入的获得知识的基本方法,也是对思维能力的很好训练。

例如:对于当a、b∈R+,有:a3+b3≥a2b

+ab2…(1)。这个特殊不等式,我们比较法容易证明它是成立的,接下来我们想到:当a、b∈R+时,a4+b4≥a3b+ab3…(2)是否也成立呢?同样用比较法证得原来(2)也成立。这样我们就考虑将这两个特殊不等式写成一般形式,提出:

命题(3):当a、b∈R+时,是否有:an+bn≥an-1b+abn-1,n∈N+成立。

我们仍用比较法来证明:

证明:an+bn-(an-1b+abn-1)

=an-1(a-b)-bn-1(a-b)

=(a-b)(an-1-bn-1)

∵a、b∈R+,且n∈N+,

∴a-b与an-1-bn-1同号或同为零

∴(a-b)(an-1-bn-1)≥0

∴an+bn≥an-1b+abn-1

∴当a、b∈R+时,an+bn≥an-1b+abn-1,n∈N+成立。现在我们通过(1)、(2)两个特殊例子就发现了命题(3)。

从(1)、(2)到(3)这个过程就是从特殊到一般的思维方式,科学巨匠阿尔贝特·爱因斯坦曾说:“提出一个问题,比解决一个问题还要重要。”所以最后提出的一个一般性的命题是这种思维方式中最重要的一步。

再看下面几个例子:

例1:证明:

[(a+b)/2]2 ≤(a2+b2)/2

证明结论成立后,从变量的个数考虑提出问题:

[(a1+a2+a3+…+an)/n]2 ≤(a12+a22+a32+…+an2)/n

进而提出命题:

[(a1+a2+a3+…+an)/n]k ≤(a1k+a2k+a3k+…+ank)/n

通过探索证明可知,上式在k>1时是成立的。

例2.已知:AD是△ABC的一条中线,求证:

4AD2=2(b2+c2)-a2

利用余弦定理容易证得。

问题一:如果把BC的中点D一般化,改为BD:DC=m:n,那么,AD与三边a、b、c的关系怎样?

问题二:如果点D改在BC的延长线上,且BD:DC=m:n,那么AD与三边a、b、c的关系又会怎样?用余弦定理可推算得:

问题一:有:(m+n)2AD2=(m+n)(mb2+nc2)-mna2

问题二:有:(m-n)2AD2=(m-n)(mb2-nc2)-mna2

许多数学问题就是这样从简单到复杂,从特殊到一般产生出来的。数学家们总是对问题不断地推广,虽然其中也总有解决不了的问题,但却推动了数学的不断发展。

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