精密测距系统中IIR滤波器的设计

甘伟，李红叶

（1 中国电子科技集团公司第二十研究所，西安 710068; 2 西安理工大学，西安710048）

0 引言

精密测距设备[1]，简称DME/P，它可为飞机提供进近着陆过程中所需的距离信息。精密测距系统由两大部分组成，即机载询问器和地面应答器[2]。当机载询问器发出的询问脉冲被地面应答器所接收到时，地面应答器经过固定延时，发出应答脉冲。机载询问器接收应答脉冲，经过判别，锁定自身询问的应答脉冲后，即可计算出发射询问脉冲至接收到应答脉冲之间的时间间隔T，再利用式(1)计算得到飞机距离L。

式中，T为从发射询问脉冲至接收到应答脉冲所经历的时间，T0为地面设备固定延迟，C为电波传播速度 3×108m/s。

本文研究的主要内容是测距系统中的中频信号解算，图1为中频信号解算的流程图，其中包含多个功能模块如采样、滤波、解调、预选、存储。

图1 中频信号解算流程图

为给出中频信号解算算法中所需的IIR滤波器设计过程，首先需要给出带通采样的原理。

1 带通采样

通信系统中常常采用带通采样的方法来处理信号，一方面可以大大降低采样频率，另一方面还可以完成频谱下搬移的过程。使用带通采样时，为保证不发生频谱混叠，采样频率、信号最高频率、最低频率和信号带宽需要满足一定的条件。若中频窄带带通信号的最高频率为fH，最低频率为fL，带宽为B，要使得采样后的基带数字信号不出现频谱混叠现象，则采样频率应满足以下约束条件[3]：

其中，N是满足上式的正整数且满足条件：

根据这个定理，可以直接将一个中频窄带信号采样数字化，它能同时起到频谱搬移和基带信号数字化的作用。带通采样时，A/D等效于混频器，采样后所需要的输出信号频率：

所需的输出信号频率必须满足Nyquist采样定理即：

若fs为采样频率，fc为载波频率，AD采样相当于混频，所得频点为[0,fs]之间的两个频谱点。在做FFT变换时，我们知道这2个频谱点关于fs2是对称的，因此考虑到对称性可以得到的第一个频谱点为：fo1=|fc-fs|，第二个频谱点为：fo2=fs-|fc-fs|。本文讨论的测距系统的中频载波信号采用 70 MHz即fc=70MHz，采样频率为40MHz，fs=40MHz可得 2个频谱点分别为：fo1=30MHz，fo2=10MHz。因此只需设计出中心频率为10MHz的带通滤波器，便可提取有用信号，便于后续处理。下面给出无限脉冲响应的传递函数和差分方程。

2 IIR滤波器的差分方程

无限脉冲响应滤波器（Infinite Impulse Response,IIR）具有很高的滤波效率，在相同的幅频响应条件下，所要求的滤波器阶数明显比FIR滤波器低。同时，IIR滤波器的设计可以利用模拟滤波器的设计成果。IIR滤波器可以用较少的硬件资源获取较好的滤波器幅频特性。

IIR滤波器，其单位脉冲响应是无限长的，其系统传递函数为：

系统的差分方程可以写成：

在FPGA等数字硬件平台上实现IIR滤波器，由于存在反馈结构，因此受限于有限的寄存器长度，无法通过增加字长来实现全精度的滤波器运算，滤波器运算过程中有限的字长效应是工程实现时必须考虑的问题。

IIR滤波器有直接I型，直接II型，级联型以及并联型4种常用的结构形式。其中，级联型结构便于准确实现数字滤波器的零、极点，且受参数量化影响较小，因此应用比较广泛，下面给出级联型的结构。

考虑到一个N阶系统函数可以用它的零点、极点表示。由于系统函数的系数均为实数，因此零、极点只有两种可能：实数或复共轭对。因此把系统函数的分子分母多项式进行因式分解，则可将系统函数写成：

式中，M1+M2=M，N1+N2=N，ck、dk分别表示实零点和实极点，分别表示复共轭对零点，分别表示复共轭对极点。一个四阶系统的级联结构如图2所示。

图2 四阶IIR数字滤波器的级联结构

3 滤波器设计

IIR级联型滤波器设计包括以下几个步骤：

（1）选择滤波器设计函数[4]

通常采用的滤波器设计函数有以下几种：butter（巴特沃斯函数）、cheby1（切比雪夫 I型函数）、Cheby2（切比雪夫 II型函数）、ellip（椭圆滤波器函数）及yulewalk函数。

（2）设置滤波器设计参数

滤波器设计中常见的设计参数有：采样频率、阶数、根据中心频率和带宽所决定的通带范围、阻带范围、截止频率、通带波纹衰减、阻带波纹衰减等。

（3）将IIR滤波器系数转换成级联型结构

首先根据选定的滤波器设计函数和所需的滤波器参数，生成直接型IIR滤波器系数。然后采用Matlab提供的函数tf2sos将直接型系数转化成级联型系数。

（4）量化IIR滤波器级联型结构系数

要量化IIR滤波器级联型结构的系数首先需要知道量化位数Qnum，滤波器阶数order，和IIR直接型滤波器系数b，a。然后调用自编的2个函数：直接量化函数 Quantization_coe和级联量化函数IIR_cascade_quantization对滤波器系数进行量化。

