仿射变换在初等几何解题中的应用

【摘 要】本文主要阐述了用高等几何中仿射变换的知识来解决初等几何的问题。这种高等几何知识的应用使我们对初等几何问题的理解更加的深入，思路更加广泛，解题更加巧妙、灵活。

【关键词】仿射变换；初等几何；应用

【Abstract】The paper applies projective transformation of higher geometry to solve some problems in elementary geometry. This application of higher geometrys knowledge help us to understand more deeply， think more widely and solve more delicately and flexibly for the problems of elementary geometry.

【Key words】affine transformation； elementary geometry； application

在中学中所接触的几何是初等几何，它是一种直观、易于理解的几何，可以通过测量的几何，以欧氏几何为主.高等几何是一种通过观察、了解的几何，它是抽象、不易于理解的，以仿射几何和射影几何为主.仿射几何是联结欧氏几何和射影几何的纽带.将初等几何中的问题进行仿射变换，可以解决一些初等几何中问题.

1 利用平行射影证明初等几何问题

仿射变换中最简单的是平行射影，因为平行射影中平行线段的比不变，所以当问题涉及平行线段的比时，可以选取一投射方向与一像直线，把图形中的不共线点和线段投射成共线的点和线段，可以使问题证明简化[1].

例1 设直线MN过?ABC的重心G，分别交AB、AC于M，N，求证：.

图1

证明 如图1，取AB为像直线，为投射方向，作平行投射，则，，，从而有：

梅内劳斯定理，如图2所示，设M，N，P分别?ABC的

AB，BC，AC（或其延长线）上的点，且三点M，N，P共线.求证：.

图2

证明 如图2，取AB为像直线，NM为投射方向，作平行投射，则，，从而有：

故

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2 利用图形的特殊仿射现象证明初等几何问题

平面几何中的特殊图形经过仿射变换作用后，可变成一般图形，相反的，仿射变换也可以将一些一般图形变成特殊图形.这种现象称为一般图形的特殊仿射象.如：圆、矩形、等腰梯形和正三角形可以经过仿射变换成椭圆、平行四边形、梯形和三角形[2].

利用特殊图形的仿射可以求图形的面积.根据两个封闭图形的面积的比是仿射不变量，我们可以由一个一般图形出发去求特殊图形的面积.

例3 求椭圆所围成的图形的面积.

解 作仿射变换

则题设椭圆的像为圆：.设椭圆和圆的面积分别为S和.由于在仿射变换T之下，面积比保持不变，故.

利用圆和椭圆的特殊仿射可以求图形的面积.由于圆和椭圆是仿射对应图形，所以它们的一些性质相同.利用一般图形的性质，可以求某些特殊图形的性质.

3 仿射坐标系的应用

例4 设A，B分别是椭圆在坐标轴上的两个顶点，C为线段AB的中点，则过射线OC与椭圆的交点的切线平行于AB.

证明 如图3所示，在仿射变换c下由仿射变换φ的性质，为的中点。再由圆的性质知//.从而，由仿射变换φ保持平行性知l//AB.

图3 椭圆的φ仿射变换

对椭圆进行仿射变换，使椭圆变换成圆，先证明在圆中的平行关系，再根据仿射变换中保持直线的平行性这一性质[3]，将原本较难证明的平行关系简单证出.由此可以看出，应用仿射变换，可以使一些较为复杂的初等几何问题的解题过程更为简洁.

这里仿射变换的性质重点在于平行性，而在角度和长度方面并不适用.射影变换则是用来解决线段与线段或点之间关系的.

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4结束语

由此可见应用高等几何中的知识为解决初等几何中问题的找到新思路，学好高等几何，不仅对几何思维水平的提高有所帮助，而且能给解决初等几何问题带来很多方便.掌握高等几何的知识可以更好的解决初等几何中的问题，简便方法，发散思路.

参考文献：

[1]陈胜全，郑秀琴.浅谈高等几何在初等几何中的应用[J].职业技术，2006，2（5）：

25-25.

[2]陈蕾.仿射变换及其在中学几何中的应用[J].南昌高专学报，2009，2（13）：155-157.

[3]孙珍.浅谈仿射变换的应用 [J].榆林学院学报，2011，33（2）：22-23.

[4]梅向明，刘增贤，王汇淳，王智秋，等.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983：25-25.

[5]崔萍，徐淑华.指导与应用：高等几何与初等几何的关系辨析[J].曲靖师范学院学

报，2010，29（6）：94-98.

[6] 赵宏量.高等几何学习指南[M].重庆：西南师范大学出版社，1987：55-56.

作者简介：

黄映雪（1979～），女，硕士，讲师。研究方向：最优化。