活化思维，直抵创新灵智之门

进入21世纪，一批教育学者吁求“作为教育，不仅仅要授予知识，更要培养能力，启迪智慧，教给人生的经验”，随之一些数学教育实践者开始把智性数学、智趣数学等作为自己的教学主张。无论是发展智性，还是追求智趣，其核心成分一定是思维。因此，我们从事数学教育，应抓住思维这条主线，激活学生思维，发展学生智慧。当学生形成了一种创新的姿态，拥有了一个活性的大脑，那么学生的智慧潜能将获得更好的开发。

一、激活课堂，还学习以生动

现在不少课堂教学尤其是高年级的课堂教学比较沉闷，我们希望课堂教学能更生动些、更智慧些、更有生命力些。这里的“生动”，主要指心态的年轻，不老化，不僵化，无羁绊，无框框，勇于探求，刻意求新，具有“智慧地巡游和飞跃的能力”。没有生动，就没有创造。生动，是新生的萌动，是新思的舞动，是新意的显现和涌动。

教学呼唤活的课堂，而这课堂的“活水之源”，正是我们教师。以数学课堂为例，激活数学课堂教学，就是学生在教师的引导下，围绕数学问题，通过启发点拨，引起困惑，唤起向往。激活数学课堂，说到底就是要激发学生的创造欲望，激活学生的创新思维。

1.教师要善于为学生提供一种开放的问题情境。开放意味着策略的多样化，意味着方法的不确定性。一个好的问题情境，能让学生从中发现新视角，寻觅新路径，获得新突破。一位教育学者说过：海越宽，风越大，浪花才能开得更美。学生的开放意识只有在开放的问题“海洋”中才能得到培养和激发。

在教学《数学》五年级下册“分数加法和减法”时，为了培养学生计算的灵活性，教师特意增加一个学习内容，先让学生自己尝试计算“1/2+1/4+1/8”，再扩展到计算“1/2+1/4+1/8+…+1/64+1/128”。学生发现如128果沿用原先的方法就太麻烦了，寻找更为简便的计算方法的想法自然生成。在计算“1/2+1/4”时，有学生发现了数与形之间的对应关系，如图：涂色部分、空白部分、单位“1”三者在一幅图中得到了完美融合，就这样借助“数形结合”，运用“逆向思考”，学生成功创造出了另一种更简便的计算方法。练习阶段，教师又补充了一道计算题：1/4+1/8+1/16，看学生能不能积极思考，灵活计算。结果学生的计算方法依然丰富多样：有的是先通分再计算的；有的用“1-1/16-1/2”进行计算的；还有的是直接用“1/2-1/16”计算的……

2.激发学生的创造欲望，注重学生非逻辑思维能力的培养。非逻辑思维是相对于逻辑思维而言的，是指不受规则束缚的一类思维方式，直觉、顿悟、联想是其主要表现形式。笔者曾研究过“智慧”的内涵，智慧是在一定情境中诞生的，以能力为核心，以创造为方向，以机智为主要表现形式的一种综合品质。注重非逻辑思维能力的培养，不失为一条积淀、生成数学智慧的可行路径。在教学中，我们要鼓励学生大胆猜想，比如在推导圆的面积计算公式时，我们可以改变先推导再揭示结论的做法，让学生猜想：把一张正方形纸片绕中心点对折四次后，怎样剪就可以得到一个比较标准的圆？这时可以让学生尽快说出自己的第一感觉（斜着剪、弯着剪、直着剪），然后再通过动手操作，初步验证学生的想法。在学生有了把圆平均分成若干份，得到的是一个近似的三角形的直观体验后，再鼓励学生把圆剪拼成其他图形，并在逻辑思维的支持、配合下，最终推导出圆的面积计算公式。这样做，尽管可能多走了一些弯路，但在探路的过程中却赢得了犯错的机会，这在学生的智慧发展过程中是弥足珍贵、不可替代的。正如诺贝尔化学奖获得者保罗·伯格所说：“教育对人一生最大的贡献是帮助你发展好奇心和培养你寻找有创造性答案的直觉。”

