基于改进配点法的最省燃料交会研究

周 洋，闫 野，黄 煦

（国防科学技术大学 航天科学与工程学院，湖南 长沙 410073）

0 引言

解决有限推力航天器最优交会问题主要有间接法和直接法［1］。直接法是将连续的最优控制问题离散并参数化，直接用数值方法寻优，由于计算机技术进展获得了很大的发展［2］。间接法是基于Pontryagin极大值原理将最优控制问题转化为一个边值问题，但协态变量的初值难以选取。直接配点法将控制变量和状态变量同时离散，也称作直接配点非线性规划（DCNLP）［3］。文献［4］用非线性规划法研究了共面航天器的最优交会问题，但其设计变量多达159个。文献［5］先求取变轨问题的双脉冲最优解，再用Gauss伪谱法求解有限推力解。文献［6］用高阶多项式以获得更高的精度，但增加了非线性规划（NLP）问题求解的难度。文献［7］用五阶多项式拟合状态量解决了最小时间拦截等简单问题，具较高的精度。

本文基于改进配点法，对有限推力航天器最省燃料交会进行了研究。

1 问题描述

航天器交会过程中若目标航天器运行于圆轨道，且相对距离远小于目标轨道半径时，则可由CW方程近似描述两个航天器的相对运动。C-W方程建立在目标轨道坐标系中，坐标原点O位于目标质心，Ox轴沿目标的地心矢径方向，Oz轴与目标轨道角动量方向重合，Oy轴由右手法则确定。C-W方程具体形式为

式中：x，y，z别为追踪航天器的位置状态；aTx，aTy，aTz分别为3个方向的推力加速度；n为目标轨道角速度。

优化性能指标为

由于采用有限推力，推力加速度aT满足约束

DCNLP中最常见是三阶Simpson法。具体为：先将系统整个时间过程分为N段，每段的两个端点为节点，在两节点间用三次Hermite多项式代表状态变量随时间的变化关系，并假定控制量变化为线性［3］。

每一段区间为［ti，ti＋1］，记

节点间状态量用三次Hermite多项式表示

则多项式的系数矩阵

形成由

缺陷向量构成等式约束。此处：

2 改进配点法

文献［7］指出，用更高阶Gauss-Lobatto多项式表示节点间的状态量时有更高的精度，但会加大求解NLP问题的难度。但如系统方程有

形式，就可用五阶多项式拟合状态量的变化，同样假设控制量的变化为线性，能在不增加约束条件的情况下提高精度。对C-W方程，有

式中：X1，X2分别为位置和速度状态，且X1＝［xyz］T，X2＝ ［vxvyvz］T；A，B为系数矩阵，且

状态量X1用五阶多项式表示为

则五阶多项式的系数为

与三阶直接配点法类似，形成缺陷向量

其中，中间状态量X1（tc1），X1（tc2），X2（tc1），X2（tc2）满足

用SQP算法优化时直接将缺陷向量作为约束条件，效率非常低。将约束改写为

的线性形式后，优化效率可明显提高。此处：

为需优化的状态量和控制量；

beq＝ ［（X0）TQ1Q1…Q1（Xtf）T］T.此处：Z1＝（X11）T；Z2＝（X21）T；Z3＝（U1）T；Z4＝（X12）T；ZN＋1＝ （X1N＋1）T；Z2N＋1＝ （X2N＋1）T；Z2N＋2＝ （U2N＋1）T；C＝ ［I6×606×3］；CL＝［C1C2C3］3×9；CU＝［C4C5C6］3×9；Q1＝03×4。其中：C1～C6分别为X1a，X2a，Ua，X1b，X2b，Ub的系数矩阵。

3 仿真与分析

本文算例是初始状态和终端状态固定的非共面时间自由交会，验证改进配点法的有效性。设追踪航天器的最大推力加速度0.8m／s2，目标航天器处于轨道高度500km的圆轨道。初始相对状态和终端相对状态分别为

式中：x0＝1 000m；y0＝2 000m；z0＝1 500m；v0x＝－10m／s；v0y＝－20m／s；v0z＝－15m／s；xtf＝ytf＝ztf＝0m；vtfx＝vtfy＝vtfz＝0m／s。将整个过程分为N＝10段，用改进配点法将问题转为NLP问题，再用SQP算法进行参数优化。优化结果为：整个交会时间229.82s，消耗速度增量27.26m／s。交会过程中推力加速度如图1所示，状态量如图2所示。

图1 推力加速度Fig.1 Thrust acceleration

图2 状态量Fig.2 State

为分析改进配点法的优化精度，用优化的推力加速度对C-W方程进行数值积分，结果如图3所示。由图可知：最终交会的精度很高，位置精度10－3m，速度精度10－7m／s，均较直接配点法高出1个量级。

4 结束语

本文基于C-W方程，用改进配点法求解最省燃料交会问题。给出了最优控制问题的数学模型，并基于C-W方程推导了五阶多项式拟合时的缺陷向量及内点的表达式。然后将缺陷向量的等式约束改写成线性约束的形式，利于用SQP进行参数优化。五阶多项式拟合状态变量能在不增加约束的前提下提高精度。用SQP算法时将约束写成线性约束的形式可显著提高优化效率。需指出的是，改进配点法适于一类具有特殊形式的方程，而并不局限于CW方程。改进配点法能用于绝对轨道转移、椭圆轨道交会等问题。

图3 状态量数值积分变化曲线Fig.3 State components vs.time via numerical integration

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