数列{sinnk}发散的证明

数列{sinnk}发散的证明

焦红英，刘卫江，梁放驰

(空军工程大学理学院，西安710051)

[摘要]研究了当k是正整数时，数列{sinnk}的敛散性，文献[1]给出了{sinn}和{sinn2}发散的证明，但是证明方法复杂，不便阅读.为此，本文进行了两个方面的研究：一方面是运用简单的方法证明了{sinn}和{sinn2}的发散；另一方面证明了一个重要结论，即{sinnk}发散.

[关键词]数列； 敛散性； 极限

[收稿日期]2014-12-29;[修改日期]2015-02-28

[基金项目]国家自然科学基金(1107125)； 国家级大学生创新训练项目(201490052045)

[中图分类号]O174.3[文献标识码]C

1引言

关于数列{sinnk}的敛散性，当k是正整数时，文献[1]对此作了讨论.对于k≥3的情形作者猜想{sinnk}发散，而对k=1和k=2的情形，作者给出了{sinn}和{sinn2}发散的证明，不过证明方法比较复杂，似乎不太适合广泛的学习阅读.以下本文给出一种比较简单的证明数列{sinn}和{sinn2}发散的方法，并同时给出k≥3时，{sinnk}发散的证明.

2主要结论

首先，利用三角函数公式，容易证明以下结论: ∀x，y∈

sin2y=sin2(x+y)-sinx·sin(x+2y)，

(1)

sin2y=cos2(x+y)-cosx·cos(x+2y).

(2)

定理1如果sinp≠0，则数列{sin(pn+q)}，{cos(pn+q)}发散；如果sin(48a)≠0，则{sin(an2+b)}，{cos(an2+b)}发散.

sin2p =sin2(p(n+1)+q)-sin(pn+q)·sin(pn+q+2p)

=sin2(p(n+1)+q)-sin(pn+q)·sin(p(n+2)+q).

(3)

若令n→∞，则有sin2p=A2-A·A=0 矛盾.

sin2p =cos2(p(n+1)+q)-cos(pn+q)·cos(pn+q+2p)

=cos2(p(n+1)+q)-cos(pn+q)·cos(p(n+2)+q).

(4)

若令n→∞，则有sin2p=B2-B·B=0 矛盾.

sin2(24an2) =sin2(an2+b+24an2)-sin(an2+b)·sin(an2+b+48an2)

=sin2(a(5n)2+b)-sin(an2+b)·sin(a(7n)2+b).

(5)

若令n→∞，则有sin2(24an2)=C2-C·C=0.

即

再由

sin(24a(n+1)2-24an2)=sin(48an+24a)

=sin(24a(n+1)2)cos(24an2)-cos(24a(n+1)2)sin(24an2).

(6)

注意到{cos(24an2)}及{cos(24a(n+1)2)}有界.令n→∞，则有

又

sin(48a)=sin[48a(n+1)+24a-(48an+24a)]

=sin[48a(n+1)+24a]cos(48an+24a)-cos[48a(n+1)+24a]sin(48an+24a).

(7)

注意到{cos(48an+24a)}及{cos(48a(n+1)+24a)}有界.再令n→∞，则有sin48a=0矛盾.所以， {sin(an2+b)}发散.

sin2(24an2) =cos2(an2+b+24an2)-cos(an2+b)·cos(an2+b+48an2)

=cos2(a(5n)2+b)-cos(an2+b)·cos(a(7n)2+b).

(8)

若令n→∞，则有sin2(24an2)=D2-D·D=0.即

再由

sin(24a(n+1)2-24an2)=sin(48an+24a)

=sin(24a(n+1)2)cos(24an2)-cos(24a(n+1)2)sin(24an2).

(9)

注意到{cos(24an2)}及{cos(24a(n+1)2)}有界.令n→∞，有

又

sin(48a) =sin[48a(n+1)+24a-(48an+24a)]

=sin[48a(n+1)+24a]cos(48an+24a)-cos[48a(n+1)+24a]sin(48an+24a).

(10)

注意到{cos(48an+24a)}及{cos(48a(n+1)+24a)}有界.再令n→∞，则有sin48a=0矛盾.所以，{cos(an2+b)}发散.

通过定理1证明，很容易得到以下两个推论：

推论1定理1中，若p=1，q=0，则数列{sinn}，{cosn}发散.

推论2定理1中，若a=1，b=0，则数列{sinn2}，{cosn2} 发散.

为了进一步证明对任意的正整数k，数列{sinnk} 发散，还需要两个引理作为铺垫.

引理1设k为正整数，则存在整系数多项式f(x)，使得

sin(2kx)=cosx·f(sinx).

这个结论只要反复利用正弦的倍角公式，即可证明.

引理2设ψ(x)是次数不低于1的整系数多项式，则数列{sinψ(n)}不可能以零为极限.

证对ψ(x)的次数使用归纳法.

当k=1时，ψ(x)=px+q，其中p，q 为整数.由定理1可知{sinψ(n)}发散.所以，k=1时命题成立.

而

sin[ψ(n+1)-ψ(n)]=sin(ψ(n+1))cos(ψ(n))-cos(ψ(n+1))sin(ψ(n)).

故

但ψ(x+1)-ψ(x)是k次多项式，由归纳假设

矛盾.所以，命题对k+1亦成立.

定理2设k为正整数，则数列{sinnk}发散.

由引理1知，存在整系数多项式f(x)，使得

sin(2k·nk)=cos(nk)f(sinnk).

由f(x)的连续性可知

sin[(n+1)k-nk]=sin(n+1)kcosnk-cos(n+1)ksinnk.

令n→∞，有

但ψ(x)=(x+1)k-xk是k-1次多项式，所以当k>1时与引理2的结论矛盾.

当k=1时，

同样矛盾.

综上所述，当k是正整数时，{sinnk}发散.

[参考文献]

[1]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社，2006.

[2]李文荣.分析中的问题研究[M].北京:中国工人出版社，2001.

[3]钱昌本.高等数学解题过程中的分析和研究[M].北京:科学出版社，1999.

[4]侯云畅，冯有前，刘卫江.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2000.

Proof of Sequence {sinnk} Divergence

JIAOHong-ying，LIUWei-jiang，LIANGFang-chi

(Science of College， Air Force Engineering University， Xi’an 710051， China)

Abstract:When k is a positive integer， the sequence {sinnk} of convergence and divergence of the literature [1] only gives {sinn} and {sinn2} diverge proof， but proof complexity， inconvenience read. In this paper， we studied two aspects: on the one hand is the use of a simple method proof {sinn} and {sinn2} divergence; On the other hand proved an important conclusion that {sinnk} diverge.

Key words: sequence; convergence and divergence; limit