从函数视角研究数列

邓平

【摘 要】沪教版高二年级第一学期课本中第6页写道：“从函数的观点看，数列可以看成是以正整数集（或其子集）为定义域的函数。”数列是一个定义在正整数集（或其子集）上的特殊函数。从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识。因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题。

【关键词】函数；数列；解决问题

一、数列通项公式、求和公式与函数关系

通过对数列中的通项公式以及前n项和公式等这些特殊的函数关系的概念理解与分析，引导学生充分认识an，sn和n的对应关系，从而利用概念，鼓励学生主动探究，挖掘出数列通项公式、求和公式与函数的内在联系，使学生知识系统化，培养学生数学整体意识，用联系发展的眼光学习数学。在教学实践过程中，通过学生的自主学习，发挥他们的主体作用，归纳出数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

数列 通项公式 对应函数

等差数列 an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d） y=dx+b（d≠0时为一次函数）

等比数列 y=aqx（指数型函数）

数列 前n项和公式 对应函数

等差数列 y=ax2+bx（a≠0时为二次函数）

等比数列 y=aqx+b（指数型函数）

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例1：等差数列{an}中，an=m，am=n，（m≠n）则am+n=？

分析：因为{an}是等差数列，所以an是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n，m），（m，n），（m+n，am+n）三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得am+n=0（图像如下），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例2：等差数列{an}中，a1=25，前n项和为sn，若s9=s17，n为何值时sn最大？分析：等差数列前n项和sn可以看成关于n的二次函数Sn=，（n，sn）是抛物线f（x）=上的离散点，根据题意，f（9）=f（17），则因为欲求Sn最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当n=13时，Sn最大。

例3：等差数列{an}和等比数列{bn}首项均为1，且公差不等于1，公比q>0且q≠0，则集合{（n，an）|an=bn}一定含有元素

分析：等差数列{an}，由于首项为1，即a1=1，所以它的图像是必过（1，1）的一条直线，而等比数列{bn}首项为1，公比为q，q>0且q≠1，故bn=qn-1，它表示指数函数f（n）=qn图像向右平移一个单位得到，必过（1，1），所以此集合中必定含有元素（1，1）。

二、数列应用题中构造函数，成功“解决”

数列知识本身就是来源于实际问题，又被广泛应用于实际问题，带有情境的数列问题，不仅可以考察学生的综合能力，而且可以考察学生解决实际问题的能力。

例6：在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？

分析：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月工资数分别为：

an=1500+230（n-1）=230n+1270

bn=2000×1.05n-1

其中n∈N*

问题是该人在A公司比在B公司工资每月高出部分的最大值

故需要比较an和bn，

可设f（n）=an-bn=230n-2000×1.05n-1+1270

所以问题转化为研究函数f（n）最大值。

因为当n≥2时：

即

所以当1≤n≤19时，f（n）单调递增，而当n≥20时，f（n）单调递减，因而当n=19时，f（n）有最大值f（19）=a19-b19=827（计算器算出）。

故此人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出827元。

通过对以上实例的研究和分析，笔者发现，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用。因此，在教学实践过程中，教师应创设恰当的情境，让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在感悟的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法，理解用函数思想解决数列问题的本质。当学生理解并掌握之后，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决多种数列问题。同时，我们的学生的知识网络能够得以不断优化与完善，思维丰富并发散，对知识的掌握与运用能够驾轻就熟。

参考文献：

[1]邓小荣.高中数学的体验教学法[J].广西师范学院学报，2003（8）.

[2]黄红.浅谈高中数学概念的教学方法[J].广西右江民族师专学报，2003（6）.

[3]胡中双.浅谈高中数学教学中创造性思维能力的培养[J].湖南教育学院学报，2001（7）.