让数学思想更贴近儿童的认知原点

卞庆龙

《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”因此，模型思想是小学数学教学必须渗透的最基本的数学思想之一。“探索规律：间隔排列”是苏教版三年级《数学》上册的内容，扬州市小学数学名师工作室推出“间隔排列”这节课，以引导学生探索“间隔排列的规律”为载体，渗透数学模型的思想，让听课教师获益匪浅。

【片段一】创设生活情境，感受间隔排列数学模型

师：生活中也有这样的现象。（课件出示：人行道、围墙、减速带、手链图片。）

生1：人行道上红白瓷砖一一间隔排列。

生2：围墙上砖柱和栅栏一一间隔排列。

生3：减速带上黑黄两色一一间隔排列。

生4：手链上黑红珠子一一间隔排列。

师：你能举出生活中这样的一些例子吗？

生5：教室里，桌子、椅子一一间隔排列。

生6：马路边，树、空档一一间隔排列。

师：你们能用喜欢的图形或者符号创造一组一一间隔排列的物体吗？请试着在作业纸上画一画。

教师出示学生若干作业后重点展示其中两幅图：

（1）○△○△○△○△○△○△

（2）？！？！？！？！？！？

师：比较一下，这几组间隔排列有什么不一样的地方？

生7：图形、符号不一样。

生8：有的图形首尾相同，有些图形首尾不同。

师：我们不仅要关注图形，还要关注其中的数学知识。

【赏析】教师让学生从课件呈现的他们熟悉的生活情境中去寻找符合间隔排列规律的现象，如不同颜色的瓷砖、院墙的栅栏和砖柱、减速带的不同颜色。再让学生列举生活中符合间隔排列规律的例子。目的是让学生对一一间隔排列的认识进一步深入，让学生用数学的眼光审视他们熟视无睹的事物，去发现生活中隐藏的数学现象、问题，让学生感觉到数学就在他们身边，有利于培养学生的数学意识。当学习情境和学习素材都贴近儿童生活时，学习就“像呼吸一样自然”。

要把高度抽象、概括的模型思想渗透给学生，我们就必须让数学模型的建立顺应儿童的数学思维。教学中，教师让学生用图形或者符号来表示间隔排列的规律，画图可以帮助学生直观地理解数学，把抽象、复杂的数学问题变得简明、形象。当学生用图形、符号把一一间隔排列的规律表示出来的时候，说明学生对数学建模的思想已经有了初步的感受，学生对观察到的现象都经历了分析、比较、概括、归纳、抽象、符号化的建模过程。

