双调和Abel-Poisson算子对Hölder函数类的逼近
2016-01-06有名辉
双调和Abel-Poisson算子对Hölder函数类的逼近
有名辉
(浙江机电职业技术学院数学教研室，杭州310053)
[摘要]建立了双调和Abel-Poisson算子对Hölder函数类的逼近度的渐进等式，解决了双调和Abel-Poisson算子和Hölder函数类的Kolmogorov-Nikol’skii 问题.
[关键词]双调和Abel-Poisson算子； Hölder函数类； 逼近； 渐进等式； Kolmogorov-Nikol’skii问题
[收稿日期]2015-03-20;[修改日期]2015-05-15
[中图分类号]O174.42[文献标识码]A
1引言
记C2π是周期为2π的连续函数的全体，对f∈C2π定义范数：
若f∈C2π满足不等式
‖f(x+h)-f(x)‖∞≤|h|α(0<α≤1)，
(1)
则称f(x)满足Hölder条件，满足条件(1)的函数的全体称为Hölder函数类，记为Hα.
若f∈C2π满足不等式
‖f(x+h)-2f(x)+f(x-h)‖∞≤2|h|α(0<α≤2，|h|≤2π)，
(2)
则称f(x)满足Zygmund条件，满足条件(2)的函数的全体称为Zygmund函数类，记为Zα.
对于C2π中的可积函数f，定义双调和Abel-Poisson积分A2(f，r，x)如下：
考查双调和Abel-Poisson积分算子对某一函数类K的逼近度，通常用量
(3)
来表示.如果存在函数φ(1-r)=φ(K;A2(f，r，x);(1-r))满足：
E(K，r)=φ(1-r)+o(φ(1-r))(r→1-0)，
则称算子A2(f，r，x)和函数类K的Kolmogorov-Nikol’skii 问题[3]解决了.
上个世纪60年代，Kaniev[4]，Pych[5]研究了K=H1的情形，并取得了一定的成果.如1968年，Pych[5]建立了如下渐进等式
2000年， Zhigallo和Kharkevych[6]把Pych的结果进行了如下推广：
其中
对于K=Hα(0<α<1)的情形，近些年来，一直未见相关研究成果出现.本文在此主要研究双调和Abel-Poisson算子对Hölder函数类Hα(0<α<1)的逼近.
2主要结果
定理1设0<α<1，E(Hα，r)如式(3)定义，则r→1-0时，有如下渐进等式：
(4)
因此，利用式(1)， 即得
(5)
显然|t|α∈Hα，并且
(6)
结合式(3)，(5)及(6)可得
(7)
记
∶=I1+I2.
(8)
经过简单的计算，不难得到
(9)
结合式(9)，可知
(10)
其中
(11)
利用变量代换，可得
(12)
利用β函数和Γ函数[7]的性质，可得
(13)
同时，不难证明
(14)
再把式(13)，(14)代入到式(12)，可得
(15)
把式(15)代入到式(11)，便得
(16)
(17)
结合式(16)，(17)，则有
(18)
考查式(10)中的积分，经过细致的计算，不难算得
(19)
把式(18)，(19)代入式(10)，可知
(20)
以下考查式(8)中的I2，经过简单而细致的计算，可得
(21)
利用式(21)，易得
I2=I21+O((1-r)2)，
(22)
其中
(23)
再次利用β函数和Γ函数的性质，可以算得
(24)
把式(24)代入到式(23)，并结合式(22)，得
(25)
结合式(17)和式(25)，可知
(26)
把式(20)、(26)代入到(8)，并结合式(7)，便得
推论1设0<α<1，E(Zα，r)如式(3)定义，则r→1-0时，有如下渐进等式：
[参考文献]
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[7]Γ.M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第二卷)[M].北京：高等教育出版社，2006.
On the Approximation of Functions of the Hölder Class by
Biharmonic Abel-Poisson Integral
YOUMing-hui
(Mathematics Teaching and Research Section，Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering，
Hangzhou 310053， China)
Abstract:This paper establishes the asymptotic equality of the upper bound of the deviation of the biharmonic Abel-Poisson integral from functions of the Hölder class， and solves the Kolmogorov-Nikol’skii problem of the biharmonic Abel-Poisson integral and the functions of the Hölder class.
Key words: approximation; biharmonic Poisson integral; Hölder class; asymptotic equality; Kolmogorov-Nikol’skii problem
