直线共轭内啮合齿轮副啮合强度分析

徐金波，崔建昆，胡翰林

（上海理工大学 机械工程学院，上海 200093）

0 引言

直线共轭内啮合齿轮泵具有输出压力高、结构简单、流量脉动和噪声小等优点，其优越性能在很大程度上来自于一对特殊的直线共轭内啮合齿轮副，外齿轮的齿廓是容易加工的直线，内齿轮的齿廓是与之共轭的曲线，这种齿形不但强度高，而且作为内啮合齿轮泵使用时，困油容积小，噪声低［1］。

直线共轭内啮合齿轮泵的受力情况与其性能有着密切的关系，不仅直接影响齿轮泵的寿命，而且与齿轮泵的脉动和噪声也有紧密的联系。直线共轭内啮合齿轮除了啮合力外，还受油压力的影响。

本文从该齿轮副的特殊齿形和啮合力的计算入手，对直线共轭内啮合齿轮副进行具体的分析，利用赫兹公式［2］求解出最大接触应力，并与有限元方法求解的结果进行比较。

1 啮合力

常见的用于传动的齿轮，其轮齿的受力分析通常都是比较简单的。但对于直线共轭内啮合齿轮泵，应考虑液压油对轮齿的影响。

1.1 油压对轮齿的影响

如图1所示，以小齿轮中心为原点，其中一轮齿的对称轴为纵坐标建立坐标系xOy。当压强p作用于宽为B的直线齿廓时，取齿廓的一小段dl，则压强p在这段齿廓上产生的压力为dF＝pBdl。

将dF沿x，y向分解，得到：

dFx和dFy产生的力矩为：

图1 直线齿廓轮齿的受力

由于轮齿齿廓各部分受到的压强不同，压强差将产生力矩。如图2所示，设在半径rk1－rk2（rk1和rk2分别为dl段最低点和最高点到小齿轮圆心距离）对应的齿廓部分，轮齿两侧分别受到不同的压强ph和pl。则x方向产生的力矩为：

类似地，y方向产生的力矩为：

由于My较小，为简化计算，将My省略。

当压强p作用于非直线齿廓时，取齿廓的一小段dl，可以得到同样的结论。因此，可以认为轮齿受到的力矩为：

图2 直线齿廓轮齿的力矩计算

1.2 小齿轮的力矩分析

小齿轮受到的力矩包括以下3个部分：

（1）进入月牙块的轮齿外侧与脱离月牙块的轮齿外侧的压强差产生的力矩M1，见图3。根据式（1）有：

其中：Δp为高压区和低压区的压强差，Δp＝ph－pl；ra1为小齿轮齿顶圆半径；rf1为小齿轮齿根圆半径；R为小齿轮或齿圈啮合点处向径值。

图3 力矩M1

（2）啮合的轮齿齿廓被啮合点分为高压区和低压区（见图4），啮合的轮齿在高压区和低压区受力不平衡产生力矩M2。根据式（1）有：

其中：R1为小齿轮啮合点处向径值。

（3）啮合力产生力矩M3，见图5。图5中，γ′为力F延长线与连接K点到齿圈圆心O2的线段O2K的夹角，R2为齿圈啮合点处向径值。

其中：γ为力F延长线与连接K点到小齿轮圆心O1的线段OK的夹角。

由图5有几何关系：

其中：r1为小齿轮分度圆半径；β为小齿轮齿形半角；θ为小齿轮上啮合点处齿厚所对应的圆心角。

在△AKO1中，根据正弦定理，有：

则

将式（5）代入式（4）得：

（4）驱动力矩为T，它由驱动电机传递给小齿轮。

图4 力矩M2

图5 力矩M3

1.3 啮合力的计算

小齿轮受到的转矩有如下的关系：

将式（2）、式（3）和式（6）代入式（7）得：

由式（8）求得啮合力公式为：

2 赫兹接触应力计算

齿面接触计算公式——赫兹理论计算公式为：

以NJB2泵为例，按照赫兹理论公式计算得σHmax＝178.2MPa。

3 啮合强度的有限元分析

从以上理论计算方法可以看出，其中涉及的参数多，误差大，计算过程繁琐，并且不能直观显示齿轮齿面接触应力的具体分布情况，而有限元法则克服了上述的缺陷。

3.1 模型的建立与网格划分

采用参数化方法在Pro/E软件中建立直线共轭内啮合齿轮副三维模型，如图6所示。

将建立的三维模型导入到ANSYS Workbench中划分网格，如图7所示。网格节点数为32 877，单元数为17 164。

3.2 定义接触对、约束条件及加载

本文的齿轮副采用面－面接触的方式，其中大齿轮为目标单元，小齿轮为接触单元。小齿轮的中心添加Cylindrical Support，并将Tangential设定为Free，内齿轮添加Fixed Support。啮合力最大时M1＝M2，小齿轮上加载扭矩为逆时针扭矩T。

3.3 分析结果显示

图8为啮合过程应力云图。图9为齿圈应力云图，图10为小齿轮应力云图。由图9和图10可知：啮合过程中最大接触应力为167.18MPa，最大等效应力出现在内齿圈接触面上；小齿轮最大应力也在接触面上，齿根处应力较大。

图6 内啮合齿轮副模型

图7 划分网格

图8 啮合过程应力云图

图9 齿圈应力云图

图10 小齿轮应力云图

3.4 计算结果对比分析

利用有限元软件ANSYS Workbench分析得到了轮齿接触的等效应力分布图，比较有限元分析结果与理论公式的计算结果，两者的误差为6.5%，满足工程要求。

4 结论

本文考虑液压油对轮齿的影响，对直线共轭内啮合齿轮泵啮合过程进行了受力分析，利用赫兹公式求出最大接触应力。在理论分析的基础上，运用ANSYS Workbench软件对齿轮副啮合过程进行应力分析，得到齿轮接触应力分布图。这两种方法都适用于直线共轭内啮合齿轮泵齿轮强度的校核，但有限元软件分析更直观地显示齿轮接触应力的分布状况。因此，将理论公式与有限元软件分析相结合，对内啮合齿轮泵的优化设计和可靠性设计有重要的应用价值。

［1］崔建昆，秦山，闻斌.直线共轭内啮合齿轮副啮合特性分析［J］.机械传动，2004（6）：12－15.

［2］邱宣怀.机械设计［M］.第4版.北京：高等教育出版社，1997.

［3］吴序堂.齿轮啮合原理［M］.西安：西安交通大学出版社，2009.

［4］李尚义.谈谈齿轮泵的轮齿接触疲劳强度计算［J］.机床与液压，1988（4）：14－19.