（5）根据量化系数编写VHDL代码在FPGA上实现IIR级联滤波器的功能

这个部分需要注意：量化后的级联型结构系数，可能会有负数产生，而在FPGA上要对负数进行操作，实际上是对补码进行操作。因此这部分内容的关键之处是将那些量化后的级联型负系数转化成补码，然后再对转化后的系数进行操作。

4 精密测距系统中滤波器设计

首先根据IIR级联型滤波器设计步骤来实现精密测距系统中IIR级联滤波器的设计。

（1）根据各滤波器设计函数的特性，本系统中选用cheby1函数（切比雪夫I型函数）来设计滤波器。

（2）精密测距系统的中频载波为70MHz的信号，采样频率为40MHz，因此AD采样后可得2个频谱点分别为30MHz，10MHz。本文只需设计出中心频率为 10MHz的带通滤波器，便可提取有用信号。本系统选取的滤波器阶数为8阶，通带衰减为0.5dB，通带范围为[8，12]MHz。

（3）调用函数：[b,a]=cheby1(4,0.5,Wn)来生成直接型IIR滤波器分子多项式系数b和分母多项式系数a。其中参数Wn=2*[8,12]/40。产生的直接滤波器分子和分母多项式系数如表1所示。

表1 直接型IIR滤波器系数

调用函数tf2sos将直接型分子和分母多项式系数b和a，转化成级联型分子和分母多项式系数B和A。如图3所示。

图3 未量化前的级联型系数B和A

（4）调用自编的2个函数：直接量化函数和级联量化函数对滤波器的系数进行量化。本系统中量化位数取为12，量化位数过小，量化后的结果会导致滤波器不能工作。量化位数过大，会导致后续FPGA的硬件资源浪费。量化后的级联型系数如图4所示。

图4 量化后级联型系数Qb和Qa

（5）根据所获得的量化后的级联型系数，调用自编函数Negative_complement，将负数转化成补码。如图5所示

图5 负数转成补码后的量化系数QB和QA。

至此，便可以根据系数QB和QA直接在FPGA平台上进行VHDL编程。

5 实验仿真

5.1 量化位数影响分析实验

考虑到量化位数会严重影响量化后滤波器的性能，本实验主要是为了说明为什么精密测距系统要选取 12位作为量化位数。图 6（a）给出了 IIR滤波器未量化时的幅频，图6（b）给出了量化位数为11位时IIR滤波器量化后的幅频响应，图6（c）给出了量化位数为12位时IIR滤波器量化后的幅频响应。可以看出量化位数取 11位时，量化后的滤波器幅频响应特性发生了畸变，量化位数取 12位时，量化前后的幅频响应特性没有多大变化，能满足滤波器设计的量化位数条件。

图6（a） 滤波器未量化时的幅频响应

图6（b） 量化位数11时滤波器量化后的幅频响应

图6（c） 量化位数12时滤波器量化后的幅频响应

5.2 IIR滤波器滤波性能实验

本文所研究的精密测距系统中，使用了两种脉冲作为基带信号，在 IA模式下，基带信号为高斯脉冲对。在FA模式下，采用cos/cos2波形的脉冲对作为基带脉冲。鉴于中频信号解调与基带信号的波形无关，文中仅使用高斯脉冲对作为基带信号，对所设计的IIR滤波器进行仿真验证。

根据高斯脉冲表达式，在Matlab中对基带信号进行模拟，选取采样频率为40MHz，得到如图7所示基带信号，图中纵轴表示信号幅度值，横轴表示时间，单位为采样点的个数，相邻采样点间隔为25ns。

图7 基带信号

本测距系统中，首先生成一个 70MHz的中频余弦载波信号，然后采用该载波信号对基带信号进行调制，得到如图8的调制信号。

图8 调制信号

根据本文所设计的IIR级联型滤波器，对图8所示的调制信号进行滤波、正交幅度解调，所提取的包络信号如图9所示。

图9 IIR滤波解调后的信号

从图9可以看出，本文所设计的IIR滤波器能有效的提取出，所需要的包络信号。

6 结论

本文呈现了精密测距系统中IIR级联型滤波器的设计算法流程，并给出量化IIR级联型滤波器的量化函数，为从事IIR滤波器设计的读者提供了快捷的设计和检验方法。仿真验证了所设计的IIR滤波器在精密测距系统中的滤波性能，并仿真分析了量化位数的选取对滤波器性能的影响，为从事 IIR滤波器设计的工程师，在选取量化位数时，提供了一种方法。

[1]周其焕,魏雄志,崔红跃.微波着陆系统[M].北京:国防工业出版社,1992

[2]黄伟.精密测距系统中频信号解算的仿真与验证[J].现代导航,2014,5(6):426-431.

[3]杨光耀.仪表着陆与伏尔导航系统的研究与实现[D].西安电子科技大学硕士学位论文,2010.

[4]杜勇,路建功,李元洲.数字滤波器的 MATLAB与FPGA实现[M].北京:电子工业出版社,2012.