3.要多给学生联想、想象的机会。爱因斯坦曾说：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括世界上一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”在种种法规、准则、限定充斥的现代社会，唯有想象的领域拥有着最大限度的自由。受课程内容和教学进度双重限制的数学学习，也只有想象的空间拥有着无限的自由。比如，在教学“确定位置”时，让学生想象“清凉岛在灯塔北偏东40°方向20千米处”，其实包含了先确定一个面（东北方向或北偏东），再确定一条线（北偏东40°方向），最后确定一个点（北偏东40°方向20千米处）等三个层次，而这与人们由远及近观察一个物体的顺序（由点到面，再由面到体）恰好相反。再如学习了“认识比”后，让学生根据“2：1”想象出相应的图形。学生想到了三角尺上斜边的长与30°角所对的边的比是2：1，用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积与一个三角形面积的比是2：1，在正方形内画一个最大的圆，再在圆内画一个最大的正方形，大正方形与小正方形面积的比也是2：1，把一个圆柱体木块削成一个与它等底等高的圆锥体，削去部分的体积与圆锥体积的比是2：1，等等。有了求新的意识、求变的习惯，学生才能从寻常中发现不寻常，才能突破成规与定式，迎来创造的新天地。

二、减轻负担，还学习以轻松

我们的学生学习负担太重，每天忙于应付各种作业，很少有时间作一些深入的、潜心的思考。一旦遇到比较开放的问题，也总是选择比较稳妥的、简约的解法，因为这样既把分数这个命根子抓住了，又能挤出一些时间去完成接踵而来的其他作业。有专家建议教师应让学生掌握两种套路，一种是应试的套路，还有一种是创新的套路。这样的要求对于少数优秀生来说还比较合适，对于大多数学生来说则几乎不可能达到。不从根本上减轻学生的作业负担，学生的思维能力、探索精神是不可能得到充分发展的，学生头脑中原有的创新因子也会因为得不到合理的激发而逐渐湮灭。犹如种稻谷，表面看秧苗之间留有太多的空隙，实际是为了将来更好地生长。如果种得过厚、过密，则会因为空隙小而减产。

1.教师要学会对作业进行筛选。如果我们把学生完成作业的精力投入看作一个定值，与之相关的两个变量“作业长度”和“思维深度”则成反比例关系。学生的作业量越多，作业中附含的智慧值就越低；相反，学生的作业量越少，学生在作业中越有可能诞生精彩观点和奇妙想法。

比如在教学“方程”单元中的“整理与应用”时，对于教材中的9道习题，如果教师采用“讲练结合”或者“先练后评”的方式，学生势必会觉得题多类杂，提不起兴趣。笔者在教学时一反传统做法，先让学生把教材中的9道题进行归类，哪几题是形如“ax±b=c”的类型？哪几题是形如“ax±bx=c”的类型？在学会归类的基础上，再让学生从上述两种类型中各选择一道习题进行解答，解答时以一种方法为主，其余的方法只要求列方程不解答。这样原本需要列方程解答的9道题一下缩减为两道题，学生参与的积极性非常高，他们的表现也着实令人称道。在解答“盒子里装有同样数量的红球和白球。每次取出6个红球和4个白球，取了若干次以后，红球正好取完，白球还有10个。一共取了几次？盒子里原来有红球多少个？”这道思考题时，学生列出了6x-4x=10、4x+10=6x、（6-4）x=10等多种不同的方程。要让学生“做加法”，教师就要善于“做减法”。如果没有教师适时归类、筛选，学生又哪能在有限的时间里想出这么多的独特解法呢？

2.教师除了要在作业量上为学生“瘦身”外，还要在学习心理上为学生“减压”。我们要勇于为学生创造一种闲暇、轻松的学习生活，让学生先做一个生活人，再做一个学习人。脚步放缓了，时间充裕了，学生才有可能在自己喜欢的领域流连忘返，生根开花。在“方程”单元的练习课上，一位教师注意到学生在完成前几道题时还算顺利，但在做思考题时却明显受到了束缚。看到这种情况，这位教师不失时机地说道：“我们有些同学可能对思考题有一种天然的畏惧感，以为思考题就一定是难题，可事实并非如此。只要你们的思维不被题目外面的红框框给框住，就一定能轻而易举地解答出来。仔细看看，它其实与前面的哪一题的类型是一样的？”大多数学生听了老师的一番话后都忍不住笑了。在轻松的气氛中，他们很快发现刚才的一道思考题与前面已经解决的第十题（师徒两人同时装配计算机，师傅每天装配31台，徒弟每天装配22台。经过多少天师傅比徒弟多装配72台？）类型是一样的。学生克服了心理上的障碍，找到了题目间的联系，问题很快迎刃而解。

