一种2-PPr平面并联机构的静刚度分析

一种2-PPr平面并联机构的静刚度分析*

关春婉，宫金良，张彦斐

(山东理工大学 机械工程学院，山东 淄博255049)

摘要：论文针对2-PPr平面并联机构的静刚度进行了研究，在分析了机构支链类型与受力的情况下，提出了节点位移叠加方法。首先对机构进行子结构划分并分别求各子结构刚度，再对机构进行静力学分析，得出各节点位移，最后应用节点位移叠加方法得出在外力作用下系统末端点的位移，根据外力与机构整体变形之间的关系建立机构整体静刚度模型。通过实例验证了该方法的可行性。

关键词：并联机构；静刚度；位移叠加法

文章编号：1001-2265(2015)09-0010-03

收稿日期：2014-11-20

基金项目：*国家自然科学

作者简介：关春婉(1989—)，女，山东菏泽人，山东理工大学硕士研究生，研究方向为机器人机构，(E-mail)316782771@qq.com。

中图分类号：TH166;TG659

Static Stiffness Analyzing of a 2-PPr Planar Parallel Mechanism

GUAN Chun-wan,GONG Jin-liang,ZHANG Yan-fei

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo Shandong 255049,China)

Abstract：Static stiffness of the 2-PPr planar parallel manipulator was studied. Based on the analysis of the branched chain type and stress condition of the mechanism, the superposition method of nodal displacement was put forward. First, divided the manipulator into each substructures, and solved their stiffness respectively. Then carried out the statics analysis of the manipulator to obtain each node displacements. Last, node displacement superposition method was applied to work out the displacement of the system end point under the action of external force. According to the relationship between the external force and the organization overall deformation, the organization overall static stiffness model was set up. Verified the feasibility of the method through an example.

Key words： parallel mechanism; static stiffness; displacement super position method

0引言

刚度是并联机构非常重要的设计评价指标，因此国内外学者对并联机构的刚度进行了很多研究。现有的并联机构静刚度分析方法包括有限元分析法、静刚度解析模型分析方法等。有限元分析主要是用有限元思想，根据变形和应力分布情况，从而对样机的尺度参数和截面参数进行改进[1]。刚度解析模型需要建立机构的操作力和末端变形之间的映射。Gosselin[2]借助雅可比矩阵，建立了仅考虑主动关节弹性的刚度模型，提出了并联机构的刚度映射矩阵。以此为基础，学者们考虑了机架及支链组件变形，对并联机构进行了静刚度分析[3]，后又证明了几何变形的忽略对所求得的系统刚度有一定影响,并把这一新的刚度矩阵称之为并联机构的守衡转换刚度矩阵[4]。

对2-PPr平面并联机构而言，从动链中包含承重杆件，故从动链刚度对总体刚度的影响不可忽略，而守恒协调法计算机构刚度时仅考虑主动链部分的刚度，所以不适用于该机构。有限元方法计算较为精确，但是计算量过大，故提出了节点位移叠加法。节点位移叠加法的思想是，每一个节点的位移都会影响末端节点位移，将所有节点位移叠加，则得到末端点的总位移。该方法考虑了杆件、运动副及轴承等刚度，精度较高，计算量也较小。

12-PPr平面并联机构刚度求解

1.1机构描述

图1　2-PPr平面并联机构

2-PPr平面并联机构如图1所示，该机构由两条相同的运动支链组成，每条运动支链都包含2个连杆、4个转动副和1个滑块。每个连杆的结构尺寸、材料完全相同，且都通过转动副连接于滑块与动平台上。两个滑块由滚珠丝杠副驱动，并在导轨上沿同一条直线运动，导轨固定在基座上。8个转动副轴线互相平行且垂直于滑块的运动方向，每条支链上的4个转动副轴线中心点构成平行四边形，由于空间约束，运动平台只能在平面内作两个方向上的平移运动。

1.2子结构划分与编号

如图2所示，在全局坐标系下，整机简化为51个结点，47个单元，其中单元25、26、47视为刚性单元，1~16、39~46为轴承单元，5~8为丝杠单元，其余单元视作空间杆单元。

图2　整机刚度模型图

1.3各子结构单元刚度

1.3.1丝杠与支座连接处轴承刚度

假定丝杠与支座连接处轴承选用同样型号配对预紧角接触轴承[5]，U形座与连接轴处选用预负荷空心圆柱滚子轴承[6]，则结构单元自身变形引起的节点位移为

(1)

1.3.2丝杠刚度

丝杠两端为固定连接，滑鞍螺母视作刚体，仅考虑丝杠变形。因为滑鞍与导轨接触面积较大，丝杠径向变形远小于丝杠轴向变形，所以仅考虑丝杠轴向变形，则

其中ds为丝杠底径，Ls为丝杠总长度，ls为滑鞍中心至丝杠左端点长度，Es为丝杠材料弹性模量。则结构单元自身变形引起的节点9、10位移为

(2)