【片段二】呈现童话情境，感知数量关系模型

师（投影出示教材中的主题图）：你们能说说图中一一间隔排列的物体吗？

生1：兔子、蘑菇一一间隔排列。

生2：手帕、夹子一一间隔排列。

生3：木桩、篱笆一一间隔排列。

师：比一比，每排两种不同物体的个数分别是多少？哪种物体多？

生4：兔子比蘑菇多一个，木桩比篱笆多一个，夹子比手帕多一个。

师：有没有人没有数就发现兔子比蘑菇多一个、夹子比手帕多一个？

生5：我没有数。我是这样想的，从左到右，一只兔子对着一个蘑菇，一个蘑菇对着一只兔子，最后一只兔子没有对着蘑菇，所以兔子比蘑菇多一个。其他的也一样。

师：一只兔子对着一个蘑菇，一个蘑菇对着一只兔子，最后一只兔子没有蘑菇对着，所以兔子比蘑菇多一个。夹子和手帕、木桩和篱笆数量关系的道理也是一样的。

（学生在主题图上分组并圈一圈。）

师：我们可以用符号表示这些物体，比如用△、○表示夹子和手帕，也可以用它们表示木桩和篱笆或者兔子和蘑菇。大家再用符号画一画，分一分组。

（学生画，并用箭头分组表示。）

师：如果两端物体相同，哪种图形多？多几个？为什么？

生6：○比三角形多1个。

生7：○的个数=△的个数+1。我们把○和△两个一组、两个一组地分成若干组，最后一组的○没有△对应着，所以○比△多1个。

师：现在还有数的吗？

生8：用数的方法不好，用分组画圈的方法比较方便。

【赏析】主题图呈现的是一个森林舞会的童话情境，富于童趣，将知识、思想、情感融于一体，有助于激发学生的学习兴趣。

学生经历了对大量间隔排列素材的体验，对间隔排列的模型有了丰富的感受。当学生将间隔排列以符号化的方式呈现出来时，学生不仅进一步感知两种物体间隔排列的规律，而且归纳出每排中首尾物体相同时的数量关系模型：两端物体相同时，两端物体的数量=中间物体数量+1。

当学生把△和○分组，让它们一个对着一个的时候，虽然学生没有说出“一一对应”这个术语，但实际上学生已经感悟到一一对应的思想，分组实际上是“一一对应”思想的一种儿童化的个性表达。在解决实际问题的过程中建立了数学模型，还必须从数学角度对数学模型进行解释。这里，学生正是运用“一一对应”的思想对数量关系模型做出了解释。

【片段三】提供运用情境，感悟模型思想

1.课件出示：下面每题两种图形中哪种图形多？为什么？

交流讨论。

生1：第1小题△和○一一间隔排列，两端都是△，所以△比○多一个。

生2：第2小题，笑脸和半圆同样多。因为笑脸和半圆一一间隔排列，两个一组、两个一组地分，最后也正好是一组，没有剩余，所以○的个数等于月亮的个数。

生3：第3小题虽然不知道△和○一共有多少个，如果把△和○两个一组地分组，正好分成若干组，没有剩余，所以△和○一样多。也就是说：两种物体一一间隔排列，两端物体不同时，两种物体数量相等。

2.课件出示：如果把○和□一一间隔排成一列，□有10个，○可能有几个？

□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □

生4：如果在10个□之间插入○，一共需要9个○。

生5：如果在○之间插入10个□，就需要11个○。

生6：如果在每个□前面或者后面各插入一个○，这样就需要10个○。

师：你们用什么方法得到答案的？

生7：我用画图的方法得到的。

生8：我是根据规律计算的。

生9：画图的结果证明我们发现的规律是对的。

3，课件出示：男生女生排队游戏。

选3男3女，如果要求一男一女间隔排成一列，可以怎样排？如果把排成的一列改为围成一圈，怎么排？如果不符合要求，应该怎样调整？（过程略）

【赏析】建立数学模型后，还需运用模型去解决现实问题，接受实践的检验。在对模型进行运用、验证的过程中，学生进一步加深对模型的感悟。

教师在引导学生解决第1题第（2）小题时，发现“两端物体数=中间物体数+1”的模型不再适用，于是对原有模型做修正，建立新的模型，即两端物体不同时，两种物体数量相等。第2题是一道开放题，无论排列方式如何变化，始终运用的都是两种数量关系模型，在对模型运用中加深学生对两种数学模型的感悟。结尾处的游戏，不仅是运用数学模型解决问题，而且寓教于乐，能够再次调动学生学习的积极性。这3道题既可以借助已经建立的数学模型来解答，也可以借助操作直接得知结果。教师借助操作求解的结果来帮助学生验证、确认运用模型解答的正确性和模型的准确性，也就是对模型做出评价，使得学生认识到：运用数量关系式计算的结果与实际情况一致，说明模型是正确的，我们就可以运用数学模型来解决实际问题；如果运用关系式计算的结果与实际操作结果不同，那就要重新建立模型或者修正模型。

在教学中，教师在引导学生对现实问题表征的过程中，用数学的语言、形式刻画现实问题，形成了数学模型，而后再运用模型解决现实问题。必须注意的是，在渗透数学思想的教学过程中，我们要依据儿童的学习状态和思维起点，创造儿童熟悉或者感兴趣的情境，采用适合儿童认知特点的方式进行数学建模，渗透模型思想。我们只有了解儿童认知原点，才能促进儿童思维的发展。学生感悟到了数学思想，积累了数学的活动经验，才能提升数学学科核心素养。

责任编辑 周瑜芽