学会减负，以轻松的心态、无羁的思维方式来对待学习，就越有可能触摸到未来的创新灵智。

三、巧设“触媒”，还学习以智慧

人的创造潜能，往往需要唤醒，需要合适的“触媒”，需要有效的“煽动”，才能活跃起来，才能发展学生思维。

1.故事浸染。好的数学故事，它糅合了真、善、美等多种人文要素，如能有效地渗透进数学教学中，一定能让学生获得独特的学习体验。比如，在教学“解决问题的策略——转化”这节课时，一位教师为了让学生感受“有时同一类问题尽管应用的是同一种策略，但也选择不同的视角，采用不同的方法”，向学生讲述了一则《于振善“称”地图》的故事：木匠出身的于振善为了解决如何精确测量不规则地图面积的难题，他另辟蹊径，经过反复试验，终于找到了一种独特的方法。学生在听了这则故事后，一方面感觉很惊讶，另一方面又心存疑惑：“于振善其实是应用正比例知识来测量的，可是这其中不变的量是什么呢？”“从课外阅读中，我了解到同种物体的密度一定，也就是物体质量与物体体积的比值一定。可为什么于振善却认为‘质量比等于‘面积比呢？”“是不是因为木板的厚度（高）定，木板的体积和底面积成正比例，所以于振善认定木板的质量与面积也成正比例呢？”学生心中有了疑惑，他们才会去主动寻觅，去发现，去探索。这心中的疑惑，就犹如蒲公英的种子，一旦获得了好的落点，它就会迅速生根、发芽。生疑释疑的过程，不仅内化了所学的知识，沟通了不同知识、不同学科间的联系，还让学生从中领悟到了数学的奇妙乐趣。

借助教师的经历和学生的经验，以数学故事的形式阐释数学知识，渗透数学思想，让数学更好地走进学生的内心世界，正是构建数学故事课程的价值所在。

2.“网海”淘金。有人说：“互联网时代的人群大致可分两类：一类是被网络利用的人，一类是利用网络的人。后者的学习力、生存力比前者更强大，更有智慧。”面对“网海”，谁能战胜自我，谁就“天高海阔”；面对“网海”，谁能做智慧“网人”，谁就能游刃有余，驶向理想的彼岸。

要引领学生争做智慧“网人”，教师理应身先士卒，做好表率。一旦读到与数学有关的经典故事、奇思妙想、智力测验等，可立即加入收藏或用笔记录下来。勤读与勤记相结合，是发展创意思维、催化创意思维的有效方式。如果学生也能受此感染，常带着创意思维的追求去“网游”，久而久之，积淀下的便是智慧的高级财富。

从《邮票中的数学家和数学元素》故事中，学生知道了什么是完美正方形，直观感知了毕达哥拉斯的“百牛定理”，接触到了莫比乌斯带。欣赏邮票的过程，成了初步了解数学发展史的过程。勤于进行这样的漫游与神思的人，头脑往往更灵活，并且常常能使自己的创意思维进一步完善。

3.谜语启智。“耳到，眼到，口到，心到（打一字）。”“一月一日非今天（打一字）。”“接下来，我就和聪明的××班的孩子们一起开始今天的数学学习之旅。”这是一位教师课前的三句“开场白”。短小的两则谜语，激发了学生的兴趣，激活了学生的思维。看似老套，却依然有其旺盛的生命力。

智力包括观察能力、记忆能力、想象能力和逻辑思维能力。猜谜，便是培养这些能力的好方法。如“泰山中无人无水”猜数字“三”，“语言不通难开口”猜数字“五”，猜谜者正是透过谜面字里行间观察到“泰”字中去掉“人”和“水”是“三”，“语”字中去掉“言”与“口”是“五”。观察是人们认识世界的一个重要途径，我们不仅要勤于观察，还要善于观察，而好的数学谜语无疑是培养学生观察能力的一种好的“触媒”。再如“午后算账”猜数学名词，猜谜者若不知“天干地支”纪年法，不了解“午马”后面是“未羊”的话，是很难猜得“未知数”这一谜底的；以“鼎足之势已成定局”猜一数学工具，如果没有一定的想象力，由“三足鼎立”就很难联想到相应的数学图形。

活化思维，应把课堂作为主阵地，还学习以生动的姿态；活化思维，应释放学生的身心，还学习以轻松的心态；活化思维，还应提供适当的“触媒”，还学习以智慧的情态。当学生的数学学习逐步达到了生动、轻松、智慧的三重境界，那么学生的创新能力、创新精神乃至创新人格才能真正树立起来。