1.3.3连接轴刚度

连接轴主要承受竖直向下的载荷，将连接轴视作两端固定的梁单元，其在跨度中心点受到竖直向下集中力作用，则连接轴的刚度为klz2=klz4=2klz1=2klz3=24EI/l3，则结构单元自身变形引起的节点27、28、29、30、35、37、39、41、43、45、47、49位移为

(3)

(4)

1.3.4连杆刚度

式中，A为杆单元横截面面积，Iy为连杆在xz面内截面惯性矩，Iz为连杆在xy面内截面惯性矩，IP为杆单元的扭转惯性矩，l为连杆长度，E和G分别为连杆材料的弹性模量和剪切模量，θi为各连杆局部坐标与整体坐标的夹角。则结构自身变形对节点31、32、33、34产生的位移为

(5)

1.4机构各单元受力分析

1.4.1支链受力分析

设空间外载荷T=(F,M)T作用在动平台中心P点处，引起第i连杆受到的作用力和力矩为Ti=(Fi,Mi)T。Fi的方向平行于连杆，规定拉力为正；Mi的方向平行于基座标系y轴方向，则Mi与ry同向时为正。

设Si在基坐标系中的方向余弦分别为Six，Siy，Siz，则

以动平台为研究对象，列出静平衡方程

整理得

F=AFa

(6)

其中Fa=[F1F2F3F4]T，F=[FxFyFz]T，A=[S1S2S3S4]T。

M=Mfi+Mi

(7)

联立式子(6)、(7)，得外载荷与连杆所受的作用力和力矩之间的关系式为

(8)

式中H为机构参数和位姿的函数，Ti为各杆受力，Ti=[FixFiyFizMixMiyMiz]T。

1.4.2滚珠丝杠受力分析

由于导轨与滑块的接触面相对于丝杠截面比较大，因此仅考虑丝杠的轴向变形对整机静刚度的影响。丝杠上的轴向力等于各连杆轴向力在X轴方向上的分量和，根据静力平衡方程可得到两个丝杠上的轴向力为

(9)

1.4.3连接轴受力分析

为便于分析计算，假设作用力集中在连接轴中点处，则连接轴两端点z向反力大小为中点受力的二分之一，方向与中点受力相反，则

(10)

1.5节点位移叠加法求机构末端点位移

节点位移叠加法的思想是，将整体机构进行单元和节点划分，再针对该多节点机构，分别求得各节点位移，最后叠加得到末端点位移。其具体计算方法为：从固定参考点开始，通过参考点与机架连接单元的下一节点的位移即为节点受力使单元产生的变形。而与该节点连接的下一单元上再下一个节点的位移，则为假定该节点固定时后者受力使该单元产生的变形与已得到的该节点的位移对后者产生的牵连位移的叠加，递推后得到机构末端中心点51的总位移

(11)

其中

联立式(1)~(5)和(8)~(11)，得

T=Kx

K即为机构的总体刚度矩阵。

2算例分析

连杆和滚珠丝杠、连接轴均采用45号钢，材料的弹性模量为E=200GPa，切变模量为G=80GPa，连杆的截面尺寸为b=30mm，h=50mm，长度l=500mm，丝杠的螺纹底径d0=25.7mm，丝杠的有效长度La=500mm。机构的其它参数单侧两U形座上轴承中心距离d=100m，外侧轴承中心到动平台中心点水平距离L=500m，U形座与连接轴处选用空心度为60%、滚子数目为27的预负荷空心圆柱滚子轴承，丝杠与支座连接处轴承选用预紧力为10N的配对预紧角接触轴承。设作用在动平台上的外载荷F=[300,200,400]TN, M=[20,40,30]TN·m,机构末端点在机构参考坐标系中坐标为P=[x,y,z]。

由于机构在xz平面内做平移运动，其y向刚度不受位姿影响，仅与机构参数有关系，且由于机构为左右完全对称机构，而末端点在动平台中心位置，故其沿转角β的位移几近于零，故仅对机构在x,z方向及绕x,z轴的刚度特性进行分析。图3是x由-100 mm变化到100 mm、z由100 mm变化到300 mm时,机构刚度在x,z方向及绕x,z轴的刚度变化曲面。可以看出，机构的x、z向静刚度随机构的位姿变化而变化，且受z向位姿变化影响较大，在x向位姿变化过程中刚度变化则较平缓。

图3　机构刚度特性曲面

3结论

(1)本文为平面并联机构提出了一种刚度分析方法，即将机构划分为若干单元及节点，并将所有节点位移叠加得到末端点的总位移，从而得到机构总体刚度映射关系的方法。该方法计算精度较高，运算量也较小。

(2)该方法应用于2-PPr平面并联机构的刚度分析，结果表明，机构刚度不仅与机构驱动刚度、位姿有关，且与机构各构件刚度有关。

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(编辑李秀敏)