从特殊问题中发现一般规律

王富

在我们接触到的许多数学问题中，都可能含有某种数学结论。当我们将一些特殊的例子联系起来研究时，我们或许会很惊奇的发现一个一般性的结论。从特殊到一般，是一种逻辑思维方法。如果我们有意识的运用这种方法来学习数学，研究数学，既是深入的获得知识的基本方法，也是对思维能力的很好训练。

例如：对于当a、b∈R+，有：a3+b3≥a2b

+ab2…（1）。这个特殊不等式，我们比较法容易证明它是成立的，接下来我们想到：当a、b∈R+时，a4+b4≥a3b+ab3…（2）是否也成立呢？同样用比较法证得原来（2）也成立。这样我们就考虑将这两个特殊不等式写成一般形式，提出：

命题（3）：当a、b∈R+时，是否有：an+bn≥an-1b+abn-1，n∈N+成立。

我们仍用比较法来证明：

证明：an+bn-（an-1b+abn-1）

=an-1（a-b）-bn-1（a-b）

=（a-b）（an-1-bn-1）

∵a、b∈R+，且n∈N+，

∴a-b与an-1-bn-1同号或同为零

∴（a-b）（an-1-bn-1）≥0

∴an+bn≥an-1b+abn-1

∴当a、b∈R+时，an+bn≥an-1b+abn-1，n∈N+成立。现在我们通过（1）、（2）两个特殊例子就发现了命题（3）。

从（1）、（2）到（3）这个过程就是从特殊到一般的思维方式，科学巨匠阿尔贝特·爱因斯坦曾说：“提出一个问题，比解决一个问题还要重要。”所以最后提出的一个一般性的命题是这种思维方式中最重要的一步。

再看下面几个例子：

例1：证明：

[（a+b）/2]2 ≤（a2+b2）/2

证明结论成立后，从变量的个数考虑提出问题：

[（a1+a2+a3+…+an）/n]2 ≤（a12+a22+a32+…+an2）/n

进而提出命题：

[（a1+a2+a3+…+an）/n]k ≤（a1k+a2k+a3k+…+ank）/n

通过探索证明可知，上式在k>1时是成立的。

例2.已知：AD是△ABC的一条中线，求证：

4AD2=2（b2+c2）-a2

利用余弦定理容易证得。

问题一：如果把BC的中点D一般化，改为BD：DC=m：n，那么，AD与三边a、b、c的关系怎样？

问题二：如果点D改在BC的延长线上，且BD：DC=m：n，那么AD与三边a、b、c的关系又会怎样？用余弦定理可推算得：

问题一：有：（m+n）2AD2=（m+n）（mb2+nc2）-mna2

问题二：有：（m-n）2AD2=（m-n）（mb2-nc2）-mna2

许多数学问题就是这样从简单到复杂，从特殊到一般产生出来的。数学家们总是对问题不断地推广，虽然其中也总有解决不了的问题，但却推动了数学的不断发展。