附

任卫兵老师“简单的周期”教学设计片段

一、感知规律

1.出示△□○，让学生说出每个图形的名称。

2，接着出示□○△□○△，让学生猜一猜：下一个是什么图形？

师：你们是根据什么来确定的？（根据这些图形的排列规律来确定的。）

师：从左边起每3个图形为一组，现在可以看见几组？接下来的第3组，分别是哪些图形？第五组呢？

小结：第一行图形看不出规律，很难确定下一个是什么图形：而第二行图形的规律弄清楚了，我们就很容易确定其中某个位置上的是什么图形。

[设计意图]课始教师没有通过创设情境导入新课，而是开门见山用一列没有规律的图形来“映衬”另一列有规律的图形，让学生初步体会到探索规律、寻找规律时，必须以一定的规律作为判断的依据。

3.出示下一组图形，并提问：下面的一行图形排列有规律吗？

△△○□△△○□△△○□……

学生回答后，进一步明确：第六组的第一个图形是什么？第七组的第三个图形是什么？第八组的第四个图形呢？

[设计意图]通过两个示例使学生意识到周期现象中的规律表现为一个或几个事物依次不断地重复出现，丰富了学生的认识，拓宽了学生的视角，并为进一步学习循环小数等数学知识做好了铺垫。

二、探究规律

（投影显示课本中的情景图。）

师：国庆节期间，到处花团锦簇，张灯结彩，彩旗飘扬。它们的排列有规律吗？

1.研究盆花。

师：我们先来观察盆花，盆花的排列有什么规律？

学生回答后，进一步引导：照这样摆下去，第五组是些什么花？第八组呢？

师：照这样摆下去，左起第15盆是什么颜色的花？做出判断的依据是什么？把你的想法和同桌交流一下。

（1）画图列举。（画圆圈表示盆花，用○表示蓝花，●表示红花，从第1个画到第15个，就能知道它是蓝花。○●○●○●○●○●○●○●○）

（2）推理。（从左起依次给每盆花编号，可以看到第1、3、5……盆都是蓝花，第2、4、6……盆都是红花，因为15是奇数，所以第15盆是蓝花。）

（3）计算。[15+2=7（组）……1（盆）]

师：为什么除以2？“7”表示什么？“1”又表示什么？我们根据什么来确定第15盆花的颜色？

[设计意图]鼓励解决问题策略的多样化，是因材施教、促进每一个学生充分发展的有效途径。教师通过设问，激起了学生思考和探究的欲望。在独立思考、合作交流、归类整理的基础上，学生想到了列举、推理、计算等多种解决问题的方法，从中体验到了成功的乐趣。

2.研究彩灯。

师：刚才研究盆花，同学们想到了列举、推理、计算等多种方法。下面，建议大家用自己喜欢的方法来研究彩灯，看看彩灯的排列有什么规律。

师：如果照这样排下去，左起第17盏彩灯是什么颜色？第18盏彩灯呢？先在小组里说说自己的想法，再独立解决问题。

师：根据什么来确定彩灯的颜色呢？

小结：对于周期性排列，先要分组，确定除以几，然后再根据余数来确定它是第几组里的第几个数。

3.研究彩旗。

师：下面请大家自行研究彩旗的摆放规律，并说出左起第21面彩旗是什么颜色。

[设计意图]在成功解决“盆花”问题的基础上，教师让学生自主选择喜欢的、合适的方法研究“彩灯”“彩旗”问题，实现了“策略多样化”向“策略最优化”的转变。

三、应用规律

1.圈一圈（按照规律在括号里画出每组第32个图形或汉字。）

（1）△△○□△△○□△△○□……（ ）……

（2）数学好玩玩好数学数学好玩玩好数学数学好玩玩好数学……（ ）……

要求学生先独立计算，再填空。

2.探一探。

师：毕达哥拉斯是古希腊的一位大数学家。相传他有一次处罚学生，要这个学生来回数狄安娜神庙前的七根柱子。“你从左边的第一根柱子数起，依次数到最后一根，再往回数，如此反复，直到数到1999时才能停下来。你要告诉我，你停在从左边数起的第几根柱子旁。”你们能应用所学的知识帮助一下那位学生，让他尽快地结束这个处罚吗？

教师组织学生相互讨论，适时地加以引导。

[设计意图]教师通过课本习题的重组以及相关课外资源的拓展，使“圈一圈”“探一探”等多种学习形式有机地融为一体。这样便于学生更完整地认识周期问题，更有利于促进学生思维的发展。《数学家的惩罚》故事，蕴涵着“数学教人求真，更教人求善”的哲学思想，令人回味。

责任编辑：周瑜芽